Kritiska punkter

Kurs: M0068M Förkunskaper: Partiella derivator, Gradient och riktningsderivata

---

Definition

En punkt $(a,b)$ är kritisk för $f(x,y)$ om

$$\nabla f(a,b)=0$$

(dvs $f_x=f_y=0$) eller om någon partialderivata inte existerar.

Klassificering

I flera variabler är de tre grundtyperna lokalt minimum, lokalt maximum och sadelpunkt — den sista tillkommer jämfört med envariabelfallet, och är en punkt där $f$ har minimum i en riktning och maximum i en annan.

Sadelyta

$f(x,y)=x^2-y^2$ har kritisk punkt i $(0,0)$. Där är $f$ minimum i $x$-riktning och maximum i $y$-riktning.

Klassificering via Hessianen

$$H=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{xy}& f_{yy}\end{array}\right)$$

Låt $D=\det H$ i den kritiska punkten:

• $D>0,f_{xx}>0$: lokalt minimum
• $D>0,f_{xx}<0$: lokalt maximum
• $D<0$: sadelpunkt
• $D=0$: testet ger inget svar

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2026-04-10, M0068M Föreläsare: Thomas Strömberg

2026-04-10 – Föreläsning 9 (Kritiska punkter för $f(x,y)$)

En kritisk punkt uppfyller $f^{\prime }(x,y)=0$ (dvs $f_1=f_2=0$).

Sadelpunkt: Exempel – sadelytan $f(x,y)=x^2-y^2$ i $(0,0)$: minimum i $x$-riktning, maximum i $y$-riktning.

Läsning

• 14.1 Extreme Values

Se även

• Extremvärdesproblem
• Lagranges multiplikatormetod
• Gradient och riktningsderivata