Dubbelintegraler

Kurs: M0068M Förkunskaper: Bestämd integral och Riemannsummor, Integraler

---

1. Definition via Riemannsummor

Låt $f(x,y)$ vara definierad på ett slutet, begränsat område $D\subset {\mathbb{R}}^2$. Dela upp $D$ i $n$ delområden $\Delta A_k$ med valda punkter $(x_k^{\ast },y_k^{\ast })$.

Volymelement kan beskrivas som funktionen $\times$ arean, och $\Delta A$ kan beskrivas som $\Delta x\Delta y$

$\Delta V=f(x,y)\Delta A=f(x,y)\Delta x\Delta y$

Totala volymen kan beskrivas som en summa av dessa volymelement $\Delta V$

$${\iint }_{D}f(x,y)dA=\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k^{\ast },y_k^{\ast })\Delta A_k$$

Exempel: för kvadraten $0\le x\le 1,0\le y\le 1$ kan vi dela i fyra delkvadrater med centrum i punkterna nedan och summera $f$ över dem.

---

2. Geometrisk tolkning

Tolkning

Om $f(x,y)\ge 0$ på $D$ är ${\iint }_{D}f(x,y)dA$ volymen av kroppen mellan området $D$ i $xy$-planet och ytan $z=f(x,y)$.

Specialfallet $f\equiv 1$ ger arean av $D$:

$${\iint }_{D}1dA=\text{area}(D)$$

---

3. Itererade integraler (Fubinis sats)

Över ett rektangulärt område $R=[a,b]\times [c,d]$ gäller:

$${\iint }_{R}f(x,y)dA={\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dydx={\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy$$

x-enkelt vs y-enkelt område

• y-enkelt: $D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$ ${\iint }_{D}fdA={\int }_a^b{\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dydx$
• x-enkelt: $D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$ ${\iint }_{D}fdA={\int }_c^d{\int }_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dxdy$

Välj integrationsordning efter hur $D$ är enklast att beskriva.

---

4. Räkneregler

• Linjäritet: ${\iint }_D(\alpha f+\beta g)dA=\alpha {\iint }_{D}fdA+\beta {\iint }_{D}gdA$
• Additivitet över område: om $D=D_1\cup D_2$ och $D_1\cap D_2$ har area noll, ${\iint }_{D}fdA={\iint }_{D_1}fdA+{\iint }_{D_2}fdA$
• Monotoni: $f\le g$ på $D\Rightarrow {\iint }_{D}fdA\le {\iint }_{D}gdA$
• Symmetri: om $D$ är symmetriskt kring $x$-axeln och $f$ är udda i $y$, är ${\iint }_{D}fdA=0$. Analogt för udda i $x$.

---

5. Exempel

Exempel 1 - symmetri över enhetsskivan

${\iint }_D(\sin x+1+y)dA,D=\{x^2+y^2\le 1\}$

$D$ är symmetriskt kring båda axlarna.

• $\sin x$ är udda i $x$ $\Rightarrow {\iint }_D\sin xdA=0$
• $y$ är udda i $y$ $\Rightarrow {\iint }_{D}ydA=0$
• ${\iint }_{D}1dA=\text{area}(D)=\pi$

Svar: $\pi$.

Exempel 2 - y-enkelt område

${\iint }_{D}x{y}^{2}dA,D:0\le y\le x,0\le x\le 1$

Lös som itererad integral (inre i $y$): ${\int }_0^1{\int }_0^{x}x{y}^{2}dydx={\int }_0^{1}x\cdot \frac{x^3}{3}dx={\int }_0^1\frac{x^4}{3}dx=\frac{1}{15}$

Exempel 3

$\iint \sin (x)+1dA,D:\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|a\le x^2+y^2{\le }_4\}$

Villkoret säger att distansen till $(0,0)$ är mellan $1$ och $2$ Bild på Domänet: $\text{Area}(D)=\pi (2{)}^2-\pi (1{)}^2=3\pi$

Exempel 4

Hitta volymen under grafen för

$f(x,y)=e^{y^3}$ $x-y$ planet för $x\ge 0$ och $\sqrt{x}\le y\le 1$

Domänet är arean mellan villkoren integrera

${\iint }_D=e^{y^3}dA={\int }_0^1{\int }_{\sqrt{x}}^1{e}^{y^3}dydx$

$={\int }_0^1[\dots ]=\text{Kan inte utrycka}$

Det går inte att lösa uppgiften genom att gå från vänster till höger och intgrera. Vi testar att gå nedifrån och upp

${\int }_0^1{\int }_0^{y^2}{e}^{y^3}dxdy={\int }_0^1{e}^{y^2}{\int }_0^{y^2}dxdy={\int }_0^1[x{e}^{y^3}{]}_{x=0}^{x=y^2}dy=\cdots =\frac{1}{3}(e-1)$

Exempel 5 - Polära koordinater $D:\{1\le r{\le }_2,0\le \theta \le 2\pi \}$ ${\iint }_D{x}^2+y^{2}dA={\iint }_D{r}^{2}dA$

${\int }_0^{2\pi }{\int }_1^2{r}^{2}dA$ $dA=dxdy=\text{fungerar ej fo¨r pola¨ra integraler sa˚ vad ska vi anva¨nda ista¨llet?}$

$\Delta A\approx r\Delta \theta \Delta r\approx r\times dr\times d\theta$

---

6. Typiska användningar

• Volym under en yta
• Area av områden i planet
• Masscentrum och moment för plattor
• Polära koordinater när $D$ är cirkulärt
• Sannolikhetstäthet i två variabler

---

Läsning

• 15.1 Double Integrals
• 15.2 Iteration of Double Integrals

Se även

• Bestämd integral och Riemannsummor
• Variabelbyte i dubbelintegraler
• Trippelintegraler
• Integraler

Resurser

• Adams & Essex, Calculus, kap. 15.1–15.3