---
kurs:
  - M0068M
kapitel: "13.3"
tags:
  - matematik
  - analys
  - flervariabelanalys
  - partiell-derivata
förkunskaper:
  - "[[Funktioner av flera variabler]]"
  - "[[Gränsvärden och kontinuitet]]"
status: utkast
aliases:
  - Partiell derivata
  - Tangentplan
  - Partial derivative
---

> **Kapitel:** 13.3 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Funktioner av flera variabler]], [[Gränsvärden och kontinuitet]]

---

## 1. Partiell derivata

En partiell [[Derivata|derivata]] beskriver hur snabbt en funktion av flera variabler förändras när **en variabel i taget** varieras, medan de övriga hålls konstanta.

### 1.1 Definition

För en funktion $f(x, y)$ definieras de partiella derivatorna i punkten $(x_0, y_0)$ som:

$$
f_1(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h,\, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}
$$

$$
f_2(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0,\, y_0 + k) - f(x_0, y_0)}{k}
$$

### 1.2 Alternativ beteckning

Om $z = f(x, y)$ skrivs de partiella derivatorna ofta som:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = f_1(x, y) \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = f_2(x, y)
$$

Symbolen $\partial$ (rund d) används för att skilja partiell derivering från vanlig derivering.

### 1.3 Beräkningsregel

> [!tip] <font color="#76923c">Kom ihåg — hur man räknar</font>
>
> - **$f_x$**: derivera m.a.p. $x$, behandla **$y$ som en konstant** (frys den).
> - **$f_y$**: derivera m.a.p. $y$, behandla **$x$ som en konstant** (frys den).
>
> Det är exakt envariabelderivering — fast med de övriga variablerna "frysta".

> [!example]- Exempel a) Polynom
>
> Låt $f(x, y) = x^2 + 5x^3 y^2$.
>
> Derivera m.a.p. $x$ (behandla $y$ som konstant):
> $$\frac{\partial z}{\partial x} = f_1(x, y) = 2x + 15x^2 y^2$$
>
> Derivera m.a.p. $y$ (behandla $x$ som konstant):
> $$\frac{\partial z}{\partial y} = f_2(x, y) = 10x^3 y$$

> [!example]- Exempel b) Kvotregeln
>
> Låt $z = f(x, y) = \dfrac{x}{x^2 + e^{xy}}$.
>
> Derivera m.a.p. $x$ med kvotregeln:
> $$f_1(x, y) = \frac{1 \cdot (x^2 + e^{xy}) - x \cdot (2x + y e^{xy})}{(x^2 + e^{xy})^2} = \frac{-x^2 + e^{xy} - xye^{xy}}{(x^2 + e^{xy})^2}$$
>
> Derivera m.a.p. $y$ (skriv om som $x(x^2 + e^{xy})^{-1}$):
> $$f_2(x, y) = x \cdot (-1)(x^2 + e^{xy})^{-2} \cdot xe^{xy} = -\frac{x^2 e^{xy}}{(x^2 + e^{xy})^2}$$

> [!example]- Exempel c) Derivering och insättning
>
> Låt $z = f(x, y) = e^{2x}\cos(xy)$.
>
> Derivera m.a.p. $x$ (produktregeln):
> $$f_1(x, y) = 2e^{2x}\cos(xy) - ye^{2x}\sin(xy) = e^{2x}(2\cos(xy) - y\sin(xy))$$
>
> Derivera m.a.p. $y$:
> $$f_2(x, y) = e^{2x}(-\sin(xy)) \cdot x = -xe^{2x}\sin(xy)$$
>
> Sätt in $(x, y) = (1, 0)$:
> $$f_1(1, 0) = e^{2}(2\cos(0) - 0) = 2e^2$$
> $$f_2(1, 0) = -1 \cdot e^{2} \cdot \sin(0) = 0$$
>
> Beteckningen $\big|_{(1,0)}$ betyder insättning $x = 1$, $y = 0$.

---

## 2. Tangentvektorer

I en punkt $(a, b)$ på ytan $z = f(x, y)$ kan man bilda två tangentvektorer — en längs $x$-riktningen och en längs $y$-riktningen.

$$
\vec{T}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ f_1(a,b) \end{bmatrix}, \qquad \vec{T}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ f_2(a,b) \end{bmatrix}
$$

- $\vec{T}_1$ är tangent till kurvan som uppstår när $y = b$ hålls fast och $x$ varierar.
- $\vec{T}_2$ är tangent till kurvan som uppstår när $x = a$ hålls fast och $y$ varierar.

Dessa två vektorer spänner upp tangentplanet i punkten $(a, b, f(a,b))$.

---

## 3. Normalvektor

Normalvektorn till ytan i punkten $(a, b, f(a,b))$ fås via **kryssprodukten** av tangentvektorerna:

$$
\vec{n} = \vec{T}_1 \times \vec{T}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ f_1(a,b) \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ f_2(a,b) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -f_1(a,b) \\ -f_2(a,b) \\ 1 \end{bmatrix}
$$

### 3.1 Normalvektor till en nivåyta

För en yta definierad implicit som $g(x, y, z) = C$ ges normalvektorn av **gradienten**:

$$
\vec{n} = \nabla g = \begin{bmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial g}{\partial x} \\[6pt] \dfrac{\partial g}{\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial g}{\partial z} \end{bmatrix}
$$

---

## 4. Tangentplan

### 4.1 Tangentplanets ekvation

Tangentplanet till ytan $z = f(x, y)$ i punkten $(a, b, f(a,b))$ ges av:

$$
\boxed{z - f(a,b) = f_1(a,b)(x - a) + f_2(a,b)(y - b)}
$$

Ekvationen följer direkt av att planet ska innehålla punkten $(a, b, f(a,b))$ och ha normalvektorn $\vec{n} = [-f_1(a,b),\; -f_2(a,b),\; 1]^\top$.

> [!example]- Exempel — Tangentplan till en paraboloid
>
> Låt $f(x, y) = 2x^2 + y^2$. Bestäm tangentplanet i punkten $(x, y) = (1, 2)$.
>
> **Steg 1:** Beräkna $z$-koordinaten för punkten på ytan:
> $$f(1, 2) = 2 \cdot 1^2 + 2^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad \text{punkten är } (1, 2, 6)$$
>
> **Steg 2:** Beräkna de partiella derivatorna:
> $$f_1(x, y) = 4x \quad \Rightarrow \quad f_1(1, 2) = 4$$
> $$f_2(x, y) = 2y \quad \Rightarrow \quad f_2(1, 2) = 4$$
>
> **Steg 3:** Sätt in i tangentplansekvationen:
> $$z - 6 = 4(x - 1) + 4(y - 2)$$

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=730|13.3 Partial Derivatives]]

## Se även

- [[Funktioner av flera variabler]]
- [[Gränsvärden och kontinuitet]]
- [[Nivåkurvor och ytor]]
- [[Gradient och riktningsderivata]]

---

## Resurser

### Videor
- [3Blue1Brown: Partial derivatives, visually](https://youtu.be/AXqhWeUEtQU) — geometrisk tolkning av partiella derivator
- [Khan Academy: Partial derivatives](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/introduction-to-partial-derivatives) — introduktion med exempel

### Interaktiva verktyg
- [GeoGebra: Tangent Plane](https://www.geogebra.org/m/nqGDxKJQ) — visualisera tangentplan i 3D
- [Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com/) — beräkna partiella derivator med `partial derivative of f(x,y) with respect to x`

### Wikipedia
- [Partial derivative](https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative)
- [Tangent plane](https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_space)
- [Normal vector](https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_(geometry))
---

## Illustrationer

![[sphere_tgp.png]]
*Tangentplan till en sfär*

---

## Räkneregler

> **Kapitel:** 13.3–13.5 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Partiella derivator]], [[Kedjeregeln]]

---

## 1. Grundläggande regler

> [!note] Principen: en variabel i taget
>
> Alla vanliga derivationsregler från envariabelanalys gäller för partiella derivator — man deriverar med avseende på **en variabel** och behandlar alla **övriga variabler som konstanter**.

### 1.1 Linjäritet

Om $f$ och $g$ är deriverbara och $\alpha$, $\beta$ är konstanter:

$$
\boxed{\frac{\partial}{\partial x}[\alpha f + \beta g] = \alpha \frac{\partial f}{\partial x} + \beta \frac{\partial g}{\partial x}}
$$

### 1.2 Konstant faktor

$$
\frac{\partial}{\partial x}[c \cdot f(x,y)] = c \cdot \frac{\partial f}{\partial x}, \quad c \in \mathbb{R}
$$

> [!tip] Obs — $y$ är en konstant!
>
> När du deriverar m.a.p. $x$ är $y$ konstant. Det innebär att t.ex. $y^3$, $e^y$ och $\sin(y)$ alla är konstanta faktorer och deriveras som noll om de saknar $x$.

---

## 2. Produktregeln

### Sats

Om $u = u(x, y)$ och $v = v(x, y)$ är partiellt deriverbara gäller:

$$
\boxed{\frac{\partial}{\partial x}[u \cdot v] = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot v + u \cdot \frac{\partial v}{\partial x}}
$$

och analogt för derivering m.a.p. $y$.

### Schema — kom ihåg

$$
(uv)' = u'v + uv'
$$

Exakt samma form som i envariabelanalys — håll bara koll på vilken variabel du deriverar m.a.p.

> [!example]- Exempel a) Enkel produkt
>
> Låt $f(x, y) = x^3 \sin(y)$.
>
> Derivera m.a.p. $x$ (sin(y) är konstant):
> $$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 \sin(y)$$
>
> Derivera m.a.p. $y$ ($x^3$ är konstant):
> $$\frac{\partial f}{\partial y} = x^3 \cos(y)$$

> [!example]- Exempel b) Produkt av funktioner i båda variablerna
>
> Låt $f(x, y) = e^{2x}\cos(xy)$.
>
> Derivera m.a.p. $x$ — produktregel med $u = e^{2x}$ och $v = \cos(xy)$:
> $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2e^{2x}\cos(xy) + e^{2x}\cdot(-\sin(xy))\cdot y = e^{2x}(2\cos(xy) - y\sin(xy))$$
>
> Derivera m.a.p. $y$ — $e^{2x}$ är konstant:
> $$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{2x}\cdot(-\sin(xy))\cdot x = -xe^{2x}\sin(xy)$$

> [!example]- Exempel c) Tre faktorer
>
> Låt $f(x, y) = x^2 y e^{xy}$.
>
> Derivera m.a.p. $x$ — skriv $u = x^2$ och $v = ye^{xy}$ (behandla $y$ som konstant):
> $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \cdot ye^{xy} + x^2 \cdot ye^{xy}\cdot y = xye^{xy}(2 + xy)$$

---

## 3. Kvotregeln

### Sats

Om $u = u(x, y)$ och $v = v(x, y)$ är partiellt deriverbara och $v \neq 0$:

$$
\boxed{\frac{\partial}{\partial x}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{\dfrac{\partial u}{\partial x} \cdot v - u \cdot \dfrac{\partial v}{\partial x}}{v^2}}
$$

### Minnesbild

$$
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$

> [!tip] Alternativ — skriv om som produkt
>
> Ofta enklare att skriva $\dfrac{u}{v} = u \cdot v^{-1}$ och använda produktregeln tillsammans med kedjeregeln:
> $$\frac{\partial}{\partial x}\!\left[u \cdot v^{-1}\right] = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot v^{-1} + u \cdot (-1) v^{-2} \frac{\partial v}{\partial x}$$

> [!example]- Exempel a) Grundfall
>
> Låt $f(x, y) = \dfrac{x^2}{y^3}$.
>
> Derivera m.a.p. $x$ ($y^3$ är konstant):
> $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{y^3}$$
>
> Derivera m.a.p. $y$ ($x^2$ är konstant) — enklast med $f = x^2 y^{-3}$:
> $$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 \cdot (-3) y^{-4} = -\frac{3x^2}{y^4}$$

> [!example]- Exempel b) Blandad kvot
>
> Låt $z = \dfrac{x}{x^2 + e^{xy}}$.
>
> Derivera m.a.p. $x$ med kvotregeln ($u = x$, $v = x^2 + e^{xy}$):
> $$f_x = \frac{1 \cdot (x^2 + e^{xy}) - x(2x + ye^{xy})}{(x^2 + e^{xy})^2} = \frac{-x^2 + e^{xy}(1 - xy)}{(x^2 + e^{xy})^2}$$
>
> Derivera m.a.p. $y$ ($u = x$ ger $u_y = 0$, $v_y = xe^{xy}$):
> $$f_y = \frac{0 \cdot v - x \cdot xe^{xy}}{(x^2 + e^{xy})^2} = -\frac{x^2 e^{xy}}{(x^2 + e^{xy})^2}$$

---

## 4. Kedjeregeln — snabbreferens

> [!note] Fullständig genomgång
>
> Se [[Kedjeregeln]] för detaljer, variabelträd och variabelbyten.

### Fall 1 — ett oberoende variabel

$z = f(x,y)$, $x = x(t)$, $y = y(t)$:

$$
\boxed{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}}
$$

### Fall 2 — två oberoende variabler

$z = f(x,y)$, $x = x(s,t)$, $y = y(s,t)$:

$$
\boxed{\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}}
$$

### Kedjeregeln för sammansatt funktion

Om $h(x,y) = f(g(x,y))$ — alltså $f$ av en skalär:

$$
\boxed{\frac{\partial h}{\partial x} = f'(g(x,y)) \cdot \frac{\partial g}{\partial x}}
$$

> [!example]- Exempel — kedjeregel på skalär funktion
>
> Låt $h(x,y) = \sin(x^2 + y^2)$. Sätt $u = x^2 + y^2$.
>
> $$\frac{\partial h}{\partial x} = \cos(u) \cdot 2x = 2x\cos(x^2 + y^2)$$
>
> $$\frac{\partial h}{\partial y} = \cos(u) \cdot 2y = 2y\cos(x^2 + y^2)$$

---

## 5. Implicit derivering

Om $F(x, y, z) = 0$ definierar $z$ implicit som funktion av $x$ och $y$:

$$
\boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}}
$$

> [!warning] Förutsättning
>
> Formeln kräver att $F_z \neq 0$ i punkten. Om $F_z = 0$ kan man inte lösa ut $z$ lokalt.

> [!example]- Exempel — [[Implicit derivering|implicit derivering]]
>
> Låt $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$ (enhetssphären).
>
> $$F_x = 2x, \quad F_y = 2y, \quad F_z = 2z$$
>
> $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z} = -\frac{x}{z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$$
>
> Geometriskt beskriver detta lutningen på sfären i resp. riktning.

---

## 6. Snabbtabell — räkneregler

| Regel | Formel |
|---|---|
| Summa | $\partial_x(f + g) = f_x + g_x$ |
| Konstant | $\partial_x(c) = 0$ |
| Konstant faktor | $\partial_x(cf) = c f_x$ |
| Produkt | $\partial_x(fg) = f_x g + f g_x$ |
| Kvot | $\partial_x(f/g) = (f_x g - f g_x)/g^2$ |
| Kedja (skalär) | $\partial_x f(g) = f'(g)\, g_x$ |
| Kedja (vektor) | $\partial_{t} f(x(t),y(t)) = f_x \dot x + f_y \dot y$ |
| Implicit | $\partial_x z = -F_x/F_z$ |
| Potens | $\partial_x(x^n) = nx^{n-1}$ |

---

## 7. Tips och vanliga misstag

> [!tip] Tips 1 — se alltid vilken variabel du deriverar m.a.p.
>
> Skriv ut $\dfrac{\partial}{\partial x}$ eller $\dfrac{\partial}{\partial y}$ tydligt i varje steg. Det är lätt att missa att byta derivatavariabel mitt i en beräkning.

> [!tip] Tips 2 — faktorisera gärna ut konstanter
>
> Om $f(x,y) = e^y \cdot g(x)$, så är $\dfrac{\partial f}{\partial x} = e^y \cdot g'(x)$ direkt — ingen produktregel behövs.

> [!tip] Tips 3 — skriv om kvoten som produkt vid komplexa uttryck
>
> $\dfrac{u}{v} = u \cdot v^{-1}$ och tillämpa produktregel + kedjeregel. Minskar risken för teckenmissar.

> [!tip] Tips 4 — kontrollera med mixed partials
>
> För tillräckligt snälla funktioner gäller **Clairauts sats**: $f_{xy} = f_{yx}$. Stämmer inte det, har du räknat fel.

> [!warning] Vanligt misstag 1 — glömmer kedjeregeln
>
> $\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)$ är **fel**.
>
> Korrekt: $\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$ — inre derivatan $y$ måste multipliceras in.

> [!warning] Vanligt misstag 2 — deriverar $y$ m.a.p. $x$
>
> $\dfrac{\partial}{\partial x}(y^3) = 3y^2$ är **fel** ($y$ är konstant!).
>
> Korrekt: $\dfrac{\partial}{\partial x}(y^3) = 0$.

> [!warning] Vanligt misstag 3 — blandar $d$ och $\partial$
>
> Använd $\partial$ för partiella derivator (flera variabler) och $d$ för vanliga derivator (en variabel eller total derivata). Fel symbol signalerar fel tänk.

> [!example]- Träningsuppgift — identifiera räknereglerna
>
> Bestäm alla partiella derivator av $f(x, y) = \dfrac{x\ln(y)}{e^{x^2 + y}}$.
>
> **Ledning:** Skriv om som $x\ln(y) \cdot e^{-(x^2+y)}$ och använd produktregeln. Kedjeregeln behövs för $e^{-(x^2+y)}$.
>
> $$\frac{\partial f}{\partial x} = \ln(y)\,e^{-(x^2+y)} + x\ln(y)\,e^{-(x^2+y)}\cdot(-2x) = \ln(y)\,e^{-(x^2+y)}(1 - 2x^2)$$
>
> $$\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot\frac{1}{y}\cdot e^{-(x^2+y)} + x\ln(y)\cdot e^{-(x^2+y)}\cdot(-1) = \frac{xe^{-(x^2+y)}}{y}\left(1 - y\ln(y)\right)$$

---

## Se även

- [[Partiella derivator]]
- [[Kedjeregeln]]
- [[Högre ordningens derivator]]
- [[Gradient och riktningsderivata]]

---

## Resurser

### Videor

- [Khan Academy: Partial derivative rules](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives) — regler och exempel
- [Professor Leonard: Partial Derivatives](https://youtu.be/f9BTcMnKRGo) — produkt- och kvotregel i flervariabelfall
- [3Blue1Brown: Implicit differentiation](https://youtu.be/qb40J4N1fa4) — intuition för implicit derivering

### Interaktiva verktyg

- [Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com) — `partial derivative of f(x,y) with respect to x` för symbolisk beräkning
- [Desmos 3D](https://www.desmos.com/3d) — visualisera funktioner och deras derivator

### Wikipedia

- [Partial derivative — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative)
- [Product rule — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Product_rule)
- [Implicit function theorem — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_function_theorem)

### Fördjupning

- Adams & Essex, *Calculus: A Complete Course*, avsnitt 13.3–13.5

---

## Föreläsningsanteckningar

> Från föreläsning: 2026-03-25, M0068M

### 2026-03-25 – Föreläsning 3 (Partiella derivator, tangentplan)

#### Definition

$$f_1(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$

$$f_2(x_0,y_0)=\lim_{k\to0}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}$$

Alternativ beteckning om $z=f(x,y)$:
$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1(x,y), \quad \frac{\partial z}{\partial y}=f_2(x,y)$$

#### Beräkningsexempel

**a)** $f(x,y)=x^2+5x^3y^2$:
$$f_1=2x+15x^2y^2, \quad f_2=10x^3y$$

**b)** $z=\frac{x}{x^2+e^{xy}}$:
$$f_1=\frac{-x^2+e^{xy}-xye^{xy}}{(x^2+e^{xy})^2}, \quad f_2=-\frac{x^2e^{xy}}{(x^2+e^{xy})^2}$$

**c)** $z=e^{2x}\cos(xy)$: derivering och insättning $(x,y)=(1,0)$:
$$f_1(1,0)=2e^2, \quad f_2(1,0)=0$$

#### Tangentvektorer och tangentplan

Tangentvektorer i $(a,b)$:
$$\vec{T}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\f_1(a,b)\end{bmatrix}, \quad \vec{T}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\f_2(a,b)\end{bmatrix}$$

Normalvektor: $\vec{T}_1\times\vec{T}_2=\begin{bmatrix}-f_1(a,b)\\-f_2(a,b)\\1\end{bmatrix}$

**[[Tangentplanets ekvation]]:**
$$z-f(a,b)=f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)$$

**Exempel:** $f(x,y)=2x^2+y^2$, tangentplan i $(1,2)$:
- Punkt: $(1,2,6)$; $f_1(1,2)=4$; $f_2(1,2)=4$
- Tangentplan: $z-6=4(x-1)+4(y-2)$