Algebraiska egenskaper

Grundläggande egenskaper för matematiska operationer.

---

Kommutativ

En operation $\ast$ är kommutativ om ordningen inte spelar roll:

$$a\ast b=b\ast a$$

Operation	Kommutativ?
Addition ($+$)	✅ Ja: $3+5=5+3$
Multiplikation ($\cdot$)	✅ Ja: $3\cdot 5=5\cdot 3$
Subtraktion ($-$)	❌ Nej: $3-5\ne 5-3$
Division ($/$)	❌ Nej: $6/2\ne 2/6$
Matrismultiplikation	❌ Nej: $AB\ne BA$

---

Associativ

En operation $\ast$ är associativ om grupperingen inte spelar roll:

$$a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c$$

Operation	Associativ?
Addition ($+$)	✅ Ja: $(1+2)+3=1+(2+3)$
Multiplikation ($\cdot$)	✅ Ja: $(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)$
Subtraktion ($-$)	❌ Nej: $(5-3)-1\ne 5-(3-1)$
Matrismultiplikation	✅ Ja: $(AB)C=A(BC)$

---

Distributiv

En operation distribuerar över en annan om:

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Exempel:

• Tal: $2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4=14$
• Matriser: $A(B+C)=AB+AC$

---

Identitetselement

Ett element $e$ är ett identitetselement för $\ast$ om:

$$a\ast e=e\ast a=a$$

Operation	Identitet
Addition	$0$ (ty $a+0=a$)
Multiplikation	$1$ (ty $a\cdot 1=a$)
Matrismultiplikation	$I$ (enhetsmatrisen)

---

Invers

Ett element $a^{-1}$ är inversen till $a$ om:

$$a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$$

Operation	Invers till $a$
Addition	$-a$ (ty $a+(-a)=0$)
Multiplikation	$\frac{1}{a}$ (ty $a\cdot \frac{1}{a}=1$)
Matrismultiplikation	$A^{-1}$ (om den existerar)

---

Se även

• Matriser

---

Resurser

• 3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3) — matrisoperationer geometriskt
• Wikipedia: Commutative property
• Wikipedia: Associative property
• Wikipedia: Distributive property