---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - optimering
förkunskaper:
  - "[[Partiella derivator]]"
  - "[[Gradient och riktningsderivata]]"
status: utkast
aliases:
  - Kritisk punkt
  - Stationär punkt
---
> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Partiella derivator]], [[Gradient och riktningsderivata]]

---

## Definition

En punkt $(a,b)$ är **kritisk** för $f(x,y)$ om

$$
\nabla f(a,b)=0
$$

(dvs $f_x=f_y=0$) eller om någon partialderivata inte existerar.

## Klassificering

I flera variabler är de tre grundtyperna **lokalt minimum**, **lokalt maximum** och **sadelpunkt** — den sista tillkommer jämfört med envariabelfallet, och är en punkt där $f$ har minimum i en riktning och maximum i en annan.

![[kritiska-tre.png|680]]

> [!example]- Sadelyta
> $f(x,y)=x^2-y^2$ har kritisk punkt i $(0,0)$. Där är $f$ minimum i $x$-riktning och maximum i $y$-riktning.

## Klassificering via Hessianen

$$
H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}
$$

Låt $D=\det H$ i den kritiska punkten:
- $D>0,\ f_{xx}>0$: lokalt minimum
- $D>0,\ f_{xx}<0$: lokalt maximum
- $D<0$: sadelpunkt
- $D=0$: testet ger inget svar

## Föreläsningsanteckningar

> Från föreläsning: 2026-04-10, M0068M
> Föreläsare: Thomas Strömberg

### 2026-04-10 – Föreläsning 9 (Kritiska punkter för $f(x,y)$)

En kritisk punkt uppfyller $f'(x,y)=0$ (dvs $f_1=f_2=0$).

**Sadelpunkt:** Exempel – sadelytan $f(x,y)=x^2-y^2$ i $(0,0)$: minimum i $x$-riktning, maximum i $y$-riktning.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=792|14.1 Extreme Values]]

## Se även

- [[Extremvärdesproblem]]
- [[Lagranges multiplikatormetod]]
- [[Gradient och riktningsderivata]]