---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - integral
förkunskaper:
  - "[[Dubbelintegraler]]"
  - "[[Kryssprodukt]]"
status: granskad
aliases:
  - Jacobian i 2D
  - Substitutionsformel i 2D
  - Variabelsubstitution i dubbelintegral
---

> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Dubbelintegraler]], [[Kryssprodukt]]

---

## 1. Idén bakom variabelbytet

En dubbelintegral

$$
\iint_D f(x,y)\,dA
$$

kan vara obekväm att beräkna direkt om antingen *integranden* $f$ eller *området* $D$ uttrycker sig dåligt i kartesiska koordinater $(x,y)$. Variabelbytet handlar om att hitta nya koordinater $(u,v)$ där problemet blir geometriskt enklare - ofta så att $D$ blir en *rektangel* i de nya koordinaterna och så att integranden tar en kortare form.

> [!abstract] Grundtanken
> Vi byter koordinatsystem för att få en bättre geometri. En cirkulär ring i $(x,y)$-planet blir t.ex. en *rektangel* i $(r,\theta)$-planet — och rektanglar är mycket lättare att integrera över.

![[image_kartesisk-till-polär.png|500]]

**Pris för bytet:** areaelementet $dA$ förvrids när vi byter koordinater. Ett litet rektangelelement $du\,dv$ i $(u,v)$-planet motsvarar i regel *inte* ett lika stort $dx\,dy$ i $(x,y)$-planet. Den lokala skalfaktorn ges av **Jacobianens determinant**, som vi härleder nedan.

---

## 2. Transformationen $T$

Ett variabelbyte beskrivs av en avbildning

$$
T:(u,v)\longmapsto (x,y),\qquad x=x(u,v),\quad y=y(u,v),
$$

som kartlägger ett område $D'$ i $(u,v)$-planet bijektivt på $D$ i $(x,y)$-planet.

![[variabelbyte-T-mapping.png|620]]

Pilarna visar hur $T$ mappar $D'$ framåt på $D$ och hur inversen $T^{-1}$ mappar tillbaka. Tanken är *inte* att $T$ ska vara enkel — den får gärna förvrida saker — utan att $D'$ ska ha en *enkelt parametriserbar form* (oftast en rektangel).

För att substitutionsformeln ska gälla kräver vi att $T$ är

- **bijektiv** (entydigt inverterbar) på det inre av $D'$,
- **kontinuerligt deriverbar** ($C^1$),
- har **icke-singulär** Jacobian, dvs. $\det J_T\neq 0$.

> [!note]
> Att $T$ får misslyckas med kraven på en mängd med *area noll* är vad som tillåter polära koordinater (där origo är degenererat — alla $\theta$ ger samma punkt) och flera andra standardbyten.

---

## 3. Härledning av areaelementet

Vi vill veta hur en liten rektangel med sidor $du$ och $dv$ i $(u,v)$-planet blir när den avbildas till $(x,y)$-planet.

![[variabelbyte-jacobian-areaelement.png|640]]

Bilden ovan är hela idén i en blink: en liten rektangel med sidorna $du$ och $dv$ i $(u,v)$-planet avbildas approximativt på en *parallelogram* i $(x,y)$-planet, vars sidor är tangentvektorerna $\vec a$ och $\vec b$. Vår uppgift är att uttrycka parallelogrammets area i termer av $du,\ dv$ och derivatorna av $T$.

Skriv positionsvektorn i kartesiska koordinater som

$$
\vec r(u,v)=\begin{pmatrix}x(u,v)\\ y(u,v)\end{pmatrix}.
$$

Längs riktningen där bara $u$ varierar (med $v=v_0$ fixt) ger en linjär approximation tangentvektorn

$$
\vec a = \frac{\partial \vec r}{\partial u}\,du = \begin{pmatrix}\partial x/\partial u\\[2pt] \partial y/\partial u\end{pmatrix}du,
$$

och längs riktningen där bara $v$ varierar

$$
\vec b = \frac{\partial \vec r}{\partial v}\,dv = \begin{pmatrix}\partial x/\partial v\\[2pt] \partial y/\partial v\end{pmatrix}dv.
$$

Den lilla parallelogram som $\vec a$ och $\vec b$ spänner upp har arean given av [[Kryssprodukt|kryssproduktens]] belopp:

$$
dA = |\vec a \times \vec b| = \left|\det\!\begin{pmatrix}\partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[2pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v\end{pmatrix}\right|\,du\,dv.
$$

Determinanten i mitten kallas **Jacobianens determinant** för $T$:

$$
\boxed{\,J_T \;=\; \det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}\,}
$$

> [!important] Tolkning av $|J_T|$
> $|J_T(u_0,v_0)|$ är *den lokala arealförstärkningsfaktorn* — hur mycket en liten yta i $(u,v)$-planet blåses upp eller krymper när den avbildas till $(x,y)$-planet vid punkten $(u_0,v_0)$.
>
> - $|J_T|=1$: bytet är *areabevarande* lokalt.
> - $|J_T|>1$: ytan blåses upp.
> - $|J_T|<1$: ytan krymper.

---

## 4. Substitutionsformeln

Med ovanstående resultat blir den fullständiga formeln:

$$
\boxed{\;\iint_D f(x,y)\,dA \;=\; \iint_{D'} f\bigl(x(u,v),\,y(u,v)\bigr)\,|J_T|\,du\,dv\;}
$$

Lägg märke till tre saker:

1. **Områdets ändras:** integralen i högerled går över $D'$, inte $D$.
2. **Integranden uttrycks i nya variabler:** $f(x(u,v),y(u,v))$.
3. **Areaelementet bär en faktor:** $|J_T|\,du\,dv$ ersätter $dA$.

> [!warning] Glöm inte absolutbeloppet
> Det är *absolutbeloppet* $|J_T|$ som ska användas — areor är alltid positiva, oavsett hur transformationen orienterar planet. Tecknet på $J_T$ säger något om *orientering*, inte om area.

---

## 5. Polära koordinater

Det vanligaste variabelbytet i kursen är **polära koordinater**:

$$
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
$$

med $r\ge 0$ och $\theta\in [0,\,2\pi)$. Se [[Polära koordinater]] för bakgrund.

Jacobianens determinant blir

$$
J_T = \det\!\begin{pmatrix}\partial x/\partial r & \partial x/\partial \theta\\[2pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial \theta\end{pmatrix}
=\det\!\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\[2pt] \sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}
=r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r,
$$

så

$$
\boxed{\;dA = r\,dr\,d\theta\;}
$$

> [!tip] Geometrisk bild av faktorn $r$
> Ett litet "polart rektangelelement" är en *cirkelsektor* med inre radie $r$, tjocklek $dr$ och vinkelbredd $d\theta$. Sektorns båglängd är $r\,d\theta$, så arean blir
>
> $$
> \Delta A \approx \underbrace{r\,d\theta}_{\text{båglängd}}\cdot \underbrace{dr}_{\text{tjocklek}} = r\,dr\,d\theta.
> $$
>
> Faktorn $r$ kompenserar alltså för att sektorerna är *större* längre ut från origo.
>
> ![[variabelbyte-polar-areaelement.png|420]]

> [!example]- Exempel 1 — integral över enhetsskivan
> Beräkna
> $$
> \iint_D (x^2+y^2)\,dA,\qquad D = \{(x,y):x^2+y^2 \le 1\}.
> $$
>
> ![[exempel1-xy.png|360]]
>
> **Varför polärt?** Både området (en cirkulär skiva) och integranden ($x^2+y^2$) är *rotationssymmetriska kring origo*. Det är textboksexemplet på när polära koordinater är rätt val — i kartesiska koordinater måste man kämpa med rotgränser av typen $-\sqrt{1-x^2}\le y\le\sqrt{1-x^2}$, medan polärt blir det en ren rektangel.
>
> **Områdesöversättning.** Bytet $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ avbildar
> $$
> D' = \{(r,\theta):0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi\}
> $$
> bijektivt på $D$ (utom i origo, en mängd med area noll, vilket är tillåtet).
>
> ![[exempel1-rt.png|380]]
>
> **Integranden i nya variabler.** Pythagoras ger direkt
> $$
> x^2+y^2 = r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta = r^2.
> $$
>
> **Jacobianen.** Vi vet sedan tidigare att $|J_T|=r$, så $dA = r\,dr\,d\theta$.
>
> **Räkningen.**
> $$
> \iint_D (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!d\theta\cdot\int_0^1 r^3\,dr = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \boxed{\frac{\pi}{2}}.
> $$
>
> Lägg märke till hur den itererade integralen *separerar* helt — det är möjligt eftersom både integranden och områdesgränserna i $(r,\theta)$ har produktstruktur ($r^3 \cdot 1$ över $[0,1]\times[0,2\pi]$).
>
> **Rimlighetskoll.** Skivan har arean $\pi$, och $r^2$ ligger mellan $0$ (i origo) och $1$ (på randen). Medelvärdet av $r^2$ över skivan blir därför $(\pi/2)/\pi = 1/2$, vilket är ett rimligt mellanvärde.

> [!example]- Exempel 2 — kvartsring (och varför Jacobianen $r$ "stämmer")
> Beräkna arean av kvartsringen
> $$
> D = \{(x,y):1\le \sqrt{x^2+y^2}\le 2,\ x\ge 0,\ y\ge 0\}.
> $$
>
> ![[exempel2-xy.png|360]]
>
> **Områdesöversättning.** I polära koordinater blir randvillkoren $1\le r\le 2$ för radien och $0\le\theta\le \pi/2$ för vinkeln (första kvadranten). Det rörmiga "ringbandet i första kvadranten" blir alltså rektangeln
> $$
> D' = [1,2]\times[0,\pi/2].
> $$
>
> ![[exempel2-rt.png|360]]
>
> **Räkningen.**
> $$
> \iint_D 1\,dA = \int_0^{\pi/2}\!\!\int_1^2 1\cdot r\,dr\,d\theta = \frac{\pi}{2}\left[\frac{r^2}{2}\right]_1^2 = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{3}{2} = \boxed{\frac{3\pi}{4}}.
> $$
>
> **Rimlighetskoll (och en intuitionsbyggare).** Geometrin ger oss arean direkt: en *hel* ring mellan radie $1$ och $2$ har area $\pi(2^2-1^2)=3\pi$, och en *kvarts*ring blir $3\pi/4$. Stämmer.
>
> > [!note] Vad händer utan faktorn $r$?
> > 
> > Om vi (felaktigt) glömde Jacobianen och skrev $\int_0^{\pi/2}\!\int_1^2 dr\,d\theta = \tfrac{\pi}{2}\cdot 1 = \tfrac{\pi}{2}$. Det är *fel storleksordning* — vi saknar precis den $r$-vägning som kompenserar för att den yttre delen av ringen är "fysiskt större" än den inre.

> [!example]- Exempel 3 — Gaussintegralen
> Visa att
> $$
> \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.
> $$
> Detta är ett av de mest kända resultaten i analys, och variabelbyte i 2D är tricket som *måste* användas — den kartesiska enkelintegralen har ingen elementär primitiv.
>
> **Tricket.** Sätt $I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx$ och betrakta $I^2$ som en dubbelintegral genom att kalla den andra integrationsvariabeln $y$:
> $$
> I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty}\!e^{-x^2}\,dx\right)\!\left(\int_{-\infty}^{\infty}\!e^{-y^2}\,dy\right) = \iint_{\mathbb R^2} e^{-x^2}e^{-y^2}\,dx\,dy = \iint_{\mathbb R^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA.
> $$
>
> ![[exempel3-xy.png|380]]
>
> **Varför polärt?** Integranden $e^{-(x^2+y^2)}$ är rotationssymmetrisk (nivåkurvorna är cirklar, se figuren), och området är hela planet — *precis* den situation där polärt vinner. I polära koordinater blir
> $$
> e^{-(x^2+y^2)} = e^{-r^2},
> $$
> och $\mathbb R^2$ avbildas på $D' = \{0\le r<\infty,\ 0\le\theta\le 2\pi\}$.
>
> **Räkningen.** Med $dA = r\,dr\,d\theta$:
> $$
> I^2 = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\infty} e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta.
> $$
>
> Inre integralen löses med substitutionen $s=r^2,\ ds=2r\,dr$:
> $$
> \int_0^{\infty} e^{-r^2}\,r\,dr = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} e^{-s}\,ds = \frac{1}{2}.
> $$
>
> Yttre integralen ger faktorn $2\pi$, så
> $$
> I^2 = 2\pi\cdot\frac{1}{2} = \pi \;\Longrightarrow\; I = \boxed{\sqrt{\pi}}.
> $$
>
> > [!tip] Vad är det egentligen som händer?
> > Faktorn $r$ i Jacobianen är vad som gör $r\,dr$-delen integrerbar mot $e^{-r^2}$ — utan den hade vi haft $\int e^{-r^2}\,dr$, som *inte* har elementär primitiv. Bytet förvandlar alltså en olöslig integral till en lösbar genom att lägga till exakt rätt vikt.
>
> ![[exempel3-r.png|460]]
>
> Figuren ovan visar de två integranderna sida vid sida: den blekare $e^{-r^2}$ saknar primitiv, men den mörkare $r\,e^{-r^2}$ (vägd av Jacobianen) har precis arean $1/2$ — vilket är vad som ger Gaussintegralen.

> [!example]- Exempel 4 — area mellan fyra paraboler
> Beräkna arean av området $D$ i första kvadranten som begränsas av de fyra parabolerna
> $$
> y=x^2,\qquad y=2x^2,\qquad x=y^2,\qquad x=3y^2.
> $$
>
> ![[exempel4-xy.png|420]]
>
> I $(x,y)$-planet är området buktigt och saknar enkel beskrivning som "$y$ mellan något och något". Men kurvorna kan skrivas om som *nivåkurvor*:
>
> | Kurva | Skriv som |
> |---|---|
> | $y=x^2$ | $x^2/y = 1$ |
> | $y=2x^2$ | $x^2/y = 1/2$ |
> | $x=y^2$ | $y^2/x = 1$ |
> | $x=3y^2$ | $y^2/x = 1/3$ |
>
> Det motiverar variabelbytet
> $$
> u = \frac{x^2}{y},\qquad v = \frac{y^2}{x}.
> $$
>
> Med detta byte blir området en *rektangel*:
> $$
> D' = \left\{(u,v):\tfrac{1}{2}\le u\le 1,\ \tfrac{1}{3}\le v\le 1\right\}.
> $$
>
> ![[exempel4-uv.png|360]]
>
> **Jacobianen via inversen.** Att lösa ut $x$ och $y$ explicit ur $u$ och $v$ är trixigt, men vi behöver inte göra det. Räkna istället den "inversa" Jacobianen
> $$
> J_{T^{-1}} = \det\!\begin{pmatrix}\partial u/\partial x & \partial u/\partial y\\[4pt] \partial v/\partial x & \partial v/\partial y\end{pmatrix}
> = \det\!\begin{pmatrix}\dfrac{2x}{y} & -\dfrac{x^2}{y^2}\\[8pt] -\dfrac{y^2}{x^2} & \dfrac{2y}{x}\end{pmatrix}.
> $$
>
> Determinanten ger
> $$
> J_{T^{-1}} = \frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{x} - \left(-\frac{x^2}{y^2}\right)\!\left(-\frac{y^2}{x^2}\right) = 4 - 1 = 3.
> $$
>
> Eftersom Jacobianer för $T$ och $T^{-1}$ är inverser av varandra blir
> $$
> J_T = \frac{1}{J_{T^{-1}}} = \frac{1}{3},\qquad |J_T| = \frac{1}{3}.
> $$
>
> > [!tip] Snabbtricket
> > När bytet ges *implicit* ($u=u(x,y),\ v=v(x,y)$) är det nästan alltid lättare att räkna $\det\partial(u,v)/\partial(x,y)$ direkt och *invertera* till slut. Det är samma trick som i Exempel 4 ovan.
>
> **Integralen.** Arean blir
> $$
> \text{area}(D) = \iint_D 1\,dA = \iint_{D'} 1\cdot|J_T|\,du\,dv = \frac{1}{3}\int_{1/3}^{1}\!\!\int_{1/2}^{1} du\,dv.
> $$
>
> Den inre integralen ger $1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}$, och den yttre $1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}$, så
> $$
> \text{area}(D) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \boxed{\frac{1}{9}}.
> $$
>
> Rimlighetskoll: området ligger inneslutet i kvadraten $[0,1]\times[0,1]$, och $\tfrac{1}{9}\approx 0{,}11$ är en plausibel andel — bilden ovan stämmer med den uppskattningen.

---

## 6. Generaliserade polära koordinater (ellips)

För en ellips $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$ använder man

$$
x = a\,r\cos\theta,\qquad y = b\,r\sin\theta,
$$

vilket ger

$$
J_T = \det\!\begin{pmatrix}a\cos\theta & -ar\sin\theta\\[2pt] b\sin\theta & br\cos\theta\end{pmatrix}=abr,
$$

så

$$
\boxed{\;dA = ab\,r\,dr\,d\theta\;}
$$

Området $D' = \{0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi\}$ är då en *enhetsskiva* i $(r,\theta)$-planet — typiskt mycket enklare än ellipsen.

> [!example]- Exempel 5 — arean av en ellips
> Beräkna arean av ellipsen
> $$
> E = \left\{(x,y):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\},\qquad a,b>0.
> $$
>
> ![[exempel5-xy.png|420]]
>
> **Varför generaliserat polärt?** Ellipsen är inte rotationssymmetrisk, men den är vad som kallas *affint ekvivalent* med en cirkel: en skalning med faktor $a$ längs $x$-axeln och $b$ längs $y$-axeln gör om enhetscirkeln till just $E$. Det är precis vad bytet $x=ar\cos\theta,\ y=br\sin\theta$ gör.
>
> **Områdesöversättning.** Sätt in i ellipsens ekvation:
> $$
> \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta = r^2,
> $$
> så $r^2\le 1$, dvs. $0\le r\le 1$. Området blir alltså enhetsskivan $D' = \{0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi\}$ i $(r,\theta)$-planet.
>
> ![[exempel5-rt.png|380]]
>
> **Räkningen.** Med $dA = ab\,r\,dr\,d\theta$ (härlett ovan):
> $$
> \iint_E 1\,dA = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 ab\,r\,dr\,d\theta = ab\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{2} = \boxed{\pi ab}.
> $$
>
> **Rimlighetskoll.**
> - $a=b=1$: $\pi\cdot 1\cdot 1 = \pi$ — enhetscirkelns area. Stämmer.
> - $a=b=R$: $\pi R^2$ — generell cirkel. Stämmer.
> - Skalning: om vi dubblar $a$ (gör ellipsen dubbelt så bred) ska arean dubblas. Och $\pi(2a)b = 2\cdot\pi ab$. Stämmer.
>
> > [!note] Affin tolkning
> > Bytet $(x,y) = (ar\cos\theta, br\sin\theta)$ kan ses som *först* polära koordinater på enhetsskivan, *sedan* en linjär skalning $\mathrm{diag}(a,b)$. Jacobianen blir produkten av de två stegens Jacobianer: $r$ från det polära steget gånger $ab$ från skalningen, dvs. $abr$. Det är värt att hålla i bakhuvudet — många byten kan förstås som *kompositioner* av enklare byten.

---

## 7. Andra användbara byten

### Affina (linjära) byten

Om $D$ är begränsad av räta linjer som inte är axelparallella kan ett *linjärt* byte

$$
\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}
$$

förvandla $D$ till en rektangel. Här är $J_T = \det A$, en *konstant* — den lokala skalfaktorn är samma överallt.

![[variabelbyte-affint.png|620]]

Ett affint byte deformerar alltså rektangeln likformigt: alla små rektanglar i $D'$ blir parallellogram av samma form i $D$. Det är därför Jacobianen blir konstant och inte beror på position.

### Sum- och differenssbyte

Bytet $u=x+y,\ v=x-y$ är vanligt när integranden eller området innehåller just de kombinationerna. Inversen är

$$
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2},
$$

och

$$
J_T = \det\!\begin{pmatrix}1/2 & 1/2\\ 1/2 & -1/2\end{pmatrix} = -\frac{1}{2},\qquad |J_T|=\frac{1}{2}.
$$

### Hyperboliska / produktbyten

Vid områden begränsade av kurvor som $xy=c$ kan $u=xy,\ v=y/x$ vara naturligt. Sådana byten kräver oftast lite arbete med Jacobianen — räkna noggrant.

> [!tip] Strategi för val av byte
> Variabelbytet ska göra antingen *integranden* eller *området* enklare — gärna båda. Identifiera först områdets symmetri:
>
> - Cirkulär symmetri $\Rightarrow$ polära koordinater.
> - Elliptisk symmetri $\Rightarrow$ generaliserade polära.
> - Begränsad av räta linjer $\Rightarrow$ affint byte.
> - Integranden innehåller $x+y$, $xy$, $y/x$, etc. $\Rightarrow$ låt dessa kombinationer vara nya variabler.

---

## 8. Metodik — steg för steg

> [!important] Hur man genomför ett variabelbyte
> 1. **Välj transformationen** $(x,y)=T(u,v)$ utifrån områdets symmetri eller integrandens form.
> 2. **Översätt området**: hitta $D'$ i $(u,v)$-planet så att $T(D')=D$. Rita gärna båda områdena bredvid varandra.
> 3. **Beräkna Jacobianens determinant** $J_T$ och ta absolutbeloppet $|J_T|$.
> 4. **Skriv om integranden** $f(x,y)$ i de nya variablerna: $f(x(u,v),y(u,v))$.
> 5. **Skriv ihop integralen** med $|J_T|\,du\,dv$ och beräkna den itererat över $D'$.
> 6. **Kontrollera**: jämför enheter, gör en rimlighetskoll med en känd integral (t.ex. $\iint_D 1\,dA = \text{area}(D)$).

> [!warning] Vanliga fallgropar
> - Glömt att uppdatera *gränserna* till $D'$.
> - Glömt $|J_T|$ — utan den blir resultatet fel storleksordning.
> - Vid polära koordinater: tillåtit $r<0$. Om man gör det kan man råka täcka planet två gånger.
> - $T$ inte injektiv på $D'$ — kontrollera att inverteringen är entydig (utom på en mängd med area noll).

---

## 9. Sammanfattning

Den allmänna substitutionsformeln är

$$
\boxed{\;\iint_D f(x,y)\,dx\,dy \;=\; \iint_{D'} f\bigl(T(u,v)\bigr)\,|J_T(u,v)|\,du\,dv\;}
$$

med standardfallen sammanfattade i tabellen:

| Byte | Formel | $dA$ |
|---|---|---|
| Polärt | $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ | $r\,dr\,d\theta$ |
| Generaliserat polärt | $x=ar\cos\theta,\ y=br\sin\theta$ | $ab\,r\,dr\,d\theta$ |
| Affint | $\binom{x}{y}=A\binom{u}{v}$ | $|\det A|\,du\,dv$ |
| Sum/differens | $u=x+y,\ v=x-y$ | $\tfrac{1}{2}\,du\,dv$ |

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=873|15.4 Double Integrals in Polar Coordinates]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=881|15.5 Triple Integrals]] — för analogi i 3D

## Se även

- [[Dubbelintegraler]]
- [[Variabelbyte i trippelintegraler]]
- [[Variabelbyte i integraler]]
- [[Polära koordinater]]
- [[Kryssprodukt]]
- [[Kedjeregeln]]

## Resurser

- [3Blue1Brown: Determinanten](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) — tolkning av determinant som arealskala <font color="#9bbb59">(Riktigt bra)</font>
- [Khan Academy: Double integrals in polar](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-polar/v/double-integrals-polar)
- [Wikipedia: Integration by substitution (multiple variables)](https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution#Substitution_for_multiple_variables)