Trippelintegraler

Kurs: M0068M Förkunskaper: Dubbelintegraler

---

1. Idén bakom trippelintegralen

En enkel integral summerar funktionsvärden längs en linje, en dubbelintegral längs ett område i planet, och en trippelintegral längs ett område i rummet. I varje steg är det en dimension mer för domänen, men funktionen $f$ själv ändrar inte karaktär.

Grundtanken

Man summerar $f$:s värden i varje punkt i ett 3D-område och viktar med ett litet volymelement $dV$. Resultatet är en skalär — inte en bild i någon högre dimension.

Geometrisk tolkning

Geometriskt har vi kunnat tolka en enkel integral som en area och en dubbelintegral som en volym. Då borde en trippelintegral beskriva något i den fjärde dimensionen — något som är betydligt skummare att visualisera än de tidigare fallen. Därför föreslår Stephan McCormick ett alternativt sätt att se trippelintegralen.

Anledningen att integralen är en dimension högre än funktionen är att man summerar funktionsvärden i varje punkt och lyfter värdena som en egen dimension. Man ska fortfarande (om man kan) rita upp en bild för att föreställa sig domänen — från vad till vad ska jag integrera? Det hjälper också med valet av koordinatsystem.

Det är möjligt att beskriva en trippelintegral som en hypervolym, men det är sällan lämpligt.

---

2. Definition

Integralen av en funktion $f$ över ett område $V\subset {\mathbb{R}}^3$ skrivs

$$\boxed{{\iiint }_{V}f(x,y,z)dV}$$

och tolkas som summan av $f$:s värden viktade med ett volymelement $dV$ över hela $V$. I kartesiska koordinater är $dV=dxdydz$.

Specialfall — volym

Med $f\equiv 1$ blir integralen volymen av $V$:

$$\mathrm{vol}(V)={\iiint }_{V}1dV.$$

---

3. Itererad integration (Fubini)

Om $V$ kan beskrivas av nästlade gränser

$$a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x),h_1(x,y)\le z\le h_2(x,y),$$

ger Fubinis sats att integralen kan skrivas som tre itererade enkelintegraler:

$${\iiint }_{V}fdV={\int }_a^b{\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}{\int }_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx.$$

Ordning får väljas

Vilken variabel som integreras innerst är fritt att välja — det är samma integral oavsett. Välj ordning så att gränserna blir så enkla som möjligt; ofta avgör områdets form vad som är lättast.

Vanlig fallgrop

När man byter integrationsordning måste alla gränser översättas — både inre och yttre. En blandning av gränser från två olika ordningar är en av de vanligaste felkällorna.

---

4. Vanliga koordinatsystem

För områden med rotations- eller sfärisk symmetri lönar sig nästan alltid ett variabelbyte (se Variabelbyte i trippelintegraler).

Koordinater	Variabler	Volymelement
Kartesiska	$(x,y,z)$	$dV=dxdydz$
Cylindriska	$(r,\theta ,z)$	$dV=rdrd\theta dz$
Sfäriska	$(\rho ,\varphi ,\theta )$	$dV={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$

---

5. Exempel

Exempel 1 — tetraedern $x+y+z\le 1$ i första oktanten

Området $V$ begränsas av planet $x+y+z=1$ och de tre koordinatplanen:

$$V:\{(x,y,z):x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0,x+y+z\le 1\}.$$

Samma område kan beskrivas med olika integrationsordningar. Två typiska val:

$${\int }_0^1{\int }_0^{1-z}{\int }_0^{1-y-z}fdxdydz$$

eller

$${\int }_0^1{\int }_0^{1-z}{\int }_0^{1-x-z}fdydxdz.$$

Sanity-check (volym). Med $f\equiv 1$:

$$\mathrm{vol}(V)={\int }_0^1{\int }_0^{1-z}{\int }_0^{1-y-z}dxdydz={\int }_0^1{\int }_0^{1-z}(1-y-z)dydz.$$

Den inre ger $[(1-z)y-\frac{1}{2}{y}^2{]}_0^{1-z}=\frac{1}{2}(1-z{)}^2$, och slutligen

$$\mathrm{vol}(V)={\int }_0^1\frac{(1-z{)}^2}{2}dz=\frac{1}{6}.$$

Det stämmer med formeln för en tetraeder: $V=\frac{1}{6}\cdot \text{base}\cdot \text{height}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}$.

Exempel 2 — volym mellan paraboloid och plan

Hitta volymen av området som ligger ovanför paraboloiden $z=x^2+y^2$ och under planet $z=3-2y$.

Vilket är $D_{xy}$? Skärningen ges av $3-2y=x^2+y^2$, dvs.

$$x^2+y^2+2y-3=0⟺x^2+(y+1{)}^2=4.$$

Det är en cirkelskiva med radie $2$ och centrum i $(0,-1)$. Kalla den $D_{xy}$.

Volymintegralen. Med $z$ som inre variabel:

$$V={\iiint }_{V}dV={\iint }_{D_{xy}}{\int }_{x^2+y^2}^{3-2y}dzdA={\iint }_{D_{xy}}(3-2y-x^2-y^2)dA.$$

Skift och polärt. Sätt $u=x,v=y+1$, vilket centrerar skivan i origo. Då blir

$$3-2y-x^2-y^2=3-2(v-1)-u^2-(v-1{)}^2=4-u^2-v^2,$$

och $D_{xy}$ blir skivan $\{u^2+v^2\le 4\}$. Polära koordinater $u=r\cos \theta ,v=r\sin \theta$ ger

$$V={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2(4-r^2)rdrd\theta .$$

Inre integralen:

$${\int }_0^2(4r-r^3)dr=[2r^2-\frac{r^4}{4}{]}_0^2=8-4=4.$$

Alltså

$$V=2\pi \cdot 4=\boxed{8\pi }.$$

Rimlighetskoll. Det maximala värdet av $z=3-2y$ minus $z=x^2+y^2$ uppstår i centrum av skivan ($u=v=0$), där det blir $4$, och avtar till $0$ på randen. Volymen $8\pi \approx 25,1$ är samma som en cirkulär cylinder med radie $2$ och höjd $2$ — vilket är vad man förväntar sig av ett “halvfullt” lock över skivan.

---

6. Användning

• Volym av $V$ — sätt $f=1$.
• Massa av kropp med densitet $\rho (x,y,z)$: $m={\iiint }_V\rho dV.$
• Masscentrum av kropp: $\bar{x}=\frac{1}{m}{\iiint }_{V}x\rho dV,\bar{y}=\frac{1}{m}{\iiint }_{V}y\rho dV,\bar{z}=\frac{1}{m}{\iiint }_{V}z\rho dV.$
• Tröghetsmoment kring en axel.
• Sannolikheter för 3D-fördelningar i statistik.

---

7. Metodik — steg för steg

Hur man räknar en trippelintegral

1. Rita området. Identifiera vilket koordinatsystem som passar (kartesiskt, cylindriskt, sfäriskt).
2. Välj integrationsordning. Inre variabel ska ha gränser som är enklast.
3. Sätt upp gränserna. Yttersta gränsen är konstanter; varje inre gräns får bero på de yttre variablerna.
4. Beräkna inifrån och ut, en enkelintegral i taget.
5. Kontrollera. Sätt $f=1$ för en sanity-check mot kända volymformler.

---

Läsning

• 15.5 Triple Integrals

Se även

• Dubbelintegraler
• Variabelbyte i trippelintegraler
• Hypervolym
• Masscentrum
• Masströghetsmoment

Resurser

• Khan Academy: Triple integrals
• Wikipedia: Multiple integral