---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - yta
förkunskaper:
  - "[[Parametriserade kurvor]]"
  - "[[Partiella derivator]]"
  - "[[Kryssprodukt]]"
status: utkast
aliases:
  - Parametrisering av yta
  - Surface parametrization
---
> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Parametriserade kurvor]], [[Partiella derivator]], [[Kryssprodukt]]

---

## 1. Från kurvor till ytor

En [[Parametriserade kurvor|parametriserad kurva]] beskriver en endimensionell väg i rummet via *en* parameter $t$. Att parametrisera en **yta** är samma idé, men man behöver *två* parametrar — en längs varje "riktning" på ytan. Resultatet är en avbildning

$$
\boxed{\;\vec r(u,v)=\begin{pmatrix}x(u,v)\\ y(u,v)\\ z(u,v)\end{pmatrix},\qquad (u,v)\in D\subset\mathbb R^2\;}
$$

som rullar ut det plana området $D$ till en yta $S$ i $\mathbb R^3$.

> [!abstract] Grundtanken
> Tänk på $(u,v)$ som "koordinater på ytan". När $u$ varierar med $v$ fastnat ritar du en kurva som löper i en riktning över ytan, och tvärtom när $v$ varierar. Ytan är hela bunten av sådana kurvor.

![[param-sphere-grid.png|520]]

I bilden ser man en sfär parametriserad med polvinkel och azimut — meridianerna är $v$-kurvor (varierar $u$) och parallellerna är $u$-kurvor (varierar $v$).

## 2. Standardexempel

### 2.1 Graf av en funktion

Om ytan är grafen $z=f(x,y)$ är parametriseringen självskriven:

$$
\vec r(u,v)=\begin{pmatrix}u\\ v\\ f(u,v)\end{pmatrix}.
$$

### 2.2 Sfär av radie $R$

$$
\vec r(\phi,\theta)=\begin{pmatrix}R\sin\phi\cos\theta\\ R\sin\phi\sin\theta\\ R\cos\phi\end{pmatrix},\qquad \phi\in[0,\pi],\ \theta\in[0,2\pi).
$$

Här är $\phi$ polvinkel och $\theta$ azimut — samma struktur som [[Sfäriska koordinater|sfäriska koordinater]].

### 2.3 Cylinder av radie $R$

$$
\vec r(\theta,z)=\begin{pmatrix}R\cos\theta\\ R\sin\theta\\ z\end{pmatrix},\qquad \theta\in[0,2\pi),\ z\in[a,b].
$$

### 2.4 Rotationsyta

Om en kurva $z=g(r),\ r\in[r_0,r_1]$ roteras kring $z$-axeln blir ytan

$$
\vec r(r,\theta)=\begin{pmatrix}r\cos\theta\\ r\sin\theta\\ g(r)\end{pmatrix}.
$$

Paraboloiden $z=x^2+y^2$ är detta med $g(r)=r^2$.

## 3. Tangentvektorer och normal

I varje punkt på ytan har man två naturliga tangentvektorer — en längs varje parameterriktning:

$$
\vec r_u=\frac{\partial \vec r}{\partial u},\qquad \vec r_v=\frac{\partial \vec r}{\partial v}.
$$

De spänner upp **tangentplanet** till ytan i punkten. Deras [[Kryssprodukt|kryssprodukt]] ger en normalvektor:

$$
\boxed{\;\vec n=\vec r_u\times \vec r_v\;}
$$

![[param-tangents.png|540]]

> [!important] Kryssproduktens längd är arean
> $\|\vec r_u\times \vec r_v\|\,du\,dv$ är arean av den lilla parallellogram som de två tangentvektorerna spänner upp. Det är detta som blir **arealelementet** $dS$ när man integrerar över ytan — se [[Ytintegraler]].

> [!warning] Singulära punkter
> Om $\vec r_u\times \vec r_v=\vec 0$ någonstans är parametriseringen *degenererad* där. Det händer t.ex. vid sfärens poler. Det är inget allvarligt om det bara sker på en mängd med area noll — integraler bryr sig inte om sådana punkter — men man bör vara medveten om det när man räknar.

## 4. Arealelementet

Den lokala "areavikten" som följer med en parametrisering är

$$
\boxed{\;dS=\|\vec r_u\times \vec r_v\|\,du\,dv\;}
$$

### Specialfall — graf $z=f(x,y)$

Med $\vec r(u,v)=(u,v,f(u,v))$ blir

$$
\vec r_u=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ f_u\end{pmatrix},\qquad \vec r_v=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ f_v\end{pmatrix},
$$

och en direkt räkning ger

$$
\vec r_u\times \vec r_v=\begin{pmatrix}-f_u\\ -f_v\\ 1\end{pmatrix},\qquad \|\vec r_u\times \vec r_v\|=\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}.
$$

Alltså

$$
\boxed{\;dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy\;\quad(\text{graf-fallet})}
$$

Det är värt att lägga på minnet — det dyker upp i alla ytintegraler över en graf.

### Specialfall — sfär av radie $R$

För sfärparametriseringen i §2.2:

$$
\vec r_\phi\times \vec r_\theta=R^2\sin\phi\,\hat r,\qquad dS=R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta.
$$

Det stämmer med [[Variabelbyte i trippelintegraler|sfäriska koordinaters]] vinkeldel.

## 5. Orientering

Valet av parametrisering bestämmer också ytans **orientering** — riktningen på normalvektorn. Om man byter parameterordningen från $(u,v)$ till $(v,u)$ vänder normalvektorn (eftersom $\vec r_v\times \vec r_u=-\vec r_u\times \vec r_v$).

Detta är viktigt för [[Flödesintegraler|flödesintegraler]] och för [[Stokes sats]]; se [[Orientering (kurvor och ytor)]] för detaljer.

## 6. Räknemetod

> [!important] Hur du jobbar med en parametriserad yta
> 1. **Skriv ner $\vec r(u,v)$** och $(u,v)$-området $D$.
> 2. **Räkna $\vec r_u$ och $\vec r_v$** komponentvis.
> 3. **Räkna kryssprodukten** $\vec r_u\times \vec r_v$.
> 4. **Ta längden** för $dS$, eller behåll vektorn för flödesintegraler.
> 5. **Sätt upp dubbelintegralen** över $D$ med rätt arealvikt.

> [!example]- Exempel — area av en paraboloid-cap
> Beräkna arean av den del av paraboloiden $z=x^2+y^2$ som ligger under planet $z=1$.
>
> **Parametrisering.** Använd grafform:
> $$
> \vec r(x,y)=\begin{pmatrix}x\\ y\\ x^2+y^2\end{pmatrix},\qquad (x,y)\in D=\{x^2+y^2\le 1\}.
> $$
>
> **Arealelement.** Med $f(x,y)=x^2+y^2$ får vi $f_x=2x,\ f_y=2y$, så
> $$
> dS=\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy.
> $$
>
> **Räkningen.** Byt till [[Polära koordinater|polärt]]:
> $$
> \text{area}=\iint_D dS=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1+4r^2}\,r\,dr\,d\theta.
> $$
>
> Inre integralen med substitutionen $u=1+4r^2,\ du=8r\,dr$:
> $$
> \int_0^1 r\sqrt{1+4r^2}\,dr=\frac{1}{8}\int_1^5 \sqrt u\,du=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl(5^{3/2}-1\bigr)=\frac{5\sqrt 5-1}{12}.
> $$
>
> Yttre faktorn $2\pi$ ger
> $$
> \text{area}=\boxed{\;\frac{\pi}{6}(5\sqrt 5-1)\;}\approx 5{,}33.
> $$

> [!example]- Exempel — area av en sfär (sanity check)
> Med sfärparametriseringen och $dS=R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta$:
> $$
> \text{area}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta=R^2\cdot 2\pi\cdot 2=\boxed{4\pi R^2}.
> $$
> Den klassiska formeln, ut på tre rader.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=935|16.5 Surfaces and Surface Integrals]]

## Se även

- [[Parametriserade kurvor]]
- [[Ytintegraler]]
- [[Flödesintegraler]]
- [[Orientering (kurvor och ytor)]]
- [[Kryssprodukt]]

## Resurser

- [Khan Academy: Surfaces and parametrizations](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/surface-integral/v/introduction-to-the-surface-integral)
- [3Blue1Brown: Manifolds and parametrizations](https://www.3blue1brown.com/) — generell intuition.
- [Wikipedia: Parametric surface](https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_surface)