Sfäriska koordinater

Kurs: M0068M Förkunskaper: Cylindriska koordinater, Polära koordinater

---

1. Definition

Sfäriska koordinater parametriserar en rumspunkt med radien $R$ från origo, polarvinkeln $\varphi$ (från positiva $z$-axeln) och azimutvinkeln $\theta$ (i $xy$-planet):

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=R\sin \varphi \cos \theta \\ y=R\sin \varphi \sin \theta \\ z=R\cos \varphi \end{array}}$$

där $R\ge 0$, $\varphi \in [0,\pi ]$ och $\theta \in [0,2\pi )$.

---

2. Samband med cylindriska koordinater

Cylinderradien $r=\sqrt{x^2+y^2}=R\sin \varphi$, vilket ger sambanden:

• $R^2=x^2+y^2+z^2=r^2+z^2$
• $\tan \varphi =\frac{r}{z}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$
• $\tan \theta =\frac{y}{x}$

---

3. Volymselementet

Vid variabelbyte till sfäriska koordinater är Jacobianen $R^2\sin \varphi$, och volymselementet blir

$$\boxed{dV=R^2\sin \varphi dRd\varphi d\theta }$$

---

4. Exempel

Volym av sfärisk kupa

Låt $D=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:\sqrt{x^2+y^2}\le z\le \sqrt{4-x^2-y^2}\}$.

Hitta $\mathrm{Vol}(D)$.

Området begränsas nedtill av konen ($\varphi =\pi /4$) och upptill av halvsfären med $R=2$:

• $0\le \theta \le 2\pi$
• $0\le R\le 2$
• $0\le \varphi \le \frac{\pi }{4}$

$$\mathrm{Vol}(D)={\int }_0^{\pi /4}{\int }_0^2{\int }_0^{2\pi }{R}^2\sin \varphi d\theta dRd\varphi$$

Trippelintegral med symmetriargument (ofullständig)

Beräkna ${\iiint }_D(x^2-2xy+y^2+z^2)dV$.

Termen $-2xy$ är udda i $x$-led (och i $y$-led), så om $D$ är symmetriskt kring något av dessa plan bidrar den med $0$ till integralen.

$${\iiint }_D{R}^2\cdot R\sin \varphi d\theta d\varphi dR$$ $${\int }_0^1{R}^4\left({\int }_0^{\pi /2}\left({\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\theta \right)d\varphi \right)dR$$

Det går att lösa denna genom att lösa den som en vanlig

---

Läsning

• Sfäriska koordinater

Se även

• Cylindriska koordinater
• Variabelbyte i trippelintegraler
• Trippelintegraler
• Polära koordinater

Resurser

• Animation av sfäriska koordinater
• Wikipedia: Spherical coordinate system