---
kurs:
  - M0068M
kapitel: "13.1"
tags:
  - flervariabelanalys
  - nivåkurva
förkunskaper:
  - "[[Nivåkurvor och ytor]]"
status: utkast
aliases:
  - Flervariabelfunktion
  - Function of several variables
---
> **Kapitel:** 13.1 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Nivåkurvor och ytor]]

---

## 1. Funktioner av flera variabler — Översikt

En funktion av flera variabler tar ett **par (eller tupel) av tal** och returnerar ett enda tal. Det är en naturlig generalisering av envariabelfunktioner $f(x)$.

### Motiverande exempel

**Rektangelns area** beror på två mått:

$$
A = f(x, y) = xy
$$

**Volymen av en kon** beror på radien $r$ och höjden $h$:

$$
V = f(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}
$$

**Temperaturen på en plåt** i punkten $(x, y)$:

$$
T = f(x, y), \quad (x,y) \in D_f \subseteq \mathbb{R}^2
$$

**Temperaturen i en kropp** vid tid $t$:

$$
T = f(x, y, z, t), \quad (x,y,z) \in \Omega,\ t \geq 0 \quad \text{(fyra variabler)}
$$

---

## 2. Definition

### 2.1 Funktion av två variabler

En **funktion av två variabler** är en regel $f$ som till varje punkt $(x, y)$ i definitionsmängden $D_f \subseteq \mathbb{R}^2$ tillordnar ett entydigt reellt tal $z$:

$$
\boxed{f : D_f \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x,y)}
$$

### 2.2 Funktion av tre (eller fler) variabler

$$
f : D_f \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \quad (x, y, z) \mapsto w = f(x,y,z)
$$

Eller mer generellt med $n$ variabler: $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$.

### 2.3 Definitionsmängd

Definitionsmängden $D_f$ är mängden av alla punkter där $f$ är definierad. Om inget annat anges antas den **maximala naturliga definitionsmängden**.

> [!example]- Exempel: Bestäm definitionsmängden
>
> **a)** $f(x,y) = \ln(2 - x^2 - y^2)$
>
> Logaritmen kräver positivt argument:
> $$
> 2 - x^2 - y^2 > 0 \iff x^2 + y^2 < 2
> $$
> $D_f$ är den öppna skivan med centrum i origo och radien $\sqrt{2}$.
>
> ---
>
> **b)** $f(x,y) = \sqrt{xy}$
>
> Roten kräver $xy \geq 0$, dvs. $x$ och $y$ har samma tecken (eller minst en är noll):
> $$
> D_f : xy \geq 0
> $$

---

## 3. Funktionens graf (Funktionsyta)

### Definition

**Grafen** (funktionsytan) till $f(x,y)$ är mängden av alla punkter $(x, y, z)$ i $\mathbb{R}^3$ som uppfyller $z = f(x,y)$:

$$
\boxed{\text{Graf}(f) = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x,y),\ (x,y) \in D_f\}}
$$

Grafen är en **yta i det tredimensionella rummet** med $D_f$ som "skugga" i $xy$-planet.

> [!example]- Exempel: Identifiera grafen
>
> **a)** $f(x,y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$
>
> Sätt $z = f(x,y)$. Eftersom $z \geq 0$ gäller:
> $$
> z^2 = 9 - x^2 - y^2 \iff x^2 + y^2 + z^2 = 9 = 3^2
> $$
> Grafen är den **övre halvsfären** med radien 3.
>
> ---
>
> **b)** $f(x,y) = x^2$
>
> Oberoende av $y$: för $y = 0$ ger $z = x^2$ en parabel. Extruderas längs $y$-axeln — en **parabolisk rännform**.
>
> ---
>
> **c)** $f(x,y) = 6 - 2x - 3y$ (för $2x + 3y \leq 6$)
>
> Skriv om: $2x + 3y + z = 6$ — ett **plan** i $\mathbb{R}^3$.
> Skärningar med koordinataxlarna: $(3, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$, $(0, 0, 6)$.

### Rotationsytor

En **rotationsyta** fås när en kurva $z = g(r)$ roteras kring $z$-axeln. Eftersom $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ gäller:

$$
\boxed{z = g\!\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)}
$$

> [!example]- Exempel: Rotationsytor
>
> **Kon** med höjd 6 och radien 2: profilkurvan $z = 6 - 3r$ ger
> $$
> z = 6 - 3\sqrt{x^2 + y^2}, \quad x^2 + y^2 \leq 4
> $$
>
> **Rotationsparaboloid**: profilkurvan $z = 1 + r^2$ ger
> $$
> z = 1 + \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 = 1 + x^2 + y^2
> $$

### Ellipsoiden

En viktig yta som **inte** är en funktionsyta (den klarar inte vertikaltestet globalt):

$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
$$

med halvaxlar $a$, $b$, $c$ längs respektive koordinataxel.

---

## 4. Nivåkurvor

### Definition

En **nivåkurva** (eng. *level curve* eller *contour*) till $f(x,y)$ för värdet $c$ är kurvan i $xy$-planet som ges av:

$$
\boxed{f(x, y) = c}
$$

Geometriskt: skär funktionsytan $z = f(x,y)$ med det horisontella planet $z = c$, och projicera snittet ned på $xy$-planet.

Nivåkurvor visualiseras som **höjdkurvor** på en topografisk karta — varje kurva representerar en konstant höjd.

> [!note]- Tänk topografi
> Precis som en höjdkarta visar bergslandskap via höjdkurvor visar nivåkurvorna "topografin" hos $f$. Tätt liggande kurvor = brant lutning; glest liggande kurvor = flack yta.

> [!example]- Exempel: Rita nivåkurvor
>
> Låt $f(x,y) = x^2 + y^2$. Nivåkurvorna $f(x,y) = c$ ger:
> $$
> x^2 + y^2 = c \quad (c \geq 0)
> $$
> Dessa är **koncentriska cirklar** med centrum i origo och radien $\sqrt{c}$.
> För $c = 1, 4, 9$ fås cirklar med radierna $1, 2, 3$.
>
> ---
>
> Låt $f(x,y) = 6 - 2x - 3y$. Nivåkurvorna ger:
> $$
> 6 - 2x - 3y = c \iff 2x + 3y = 6 - c
> $$
> Dessa är **parallella räta linjer** med lutningen $-\tfrac{2}{3}$.

---

## 5. Nivåytor

### Definition

För en funktion av **tre variabler** $f(x,y,z)$ definieras en **nivåyta** (eng. *level surface*) för värdet $c$ som:

$$
\boxed{f(x, y, z) = c}
$$

Nivåytan är en **yta i $\mathbb{R}^3$** — analogt med hur en nivåkurva är en kurva i $\mathbb{R}^2$.

> [!example]- Exempel: Nivåytor
>
> **a)** $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$
>
> Nivåytorna $f = c$ (för $c > 0$) ger:
> $$
> x^2 + y^2 + z^2 = c
> $$
> Dessa är **sfärer** med centrum i origo och radien $\sqrt{c}$.
>
> ---
>
> **b)** $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$, temperatur i ett rum — nivåytorna visar punkter med samma temperatur (isotermytor).

### Sammanfattning: Dimension

| Funktion | Nivåmängd | Geometri |
|---|---|---|
| $f(x,y)$ | $f(x,y) = c$ | Kurva i $\mathbb{R}^2$ |
| $f(x,y,z)$ | $f(x,y,z) = c$ | Yta i $\mathbb{R}^3$ |

---

## 6. Det tredimensionella koordinatsystemet

För att beskriva funktionsytor arbetar vi i $\mathbb{R}^3$ med:

- **Origo** $O$
- Tre ortogonala enhetsbasvektorer $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ (längs $x$-, $y$-, $z$-axeln)
- En punkt $P$ beskrivs av sin **lägesvektor** $\vec{r} = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2 + z\mathbf{e}_3$

**Avstånd** från origo till punkten $(x, y, z)$:

$$
|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
$$

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=718|13.1 Functions of Several Variables]]

## Se även

- [[Nivåkurvor och ytor]]
- [[Parametriserade kurvor]]
- [[Elipsen]]

---

## Resurser

### Videor
- [3Blue1Brown: Visualizing multivariable functions](https://www.youtube.com/watch?v=TrcCbdWwCBc) — visuell introduktion till flervariabelfunktioner
- [Khan Academy: Multivariable functions](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/v/multivariable-functions) — introduktion med exempel
- [MIT OCW 18.02: Functions of several variables](https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/) — föreläsningar från MIT

### Interaktiva verktyg
- [GeoGebra 3D Calculator](https://www.geogebra.org/3d) — rita grafer $z = f(x,y)$ och nivåkurvor interaktivt
- [Desmos 3D](https://www.desmos.com/3d) — utforska ytor och nivåkurvor
- [CalcPlot3D](https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/index.html) — visualisera nivåkurvor och -ytor

### Wikipedia
- [Function of several real variables](https://en.wikipedia.org/wiki/Function_of_several_real_variables)
- [Level set](https://en.wikipedia.org/wiki/Level_set)
- [Contour line](https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line)

### Fördjupning
- [Immersive Math: Functions of Several Variables](https://immersivemath.com) — interaktiv lärobok
- [Paul's Online Math Notes: Functions of Several Variables](https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/MultiVrbleFcns.aspx) — tydliga anteckningar med exempel

## Illustrationer
![[cartesian_coord.png]]
*Kartesiskt koordinatsystem*

![[ex_surface.png]]
*Funktionsyta*

![[ex_level_curve.png]]
*Nivåkurvor*