Variabelbyte i dubbelintegraler

Kurs: M0068M Förkunskaper: Dubbelintegraler, Kryssprodukt

---

1. Idén bakom variabelbytet

En dubbelintegral

$${\iint }_{D}f(x,y)dA$$

kan vara obekväm att beräkna direkt om antingen integranden $f$ eller området $D$ uttrycker sig dåligt i kartesiska koordinater $(x,y)$. Variabelbytet handlar om att hitta nya koordinater $(u,v)$ där problemet blir geometriskt enklare - ofta så att $D$ blir en rektangel i de nya koordinaterna och så att integranden tar en kortare form.

Grundtanken

Vi byter koordinatsystem för att få en bättre geometri. En cirkulär ring i $(x,y)$-planet blir t.ex. en rektangel i $(r,\theta )$-planet — och rektanglar är mycket lättare att integrera över.

Pris för bytet: areaelementet $dA$ förvrids när vi byter koordinater. Ett litet rektangelelement $dudv$ i $(u,v)$-planet motsvarar i regel inte ett lika stort $dxdy$ i $(x,y)$-planet. Den lokala skalfaktorn ges av Jacobianens determinant, som vi härleder nedan.

---

2. Transformationen $T$

Ett variabelbyte beskrivs av en avbildning

$$T:(u,v)⟼(x,y),x=x(u,v),y=y(u,v),$$

som kartlägger ett område $D^{\prime }$ i $(u,v)$-planet bijektivt på $D$ i $(x,y)$-planet.

Pilarna visar hur $T$ mappar $D^{\prime }$ framåt på $D$ och hur inversen $T^{-1}$ mappar tillbaka. Tanken är inte att $T$ ska vara enkel — den får gärna förvrida saker — utan att $D^{\prime }$ ska ha en enkelt parametriserbar form (oftast en rektangel).

För att substitutionsformeln ska gälla kräver vi att $T$ är

• bijektiv (entydigt inverterbar) på det inre av $D^{\prime }$,
• kontinuerligt deriverbar ($C^1$),
• har icke-singulär Jacobian, dvs. $\det J_T\ne 0$.

Note

Att $T$ får misslyckas med kraven på en mängd med area noll är vad som tillåter polära koordinater (där origo är degenererat — alla $\theta$ ger samma punkt) och flera andra standardbyten.

---

3. Härledning av areaelementet

Vi vill veta hur en liten rektangel med sidor $du$ och $dv$ i $(u,v)$-planet blir när den avbildas till $(x,y)$-planet.

Bilden ovan är hela idén i en blink: en liten rektangel med sidorna $du$ och $dv$ i $(u,v)$-planet avbildas approximativt på en parallelogram i $(x,y)$-planet, vars sidor är tangentvektorerna $\vec{a}$ och $\vec{b}$. Vår uppgift är att uttrycka parallelogrammets area i termer av $du,dv$ och derivatorna av $T$.

Skriv positionsvektorn i kartesiska koordinater som

$$\vec{r}(u,v)=\left(\begin{array}{c}x(u,v)\\ y(u,v)\end{array}\right).$$

Längs riktningen där bara $u$ varierar (med $v=v_0$ fixt) ger en linjär approximation tangentvektorn

$$\vec{a}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}du=\left(\begin{array}{c}\partial x/\partial u\\ \partial y/\partial u\end{array}\right)du,$$

och längs riktningen där bara $v$ varierar

$$\vec{b}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}dv=\left(\begin{array}{c}\partial x/\partial v\\ \partial y/\partial v\end{array}\right)dv.$$

Den lilla parallelogram som $\vec{a}$ och $\vec{b}$ spänner upp har arean given av kryssproduktens belopp:

$$dA=|\vec{a}\times \vec{b}|=\left|\det \left(\begin{array}{cc}\partial x/\partial u& \partial x/\partial v\\ \partial y/\partial u& \partial y/\partial v\end{array}\right)\right|dudv.$$

Determinanten i mitten kallas Jacobianens determinant för $T$:

$$\boxed{J_T=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)}$$

Tolkning av $|J_T|$

$|J_T(u_0,v_0)|$ är den lokala arealförstärkningsfaktorn — hur mycket en liten yta i $(u,v)$-planet blåses upp eller krymper när den avbildas till $(x,y)$-planet vid punkten $(u_0,v_0)$.

• $|J_T|=1$: bytet är areabevarande lokalt.
• $|J_T|>1$: ytan blåses upp.
• $|J_T|<1$: ytan krymper.

---

4. Substitutionsformeln

Med ovanstående resultat blir den fullständiga formeln:

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dA={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))|J_T|dudv}$$

Lägg märke till tre saker:

1. Områdets ändras: integralen i högerled går över $D^{\prime }$, inte $D$.
2. Integranden uttrycks i nya variabler: $f(x(u,v),y(u,v))$.
3. Areaelementet bär en faktor: $|J_T|dudv$ ersätter $dA$.

Glöm inte absolutbeloppet

Det är absolutbeloppet $|J_T|$ som ska användas — areor är alltid positiva, oavsett hur transformationen orienterar planet. Tecknet på $J_T$ säger något om orientering, inte om area.

---

5. Polära koordinater

Det vanligaste variabelbytet i kursen är polära koordinater:

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$$

med $r\ge 0$ och $\theta \in [0,2\pi )$. Se Polära koordinater för bakgrund.

Jacobianens determinant blir

$$J_T=\det \left(\begin{array}{cc}\partial x/\partial r& \partial x/\partial \theta \\ \partial y/\partial r& \partial y/\partial \theta \end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r,$$

så

$$\boxed{dA=rdrd\theta }$$

Geometrisk bild av faktorn $r$

Ett litet “polart rektangelelement” är en cirkelsektor med inre radie $r$, tjocklek $dr$ och vinkelbredd $d\theta$. Sektorns båglängd är $rd\theta$, så arean blir

$$\Delta A\approx \underset{\text{ba˚gla¨ngd}}{\underbrace{rd\theta }}\cdot \underset{\text{tjocklek}}{\underbrace{dr}}=rdrd\theta .$$

Faktorn $r$ kompenserar alltså för att sektorerna är större längre ut från origo.

Exempel 1 — integral över enhetsskivan

Beräkna

$${\iint }_D(x^2+y^2)dA,D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}.$$

Varför polärt? Både området (en cirkulär skiva) och integranden ($x^2+y^2$) är rotationssymmetriska kring origo. Det är textboksexemplet på när polära koordinater är rätt val — i kartesiska koordinater måste man kämpa med rotgränser av typen $-\sqrt{1-x^2}\le y\le \sqrt{1-x^2}$, medan polärt blir det en ren rektangel.

Områdesöversättning. Bytet $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ avbildar

$$D^{\prime }=\{(r,\theta ):0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi \}$$

bijektivt på $D$ (utom i origo, en mängd med area noll, vilket är tillåtet).

Integranden i nya variabler. Pythagoras ger direkt

$$x^2+y^2=r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta =r^2.$$

Jacobianen. Vi vet sedan tidigare att $|J_T|=r$, så $dA=rdrd\theta$.

Räkningen.

$${\iint }_D(x^2+y^2)dA={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^2\cdot rdrd\theta ={\int }_0^{2\pi }d\theta \cdot {\int }_0^1{r}^{3}dr=2\pi \cdot \frac{1}{4}=\boxed{\frac{\pi }{2}}.$$

Lägg märke till hur den itererade integralen separerar helt — det är möjligt eftersom både integranden och områdesgränserna i $(r,\theta )$ har produktstruktur ($r^3\cdot 1$ över $[0,1]\times [0,2\pi ]$).

Rimlighetskoll. Skivan har arean $\pi$, och $r^2$ ligger mellan $0$ (i origo) och $1$ (på randen). Medelvärdet av $r^2$ över skivan blir därför $(\pi /2)/\pi =1/2$, vilket är ett rimligt mellanvärde.

Exempel 2 — kvartsring (och varför Jacobianen $r$ "stämmer")

Beräkna arean av kvartsringen

$$D=\{(x,y):1\le \sqrt{x^2+y^2}\le 2,x\ge 0,y\ge 0\}.$$

Områdesöversättning. I polära koordinater blir randvillkoren $1\le r\le 2$ för radien och $0\le \theta \le \pi /2$ för vinkeln (första kvadranten). Det rörmiga “ringbandet i första kvadranten” blir alltså rektangeln

$$D^{\prime }=[1,2]\times [0,\pi /2].$$

Räkningen.

$${\iint }_{D}1dA={\int }_0^{\pi /2}{\int }_1^{2}1\cdot rdrd\theta =\frac{\pi }{2}{\left[\frac{r^2}{2}\right]}_1^2=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{3}{2}=\boxed{\frac{3\pi }{4}}.$$

Rimlighetskoll (och en intuitionsbyggare). Geometrin ger oss arean direkt: en hel ring mellan radie $1$ och $2$ har area $\pi (2^2-1^2)=3\pi$, och en kvartsring blir $3\pi /4$. Stämmer.

Vad händer utan faktorn $r$?

Om vi (felaktigt) glömde Jacobianen och skrev ${\int }_0^{\pi /2}{\int }_1^{2}drd\theta =\frac{\pi }{2}\cdot 1=\frac{\pi }{2}$. Det är fel storleksordning — vi saknar precis den $r$-vägning som kompenserar för att den yttre delen av ringen är “fysiskt större” än den inre.

Exempel 3 — Gaussintegralen

Visa att

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$$

Detta är ett av de mest kända resultaten i analys, och variabelbyte i 2D är tricket som måste användas — den kartesiska enkelintegralen har ingen elementär primitiv.

Tricket. Sätt $I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$ och betrakta $I^2$ som en dubbelintegral genom att kalla den andra integrationsvariabeln $y$:

$$I^2=\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2}dy\right)={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-x^2}{e}^{-y^2}dxdy={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dA.$$

Varför polärt? Integranden $e^{-(x^2+y^2)}$ är rotationssymmetrisk (nivåkurvorna är cirklar, se figuren), och området är hela planet — precis den situation där polärt vinner. I polära koordinater blir

$$e^{-(x^2+y^2)}=e^{-r^2},$$

och ${\mathbb{R}}^2$ avbildas på $D^{\prime }=\{0\le r<\infty ,0\le \theta \le 2\pi \}$.

Räkningen. Med $dA=rdrd\theta$:

$$I^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdrd\theta .$$

Inre integralen löses med substitutionen $s=r^2,ds=2rdr$:

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdr=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{e}^{-s}ds=\frac{1}{2}.$$

Yttre integralen ger faktorn $2\pi$, så

$$I^2=2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi ⟹I=\boxed{\sqrt{\pi }}.$$

Vad är det egentligen som händer? $r$ i Jacobianen är vad som gör $rdr$-delen integrerbar mot $e^{-r^2}$ — utan den hade vi haft $\int e^{-r^2}dr$, som inte har elementär primitiv. Bytet förvandlar alltså en olöslig integral till en lösbar genom att lägga till exakt rätt vikt.

Faktorn

Figuren ovan visar de två integranderna sida vid sida: den blekare $e^{-r^2}$ saknar primitiv, men den mörkare $r{e}^{-r^2}$ (vägd av Jacobianen) har precis arean $1/2$ — vilket är vad som ger Gaussintegralen.

Exempel 4 — area mellan fyra paraboler

Beräkna arean av området $D$ i första kvadranten som begränsas av de fyra parabolerna

$$y=x^2,y=2x^2,x=y^2,x=3y^2.$$

I $(x,y)$-planet är området buktigt och saknar enkel beskrivning som ”$y$ mellan något och något”. Men kurvorna kan skrivas om som nivåkurvor:

Kurva	Skriv som
$y=x^2$	$x^2/y=1$
$y=2x^2$	$x^2/y=1/2$
$x=y^2$	$y^2/x=1$
$x=3y^2$	$y^2/x=1/3$

Det motiverar variabelbytet

$$u=\frac{x^2}{y},v=\frac{y^2}{x}.$$

Med detta byte blir området en rektangel:

$$D^{\prime }=\left\{(u,v):\frac{1}{2}\le u\le 1,\frac{1}{3}\le v\le 1\right\}.$$

Jacobianen via inversen. Att lösa ut $x$ och $y$ explicit ur $u$ och $v$ är trixigt, men vi behöver inte göra det. Räkna istället den “inversa” Jacobianen

$$J_{T^{-1}}=\det \left(\begin{array}{cc}\partial u/\partial x& \partial u/\partial y\\ \partial v/\partial x& \partial v/\partial y\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{2x}{y}& -\frac{x^2}{y^2}\\ -\frac{y^2}{x^2}& \frac{2y}{x}\end{array}\right).$$

Determinanten ger

$$J_{T^{-1}}=\frac{2x}{y}\cdot \frac{2y}{x}-\left(-\frac{x^2}{y^2}\right)\left(-\frac{y^2}{x^2}\right)=4-1=3.$$

Eftersom Jacobianer för $T$ och $T^{-1}$ är inverser av varandra blir

$$J_T=\frac{1}{J_{T^{-1}}}=\frac{1}{3},|J_T|=\frac{1}{3}.$$

Snabbtricket implicit ($u=u(x,y),v=v(x,y)$) är det nästan alltid lättare att räkna $\det \partial (u,v)/\partial (x,y)$ direkt och invertera till slut. Det är samma trick som i Exempel 4 ovan.

När bytet ges

Integralen. Arean blir

$$\text{area}(D)={\iint }_{D}1dA={\iint }_{D^{\prime }}1\cdot |J_T|dudv=\frac{1}{3}{\int }_{1/3}^1{\int }_{1/2}^{1}dudv.$$

Den inre integralen ger $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, och den yttre $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$, så

$$\text{area}(D)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\boxed{\frac{1}{9}}.$$

Rimlighetskoll: området ligger inneslutet i kvadraten $[0,1]\times [0,1]$, och $\frac{1}{9}\approx 0,11$ är en plausibel andel — bilden ovan stämmer med den uppskattningen.

---

6. Generaliserade polära koordinater (ellips)

För en ellips $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$ använder man

$$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta ,$$

vilket ger

$$J_T=\det \left(\begin{array}{cc}a\cos \theta & -ar\sin \theta \\ b\sin \theta & br\cos \theta \end{array}\right)=abr,$$

så

$$\boxed{dA=abrdrd\theta }$$

Området $D^{\prime }=\{0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi \}$ är då en enhetsskiva i $(r,\theta )$-planet — typiskt mycket enklare än ellipsen.

Exempel 5 — arean av en ellips

Beräkna arean av ellipsen

$$E=\left\{(x,y):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\},a,b>0.$$

Varför generaliserat polärt? Ellipsen är inte rotationssymmetrisk, men den är vad som kallas affint ekvivalent med en cirkel: en skalning med faktor $a$ längs $x$-axeln och $b$ längs $y$-axeln gör om enhetscirkeln till just $E$. Det är precis vad bytet $x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$ gör.

Områdesöversättning. Sätt in i ellipsens ekvation:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta =r^2,$$

så $r^2\le 1$, dvs. $0\le r\le 1$. Området blir alltså enhetsskivan $D^{\prime }=\{0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi \}$ i $(r,\theta )$-planet.

Räkningen. Med $dA=abrdrd\theta$ (härlett ovan):

$${\iint }_{E}1dA={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}abrdrd\theta =ab\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}=\boxed{\pi ab}.$$

Rimlighetskoll.

• $a=b=1$: $\pi \cdot 1\cdot 1=\pi$ — enhetscirkelns area. Stämmer.

• $a=b=R$: $\pi R^2$ — generell cirkel. Stämmer.

• Skalning: om vi dubblar $a$ (gör ellipsen dubbelt så bred) ska arean dubblas. Och $\pi (2a)b=2\cdot \pi ab$. Stämmer.

Affin tolkning $(x,y)=(ar\cos \theta ,br\sin \theta )$ kan ses som först polära koordinater på enhetsskivan, sedan en linjär skalning $\mathrm{diag}(a,b)$. Jacobianen blir produkten av de två stegens Jacobianer: $r$ från det polära steget gånger $ab$ från skalningen, dvs. $abr$. Det är värt att hålla i bakhuvudet — många byten kan förstås som kompositioner av enklare byten.

Bytet

---

7. Andra användbara byten

Affina (linjära) byten

Om $D$ är begränsad av räta linjer som inte är axelparallella kan ett linjärt byte

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$$

förvandla $D$ till en rektangel. Här är $J_T=\det A$, en konstant — den lokala skalfaktorn är samma överallt.

Ett affint byte deformerar alltså rektangeln likformigt: alla små rektanglar i $D^{\prime }$ blir parallellogram av samma form i $D$. Det är därför Jacobianen blir konstant och inte beror på position.

Sum- och differenssbyte

Bytet $u=x+y,v=x-y$ är vanligt när integranden eller området innehåller just de kombinationerna. Inversen är

$$x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2},$$

och

$$J_T=\det \left(\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right)=-\frac{1}{2},|J_T|=\frac{1}{2}.$$

Hyperboliska / produktbyten

Vid områden begränsade av kurvor som $xy=c$ kan $u=xy,v=y/x$ vara naturligt. Sådana byten kräver oftast lite arbete med Jacobianen — räkna noggrant.

Strategi för val av byte

Variabelbytet ska göra antingen integranden eller området enklare — gärna båda. Identifiera först områdets symmetri:

• Cirkulär symmetri $\Rightarrow$ polära koordinater.
• Elliptisk symmetri $\Rightarrow$ generaliserade polära.
• Begränsad av räta linjer $\Rightarrow$ affint byte.
• Integranden innehåller $x+y$, $xy$, $y/x$, etc. $\Rightarrow$ låt dessa kombinationer vara nya variabler.

---

8. Metodik — steg för steg

Hur man genomför ett variabelbyte

1. Välj transformationen $(x,y)=T(u,v)$ utifrån områdets symmetri eller integrandens form.
2. Översätt området: hitta $D^{\prime }$ i $(u,v)$-planet så att $T(D^{\prime })=D$. Rita gärna båda områdena bredvid varandra.
3. Beräkna Jacobianens determinant $J_T$ och ta absolutbeloppet $|J_T|$.
4. Skriv om integranden $f(x,y)$ i de nya variablerna: $f(x(u,v),y(u,v))$.
5. Skriv ihop integralen med $|J_T|dudv$ och beräkna den itererat över $D^{\prime }$.
6. Kontrollera: jämför enheter, gör en rimlighetskoll med en känd integral (t.ex. ${\iint }_{D}1dA=\text{area}(D)$).

Vanliga fallgropar

• Glömt att uppdatera gränserna till $D^{\prime }$.
• Glömt $|J_T|$ — utan den blir resultatet fel storleksordning.
• Vid polära koordinater: tillåtit $r<0$. Om man gör det kan man råka täcka planet två gånger.
• $T$ inte injektiv på $D^{\prime }$ — kontrollera att inverteringen är entydig (utom på en mängd med area noll).

---

9. Sammanfattning

Den allmänna substitutionsformeln är

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(T(u,v))|J_T(u,v)|dudv}$$

med standardfallen sammanfattade i tabellen:

Byte	Formel	$dA$
Polärt	$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$	$rdrd\theta$
Generaliserat polärt	$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$	$abrdrd\theta$
Affint	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right)=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{v}\right)$	$
Sum/differens	$u=x+y,v=x-y$	$\frac{1}{2}dudv$

---

Läsning

• 15.4 Double Integrals in Polar Coordinates
• 15.5 Triple Integrals — för analogi i 3D

Se även

• Dubbelintegraler
• Variabelbyte i trippelintegraler
• Variabelbyte i integraler
• Polära koordinater
• Kryssprodukt
• Kedjeregeln

Resurser

• 3Blue1Brown: Determinanten — tolkning av determinant som arealskala (Riktigt bra)
• Khan Academy: Double integrals in polar
• Wikipedia: Integration by substitution (multiple variables)