Variabelbyte i trippelintegraler

Kurs: M0068M Förkunskaper: Trippelintegraler, Variabelbyte i dubbelintegraler, Jacobian i 2D

---

1. Idén — direkt analog till 2D

Variabelbytet i 3D är direkt analogt med 2D-fallet (se Variabelbyte i dubbelintegraler): det areaelement som vägdes med $|J_T|$ ersätts av ett volymelement som vägs med Jacobianens determinant i 3D.

Grundtanken

Ett område med rotations- eller sfärisk symmetri är obehagligt i kartesiska koordinater men snällt i polära/sfäriska. Bytet kostar ett |J_T|, men sparar enormt mycket gränssättning.

---

2. Allmän substitutionsformel

För en transformation $T:(u,v,w)\mapsto (x,y,z)$ som är bijektiv och $C^1$ med $\det J_T\ne 0$ gäller

$$\boxed{{\iiint }_{V}fdV={\iiint }_{V^{\prime }}f(T(u,v,w))|\det J_T|dudvdw}$$

där

$$J_T=\det \left(\begin{array}{ccc}\partial x/\partial u& \partial x/\partial v& \partial x/\partial w\\ \partial y/\partial u& \partial y/\partial v& \partial y/\partial w\\ \partial z/\partial u& \partial z/\partial v& \partial z/\partial w\end{array}\right).$$

Strategi

Välj koordinater efter områdets symmetri: cylindersymmetri kring en axel ger cylindriska koordinater, sfärisk symmetri kring en punkt ger sfäriska.

---

3. Cylindriska koordinater

Polära koordinater i $xy$-planet, plus oförändrad $z$:

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z,$$

med $r\ge 0$, $\theta \in [0,2\pi )$ och $z\in \mathbb{R}$. Jacobianen ärvs från det polära fallet (se Variabelbyte i dubbelintegraler) eftersom $z$-raden bidrar med en etta:

$$J_T=\det \left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=r,$$

så

$$\boxed{dV=rdrd\theta dz}$$

Exempel 1 — volym under paraboloid $z=x^2+y^2$ inne i cylindern $x^2+y^2\le 1$

Området är den del av rummet som ligger under paraboloiden, ovanför $z=0$, och inom enhetscylindern.

I cylindriska: $x^2+y^2=r^2$, så paraboloiden blir $z=r^2$. Området är

$$V^{\prime }:0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi ,0\le z\le r^2.$$

Räkningen.

$$V={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{\int }_0^{r^2}rdzdrd\theta ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}r\cdot r^{2}drd\theta ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^{3}drd\theta .$$

Inre: ${\int }_0^1{r}^{3}dr=\frac{1}{4}$. Yttre: faktorn $2\pi$. Alltså

$$V=2\pi \cdot \frac{1}{4}=\boxed{\frac{\pi }{2}}.$$

Rimlighetskoll. En cylinder med radie $1$ och höjd $1$ har volym $\pi \approx 3,14$; vårt område är en halv sådan cylinder (paraboloiden klipper bort hälften), och $\pi /2\approx 1,57$ stämmer.

---

4. Sfäriska koordinater

$$x=\rho \sin \varphi \cos \theta ,y=\rho \sin \varphi \sin \theta ,z=\rho \cos \varphi ,$$

med $\rho \ge 0$, $\varphi \in [0,\pi ]$ (polvinkel från $+z$-axeln) och $\theta \in [0,2\pi )$ (azimutvinkel i $xy$-planet).

En direkt determinanträkning ger

$$\boxed{dV={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta }$$

Vinkelkonvention

$\varphi$ mäts från positiva $z$-axeln (polvinkel), $\theta$ är azimutvinkeln i $xy$-planet. Vissa böcker byter rollerna på $\varphi$ och $\theta$ — kontrollera alltid bokens definition innan formeln används.

Geometrisk bild av ${\rho }^2\sin \varphi$

Ett litet sfäriskt rektangelelement har sidor:

• radiell: $d\rho$
• polär (cirkelbåge i meridian): $\rho d\varphi$
• azimutal (cirkelbåge på en parallell): $\rho \sin \varphi d\theta$

Volymen blir produkten: $d\rho \cdot \rho d\varphi \cdot \rho \sin \varphi d\theta ={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$. Faktorn $\sin \varphi$ kompenserar för att azimutalcirklarna krymper mot polerna.

Exempel 2 — volymen av en boll med radie $R$

Bollen $B=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\le R^2\}$ blir i sfäriska

$$B^{\prime }:0\le \rho \le R,0\le \varphi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi .$$

Med $f\equiv 1$:

$$V={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^R{\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta .$$

Eftersom integranden separerar:

$$V=\underset{=2\pi }{\underbrace{{\int }_0^{2\pi }d\theta }}\cdot \underset{=2}{\underbrace{{\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi }}\cdot \underset{=R^3/3}{\underbrace{{\int }_0^R{\rho }^{2}d\rho }}=\boxed{\frac{4}{3}\pi R^3}.$$

Det är den välkända volymformeln. Variabelbytet ger den i tre rader.

Exempel 3 — integral av $z$ över halvbollen

Beräkna ${\iiint }_{V}zdV$ där $V$ är den övre halvbollen $\{x^2+y^2+z^2\le 1,z\ge 0\}$.

I sfäriska blir $z=\rho \cos \varphi$, och övre halvan ger $0\le \varphi \le \pi /2$:

$${\iiint }_{V}zdV={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^1(\rho \cos \varphi ){\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta .$$

Separation:

$$={\int }_0^{2\pi }d\theta \cdot {\int }_0^{\pi /2}\sin \varphi \cos \varphi d\varphi \cdot {\int }_0^1{\rho }^{3}d\rho .$$

• ${\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$.
• ${\int }_0^{\pi /2}\sin \varphi \cos \varphi d\varphi =[\frac{1}{2}{\sin }^2\varphi {]}_0^{\pi /2}=\frac{1}{2}$.
• ${\int }_0^1{\rho }^{3}d\rho =\frac{1}{4}$.

Alltså

$${\iiint }_{V}zdV=2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\boxed{\frac{\pi }{4}}.$$

Tolkning. Med massa $m=\frac{2}{3}\pi$ (halvbollens volym vid konstant densitet $1$) blir $\bar{z}=\frac{\pi /4}{2\pi /3}=\frac{3}{8}$ — masscentrum för en halvboll med radie $1$ ligger på höjd $3/8$, ett välkänt resultat.

---

5. Generaliserade sfäriska koordinater (ellipsoid)

För en ellipsoid

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$$

använder man

$$x=a\rho \sin \varphi \cos \theta ,y=b\rho \sin \varphi \sin \theta ,z=c\rho \cos \varphi ,$$

vilket ger Jacobianen $abc{\rho }^2\sin \varphi$, dvs.

$$\boxed{dV=abc{\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta }$$

Exempel 4 — volymen av en ellipsoid

Med $f\equiv 1$ och $\rho \in [0,1],\varphi \in [0,\pi ],\theta \in [0,2\pi )$:

$$V={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{1}abc{\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta =abc\cdot 2\pi \cdot 2\cdot \frac{1}{3}=\boxed{\frac{4}{3}\pi abc}.$$

Specialfallet $a=b=c=R$ ger $\frac{4}{3}\pi R^3$ — bollvolymen.

---

6. Sammanfattning

Byte	Formler	$dV$
Cylindriska	$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$	$rdrd\theta dz$
Sfäriska	$x=\rho \sin \varphi \cos \theta ,y=\rho \sin \varphi \sin \theta ,z=\rho \cos \varphi$	${\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$
Generaliserade sfäriska	$x=a\rho \sin \varphi \cos \theta$ etc.	$abc{\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$

Strategin på en rad

Cylindersymmetri kring en axel ⇒ cylindriska. Sfärisk symmetri kring en punkt ⇒ sfäriska. Ellipsoid ⇒ skala först, sfäriska sedan.

---

Läsning

• 15.6 Change of Variables in Triple Integrals
• Sfäriska koordinater
• Cylinderkoordinater

Se även

• Trippelintegraler
• Variabelbyte i dubbelintegraler
• Polära koordinater
• Dubbelintegraler

Resurser

• Khan Academy: Triple integrals in spherical coordinates
• Wikipedia: Spherical coordinate system