---
kurs:
  - M0067M
tags:
  - linjär-algebra
  - matris
förkunskaper:
  - "[[Matriser]]"
status: true
aliases:
  - Algebraiska lagar
  - Räknelagar
---
Grundläggande egenskaper för matematiska operationer.

---

### Kommutativ

En operation $*$ är **kommutativ** om ordningen inte spelar roll:

$$
a * b = b * a
$$

| Operation | Kommutativ? |
|-----------|-------------|
| Addition ($+$) | ✅ Ja: $3 + 5 = 5 + 3$ |
| Multiplikation ($\cdot$) | ✅ Ja: $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3$ |
| Subtraktion ($-$) | ❌ Nej: $3 - 5 \neq 5 - 3$ |
| Division ($/$) | ❌ Nej: $6/2 \neq 2/6$ |
| Matrismultiplikation | ❌ Nej: $AB \neq BA$ |

---

### Associativ

En operation $*$ är **associativ** om grupperingen inte spelar roll:

$$
a * (b * c) = (a * b) * c
$$

| Operation | Associativ? |
|-----------|-------------|
| Addition ($+$) | ✅ Ja: $(1+2)+3 = 1+(2+3)$ |
| Multiplikation ($\cdot$) | ✅ Ja: $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)$ |
| Subtraktion ($-$) | ❌ Nej: $(5-3)-1 \neq 5-(3-1)$ |
| Matrismultiplikation | ✅ Ja: $(AB)C = A(BC)$ |

---

### Distributiv

En operation **distribuerar** över en annan om:

$$
a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
$$

**Exempel:**
- Tal: $2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 14$
- Matriser: $A(B + C) = AB + AC$

---

### Identitetselement

Ett element $e$ är ett **identitetselement** för $*$ om:

$$
a * e = e * a = a
$$

| Operation | Identitet |
|-----------|-----------|
| Addition | $0$ (ty $a + 0 = a$) |
| Multiplikation | $1$ (ty $a \cdot 1 = a$) |
| Matrismultiplikation | $I$ (enhetsmatrisen) |

---

### Invers

Ett element $a^{-1}$ är **inversen** till $a$ om:

$$
a * a^{-1} = a^{-1} * a = e
$$

| Operation | Invers till $a$ |
|-----------|-----------------|
| Addition | $-a$ (ty $a + (-a) = 0$) |
| Multiplikation | $\frac{1}{a}$ (ty $a \cdot \frac{1}{a} = 1$) |
| Matrismultiplikation | $A^{-1}$ (om den existerar) |

---

## Se även

- [[Matriser]]

---

## Resurser

- [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) — matrisoperationer geometriskt
- [Wikipedia: Commutative property](https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property)
- [Wikipedia: Associative property](https://en.wikipedia.org/wiki/Associative_property)
- [Wikipedia: Distributive property](https://en.wikipedia.org/wiki/Distributive_property)