Parametriserade ytor

Kurs: M0068M Förkunskaper: Parametriserade kurvor, Partiella derivator, Kryssprodukt

---

1. Från kurvor till ytor

En parametriserad kurva beskriver en endimensionell väg i rummet via en parameter $t$. Att parametrisera en yta är samma idé, men man behöver två parametrar — en längs varje “riktning” på ytan. Resultatet är en avbildning

$$\boxed{\vec{r}(u,v)=\left(\begin{array}{c}x(u,v)\\ y(u,v)\\ z(u,v)\end{array}\right),(u,v)\in D\subset {\mathbb{R}}^2}$$

som rullar ut det plana området $D$ till en yta $S$ i ${\mathbb{R}}^3$.

Grundtanken

Tänk på $(u,v)$ som “koordinater på ytan”. När $u$ varierar med $v$ fastnat ritar du en kurva som löper i en riktning över ytan, och tvärtom när $v$ varierar. Ytan är hela bunten av sådana kurvor.

I bilden ser man en sfär parametriserad med polvinkel och azimut — meridianerna är $v$-kurvor (varierar $u$) och parallellerna är $u$-kurvor (varierar $v$).

2. Standardexempel

2.1 Graf av en funktion

Om ytan är grafen $z=f(x,y)$ är parametriseringen självskriven:

$$\vec{r}(u,v)=\left(\begin{array}{c}u\\ v\\ f(u,v)\end{array}\right).$$

2.2 Sfär av radie $R$

$$\vec{r}(\varphi ,\theta )=\left(\begin{array}{c}R\sin \varphi \cos \theta \\ R\sin \varphi \sin \theta \\ R\cos \varphi \end{array}\right),\varphi \in [0,\pi ],\theta \in [0,2\pi ).$$

Här är $\varphi$ polvinkel och $\theta$ azimut — samma struktur som sfäriska koordinater.

2.3 Cylinder av radie $R$

$$\vec{r}(\theta ,z)=\left(\begin{array}{c}R\cos \theta \\ R\sin \theta \\ z\end{array}\right),\theta \in [0,2\pi ),z\in [a,b].$$

2.4 Rotationsyta

Om en kurva $z=g(r),r\in [r_0,r_1]$ roteras kring $z$-axeln blir ytan

$$\vec{r}(r,\theta )=\left(\begin{array}{c}r\cos \theta \\ r\sin \theta \\ g(r)\end{array}\right).$$

Paraboloiden $z=x^2+y^2$ är detta med $g(r)=r^2$.

3. Tangentvektorer och normal

I varje punkt på ytan har man två naturliga tangentvektorer — en längs varje parameterriktning:

$${\vec{r}}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u},{\vec{r}}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}.$$

De spänner upp tangentplanet till ytan i punkten. Deras kryssprodukt ger en normalvektor:

$$\boxed{\vec{n}={\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v}$$

Kryssproduktens längd är arean

$\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert dudv$ är arean av den lilla parallellogram som de två tangentvektorerna spänner upp. Det är detta som blir arealelementet $dS$ när man integrerar över ytan — se Ytintegraler.

Singulära punkter

Om ${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v=\vec{0}$ någonstans är parametriseringen degenererad där. Det händer t.ex. vid sfärens poler. Det är inget allvarligt om det bara sker på en mängd med area noll — integraler bryr sig inte om sådana punkter — men man bör vara medveten om det när man räknar.

4. Arealelementet

Den lokala “areavikten” som följer med en parametrisering är

$$\boxed{dS=\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert dudv}$$

Specialfall — graf $z=f(x,y)$

Med $\vec{r}(u,v)=(u,v,f(u,v))$ blir

$${\vec{r}}_u=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ f_u\end{array}\right),{\vec{r}}_v=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ f_v\end{array}\right),$$

och en direkt räkning ger

$${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v=\left(\begin{array}{c}-f_u\\ -f_v\\ 1\end{array}\right),\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert =\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}.$$

Alltså

$$\boxed{dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy(\text{graf-fallet})}$$

Det är värt att lägga på minnet — det dyker upp i alla ytintegraler över en graf.

Specialfall — sfär av radie $R$

För sfärparametriseringen i §2.2:

$${\vec{r}}_{\varphi }\times {\vec{r}}_{\theta }=R^2\sin \varphi \hat{r},dS=R^2\sin \varphi d\varphi d\theta .$$

Det stämmer med sfäriska koordinaters vinkeldel.

5. Orientering

Valet av parametrisering bestämmer också ytans orientering — riktningen på normalvektorn. Om man byter parameterordningen från $(u,v)$ till $(v,u)$ vänder normalvektorn (eftersom ${\vec{r}}_v\times {\vec{r}}_u=-{\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$).

Detta är viktigt för flödesintegraler och för Stokes sats; se Orientering (kurvor och ytor) för detaljer.

6. Räknemetod

Hur du jobbar med en parametriserad yta

1. Skriv ner $\vec{r}(u,v)$ och $(u,v)$-området $D$.
2. Räkna ${\vec{r}}_u$ och ${\vec{r}}_v$ komponentvis.
3. Räkna kryssprodukten ${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$.
4. Ta längden för $dS$, eller behåll vektorn för flödesintegraler.
5. Sätt upp dubbelintegralen över $D$ med rätt arealvikt.

Exempel — area av en paraboloid-cap

Beräkna arean av den del av paraboloiden $z=x^2+y^2$ som ligger under planet $z=1$.

Parametrisering. Använd grafform:

$$\vec{r}(x,y)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ x^2+y^2\end{array}\right),(x,y)\in D=\{x^2+y^2\le 1\}.$$

Arealelement. Med $f(x,y)=x^2+y^2$ får vi $f_x=2x,f_y=2y$, så

$$dS=\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy.$$

Räkningen. Byt till polärt:

$$\text{area}={\iint }_{D}dS={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta .$$

Inre integralen med substitutionen $u=1+4r^2,du=8rdr$:

$${\int }_0^{1}r\sqrt{1+4r^2}dr=\frac{1}{8}{\int }_1^5\sqrt{u}du=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}(5^{3/2}-1)=\frac{5\sqrt{5}-1}{12}.$$

Yttre faktorn $2\pi$ ger

$$\text{area}=\boxed{\frac{\pi }{6}(5\sqrt{5}-1)}\approx 5,33.$$

Exempel — area av en sfär (sanity check)

Med sfärparametriseringen och $dS=R^2\sin \varphi d\varphi d\theta$:

$$\text{area}={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{R}^2\sin \varphi d\varphi d\theta =R^2\cdot 2\pi \cdot 2=\boxed{4\pi R^2}.$$

Den klassiska formeln, ut på tre rader.

Läsning

• 16.5 Surfaces and Surface Integrals

Se även

• Parametriserade kurvor
• Ytintegraler
• Flödesintegraler
• Orientering (kurvor och ytor)
• Kryssprodukt

Resurser

• Khan Academy: Surfaces and parametrizations
• 3Blue1Brown: Manifolds and parametrizations — generell intuition.
• Wikipedia: Parametric surface