--- kurs: - M0068M kapitel: "13.4" tags: - flervariabelanalys - partiell-derivata förkunskaper: - "[[Partiella derivator]]" - "[[Gränsvärden och kontinuitet]]" status: true aliases: - Andraderivata - Blandad partiell derivata - Clairaut's theorem --- ändra # Högre ordningens derivator > **Kapitel:** 13.4 · **Kurs:** M0068M > **Förkunskaper:** [[Partiella derivator]] --- ## 1. Notation för andraderivator För en funktion $z = f(x, y)$ erhålls **fyra** andraderivator genom att derivera de partiella derivatorna $f_1$ och $f_2$ en gång till. ### Indexnotation och Leibniz-notation $$ f_{11} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad f_{12} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}, \qquad f_{21} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \qquad f_{22} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} $$ > [!note]- Hur man läser Leibniz-notationen > > Derivering sker **inifrån och ut**: $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \,\partial x}$ betyder "derivera först m.a.p. $x$, sedan m.a.p. $y$", vilket motsvarar $f_{12}$ i indexnotation. ### Notation som träd Utgå från $f$, derivera m.a.p. $x$ eller $y$ i varje steg: $$ f \begin{cases} \xrightarrow{\partial_x} f_1 \begin{cases} \xrightarrow{\partial_x} f_{11} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \\[6pt] \xrightarrow{\partial_y} f_{12} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} \end{cases} \\[12pt] \xrightarrow{\partial_y} f_2 \begin{cases} \xrightarrow{\partial_x} f_{21} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\[6pt] \xrightarrow{\partial_y} f_{22} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{cases} \end{cases} $$ > [!example]- Beräkna alla andraderivator för $f(x,y) = 2y^2 + x^3\ln(xy)$ > > **Förstaordningens derivator:** > > $$f_1 = 3x^2\ln(xy) + x^2, \qquad f_2 = 4y + \frac{x^3}{y}$$ > > **Andraordningens derivator:** > > $$f_{11} = 6x\ln(xy) + 5x$$ > > $$f_{12} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(3x^2\ln(xy)+x^2\right) = \frac{3x^2}{y}$$ > > $$f_{21} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(4y+\frac{x^3}{y}\right) = \frac{3x^2}{y}$$ > > $$f_{22} = 4 - \frac{x^3}{y^2}$$ > > Lägg märke till att $f_{12} = f_{21}$. De blandade derivatorna är lika — se symmetrisatsen nedan. --- ## 2. Symmetrisatsen (blandade derivatorna kommuterar) > [!important] Clairauts sats — blandade derivatorna kommuterar > > Kom ihåg: Om $f_{12}$ och $f_{21}$ är **kontinuerliga** i en omgivning av $(a,b)$ gäller: > $$\boxed{f_{12} = f_{21}}$$ > Ordningen spelar ingen roll. Används som **kontroll**: om $f_{12} \neq f_{21}$ i din beräkning har du räknat fel. > [!warning] Satsen gäller inte alltid > > Det finns funktioner där $f_{12}$ och $f_{21}$ **existerar** men inte är lika. > Tillräckligt villkor: de blandade derivatorna är **kontinuerliga** i omgivningen av punkten. ### Tre variabler För $g(x, y, z)$ gäller på motsvarande sätt: $$ g_{13} = g_{31} $$ $$ g_{123} = g_{321} = g_{213} = g_{132} = g_{312} = g_{231} $$ $$ g_{112} = g_{121} = g_{211} $$ Indexen kan alltså **permuteras fritt** — ordningen är ej viktig (givet [[Kontinuitet|kontinuitet]]). --- ## 3. Laplaces ekvation Många fysikaliska system beskrivs av den partiella differentialekvationen (**PDE**): $$ \boxed{f_{11} + f_{22} + f_{33} = 0} $$ I Leibniz-notation: $$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = 0 $$ Denna PDE kallas **Laplaces ekvation** och betecknas ibland $\Delta f = 0$ (där $\Delta$ är Laplace-operatorn). ### Fysikalisk tolkning — stationär temperaturfördelning En **stationär (tidsoberoende) temperaturfördelning** $T = T(x,y,z)$ i ett material utan inre värmekällor uppfyller Laplaces ekvation. "Stationär" innebär att temperaturen är konstant i tid — värmeflöde sker, men ingen punkt värms upp eller kyls ned netto. I allmänhet beror temperaturen på både position och tid: $T = f(x,y,z,t)$. I det stationära fallet faller tidberoendet bort. --- ## 4. Harmoniska funktioner > **Definition:** En funktion $f$ som uppfyller Laplaces ekvation i ett område $\Omega$ kallas **harmonisk** i $\Omega$: > > $$f_{11} + f_{22} + f_{33} = 0 \quad \text{i } \Omega$$ > [!note] Var dyker harmoniska funktioner upp? > > - **Värmeledning** — stationär temperaturfördelning utan värmekällor > - **Elektrostatik** — elektrisk potential $V$ i vakuum uppfyller $\Delta V = 0$ > - **Strömningslära** — strömningspotential för inkompressibel, rotationsfri strömning ### 2D-fallet I två dimensioner lyder villkoret: $$ f_{11} + f_{22} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 $$ > [!example]- Visa att $T(x,y) = e^{3x}\sin(3y)$ är harmonisk > > Beräkna andraderivatorerna: > > $$\frac{\partial T}{\partial x} = 3e^{3x}\sin(3y) \implies \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 9e^{3x}\sin(3y)$$ > > $$\frac{\partial T}{\partial y} = 3e^{3x}\cos(3y) \implies \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = -9e^{3x}\sin(3y)$$ > > Summera: > > $$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 9e^{3x}\sin(3y) - 9e^{3x}\sin(3y) = 0 \checkmark$$ > > Funktionen uppfyller 2D-Laplaces ekvation och är alltså harmonisk. Den kan tolkas som en stationär temperaturfördelning i ett plant område. --- ## Läsning - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=149|2.6 Higher-Order Derivatives]] - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=737|13.4 Higher-Order Derivatives]] ## Se även - [[Partiella derivator]] - [[Algebraiska egenskaper]] - [[Kedjeregeln]] --- ## Resurser ### Videor - [Khan Academy: Second partial derivatives](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/second-partial-derivatives-topic/a/second-partial-derivatives) — genomgång av andraderivator steg för steg - [Khan Academy: Symmetry of second partial derivatives](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/second-partial-derivatives-topic/a/symmetry-of-second-partial-derivatives) — Clairauts sats - [3Blue1Brown: Laplace equations](https://youtu.be/ly4S0oi3Yz8) — geometrisk intuition för Laplaces ekvation ### Wikipedia - [Partial derivative](https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative) - [Symmetry of second derivatives (Clairaut's theorem)](https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives) - [Laplace's equation](https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation) - [Harmonic function](https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function) ### Fördjupning - [Paul's Online Math Notes — Higher Order Partial Derivatives](https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/HighOrderPartialDerivs.aspx) --- ## Föreläsningsanteckningar > Från föreläsning: 2026-03-27, M0068M ### 2026-03-27 – Föreläsning 5 (Trevariabel, andraderivator, Laplaces ekvation) #### Trevariabelfunktion **Exempel:** $f(x,y,z)=\cos(xz)+xy^2z^2=w$ $$\frac{\partial w}{\partial x}=-\sin(xz)z+y^2z^2, \quad \frac{\partial w}{\partial y}=2xyz^2, \quad \frac{\partial w}{\partial z}=-\sin(xz)x+2xy^2z$$ #### Nivåyta För trevariabelfunktioner $g(x,y,z)=C$ kan vi ej rita grafen i 3D, istället beskriver vi med nivåytor. Differentialoperatorn $\frac{\partial}{\partial x}$ är en partiell derivatoperator m.a.p. $x$. #### Notation för andraderivator (träd) Andraderivatorerna $f_{11}, f_{12}, f_{21}, f_{22}$ fås genom att derivera $f_1$ och $f_2$ igen. **Exempel:** $z=f(x,y)=2y^2+x^3\ln(xy)$ $$f_1=3x^2\ln(xy)+x^2, \quad f_2=4y+\frac{x^3}{y}$$ $$f_{11}=6x\ln(xy)+5x, \quad f_{12}=\frac{3x^2}{y}=f_{21}, \quad f_{22}=4-\frac{x^3}{y^2}$$ **Sats:** Blandade derivatorna kommuterar: $f_{12}=f_{21}$ (man kan permutera dem fritt vid kontinuitet). #### Fysikaliska modeller – Stationär temperaturfördelning $T=f(x,y,z,t)$. Stationär (tidsoberoende) temperaturfördelning $T=f(x,y,z)$ uppfyller **Laplaces ekvation (PDE)**: $$\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}=0$$ Exempel 2D: $T=e^{3x}\sin(3y)$ uppfyller $T_{xx}+T_{yy}=9e^{3x}\sin(3y)-9e^{3x}\sin(3y)=0$ ✓ #### Kontinuitet för tvåvariabelfunktioner $$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)$$ (Jämför envariabelfallet: gränsvärdet ska finnas och vara lika med funktionsvärdet.)