Parametriserade ytor

Kurs: M0068M Förkunskaper: Parametriserade kurvor

---

En yta $S$ i ${\mathbb{R}}^3$ beskrivs av en avbildning

$$\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in D\subset {\mathbb{R}}^2$$

Tangentvektorer och normal

$${\vec{r}}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u},{\vec{r}}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v},\vec{n}={\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$$

Arealelement

$$dS=\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert dudv$$

Exempel

• Sfär: $\vec{r}=(R\sin \varphi \cos \theta ,R\sin \varphi \sin \theta ,R\cos \varphi )$
• Cylinder: $\vec{r}=(R\cos \theta ,R\sin \theta ,z)$

Läsning

• 16.5 Surfaces and Surface Integrals

Se även

• Ytintegraler
• Flödesintegraler
• Parametriserade kurvor