Högre ordningens derivator

ändra # Högre ordningens derivator

Kapitel: 13.4 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Partiella derivator

---

1. Notation för andraderivator

För en funktion $z=f(x,y)$ erhålls fyra andraderivator genom att derivera de partiella derivatorna $f_1$ och $f_2$ en gång till.

Indexnotation och Leibniz-notation

$$f_{11}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},f_{12}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},f_{21}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},f_{22}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$$

Hur man läser Leibniz-notationen

Derivering sker inifrån och ut: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ betyder “derivera först m.a.p. $x$, sedan m.a.p. $y$”, vilket motsvarar $f_{12}$ i indexnotation.

Notation som träd

Utgå från $f$, derivera m.a.p. $x$ eller $y$ i varje steg:

$$f\{\begin{array}{l}\stackrel{{\partial }_x}{\to }{f}_1\{\begin{array}{l}\stackrel{{\partial }_x}{\to }{f}_{11}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\\ \stackrel{{\partial }_y}{\to }{f}_{12}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\end{array}\\ \stackrel{{\partial }_y}{\to }{f}_2\{\begin{array}{l}\stackrel{{\partial }_x}{\to }{f}_{21}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\\ \stackrel{{\partial }_y}{\to }{f}_{22}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\end{array}$$

Beräkna alla andraderivator för $f(x,y)=2y^2+x^3\ln (xy)$

Förstaordningens derivator:

$f_1=3x^2\ln (xy)+x^2,f_2=4y+\frac{x^3}{y}$

Andraordningens derivator:

$f_{11}=6x\ln (xy)+5x$

$f_{12}=\frac{\partial }{\partial y}\left(3x^2\ln (xy)+x^2\right)=\frac{3x^2}{y}$

$f_{21}=\frac{\partial }{\partial x}\left(4y+\frac{x^3}{y}\right)=\frac{3x^2}{y}$

$f_{22}=4-\frac{x^3}{y^2}$

Lägg märke till att $f_{12}=f_{21}$. De blandade derivatorna är lika — se symmetrisatsen nedan.

---

2. Symmetrisatsen (blandade derivatorna kommuterar)

Clairauts sats — blandade derivatorna kommuterar

Kom ihåg: Om $f_{12}$ och $f_{21}$ är kontinuerliga i en omgivning av $(a,b)$ gäller: $\boxed{f_{12}=f_{21}}$ Ordningen spelar ingen roll. Används som kontroll: om $f_{12}\ne f_{21}$ i din beräkning har du räknat fel.

Satsen gäller inte alltid

Det finns funktioner där $f_{12}$ och $f_{21}$ existerar men inte är lika. Tillräckligt villkor: de blandade derivatorna är kontinuerliga i omgivningen av punkten.

Tre variabler

För $g(x,y,z)$ gäller på motsvarande sätt:

$$g_{13}=g_{31}$$ $$g_{123}=g_{321}=g_{213}=g_{132}=g_{312}=g_{231}$$ $$g_{112}=g_{121}=g_{211}$$

Indexen kan alltså permuteras fritt — ordningen är ej viktig (givet kontinuitet).

---

3. Laplaces ekvation

Många fysikaliska system beskrivs av den partiella differentialekvationen (PDE):

$$\boxed{f_{11}+f_{22}+f_{33}=0}$$

I Leibniz-notation:

$$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}=0$$

Denna PDE kallas Laplaces ekvation och betecknas ibland $\Delta f=0$ (där $\Delta$ är Laplace-operatorn).

Fysikalisk tolkning — stationär temperaturfördelning

En stationär (tidsoberoende) temperaturfördelning $T=T(x,y,z)$ i ett material utan inre värmekällor uppfyller Laplaces ekvation. “Stationär” innebär att temperaturen är konstant i tid — värmeflöde sker, men ingen punkt värms upp eller kyls ned netto.

I allmänhet beror temperaturen på både position och tid: $T=f(x,y,z,t)$. I det stationära fallet faller tidberoendet bort.

---

4. Harmoniska funktioner

Definition: En funktion $f$ som uppfyller Laplaces ekvation i ett område $\Omega$ kallas harmonisk i $\Omega$:

$f_{11}+f_{22}+f_{33}=0\text{i }\Omega$

Var dyker harmoniska funktioner upp?

• Värmeledning — stationär temperaturfördelning utan värmekällor
• Elektrostatik — elektrisk potential $V$ i vakuum uppfyller $\Delta V=0$
• Strömningslära — strömningspotential för inkompressibel, rotationsfri strömning

2D-fallet

I två dimensioner lyder villkoret:

$$f_{11}+f_{22}=0⟺\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=0$$

Visa att $T(x,y)=e^{3x}\sin (3y)$ är harmonisk

Beräkna andraderivatorerna:

$\frac{\partial T}{\partial x}=3e^{3x}\sin (3y)⟹\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}=9e^{3x}\sin (3y)$

$\frac{\partial T}{\partial y}=3e^{3x}\cos (3y)⟹\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}=-9e^{3x}\sin (3y)$

Summera:

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}=9e^{3x}\sin (3y)-9e^{3x}\sin (3y)=0✓$

Funktionen uppfyller 2D-Laplaces ekvation och är alltså harmonisk. Den kan tolkas som en stationär temperaturfördelning i ett plant område.

---

Läsning

• 2.6 Higher-Order Derivatives
• 13.4 Higher-Order Derivatives

Se även

• Partiella derivator
• Algebraiska egenskaper
• Kedjeregeln

---

Resurser

Videor

• Khan Academy: Second partial derivatives — genomgång av andraderivator steg för steg
• Khan Academy: Symmetry of second partial derivatives — Clairauts sats
• 3Blue1Brown: Laplace equations — geometrisk intuition för Laplaces ekvation

Wikipedia

• Partial derivative
• Symmetry of second derivatives (Clairaut’s theorem)
• Laplace’s equation
• Harmonic function

Fördjupning

• Paul’s Online Math Notes — Higher Order Partial Derivatives

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2026-03-27, M0068M

2026-03-27 – Föreläsning 5 (Trevariabel, andraderivator, Laplaces ekvation)

Trevariabelfunktion

Exempel: $f(x,y,z)=\cos (xz)+x{y}^2{z}^2=w$ $\frac{\partial w}{\partial x}=-\sin (xz)z+y^2{z}^2,\frac{\partial w}{\partial y}=2xy{z}^2,\frac{\partial w}{\partial z}=-\sin (xz)x+2x{y}^{2}z$

Nivåyta

För trevariabelfunktioner $g(x,y,z)=C$ kan vi ej rita grafen i 3D, istället beskriver vi med nivåytor.

Differentialoperatorn $\frac{\partial }{\partial x}$ är en partiell derivatoperator m.a.p. $x$.

Notation för andraderivator (träd)

Andraderivatorerna $f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}$ fås genom att derivera $f_1$ och $f_2$ igen.

Exempel: $z=f(x,y)=2y^2+x^3\ln (xy)$

$f_1=3x^2\ln (xy)+x^2,f_2=4y+\frac{x^3}{y}$

$f_{11}=6x\ln (xy)+5x,f_{12}=\frac{3x^2}{y}=f_{21},f_{22}=4-\frac{x^3}{y^2}$

Sats: Blandade derivatorna kommuterar: $f_{12}=f_{21}$ (man kan permutera dem fritt vid kontinuitet).

Fysikaliska modeller – Stationär temperaturfördelning

$T=f(x,y,z,t)$. Stationär (tidsoberoende) temperaturfördelning $T=f(x,y,z)$ uppfyller Laplaces ekvation (PDE): $\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}=0$

Exempel 2D: $T=e^{3x}\sin (3y)$ uppfyller $T_{xx}+T_{yy}=9e^{3x}\sin (3y)-9e^{3x}\sin (3y)=0$ ✓

Kontinuitet för tvåvariabelfunktioner

${\lim }_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$

(Jämför envariabelfallet: gränsvärdet ska finnas och vara lika med funktionsvärdet.)