---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - integral
förkunskaper:
  - "[[Trippelintegraler]]"
  - "[[Variabelbyte i dubbelintegraler]]"
status: utkast
aliases:
  - Sfäriska koordinater
  - Cylinderkoordinater
  - Variabelsubstitution i trippelintegral
  - Jacobian i 3D
---

> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Trippelintegraler]], [[Variabelbyte i dubbelintegraler]], [[Variabelbyte i dubbelintegraler|Jacobian i 2D]]

---

## 1. Idén — direkt analog till 2D

Variabelbytet i 3D är direkt analogt med 2D-fallet (se [[Variabelbyte i dubbelintegraler]]): det areaelement som vägdes med $|J_T|$ ersätts av ett *volymelement* som vägs med Jacobianens determinant i 3D.

> [!abstract] Grundtanken
> Ett område med rotations- eller sfärisk symmetri är obehagligt i kartesiska koordinater men *snällt* i polära/sfäriska. Bytet kostar ett `|J_T|`, men sparar enormt mycket gränssättning.

---

## 2. Allmän substitutionsformel

För en transformation $T:(u,v,w)\mapsto (x,y,z)$ som är bijektiv och $C^1$ med $\det J_T\neq 0$ gäller

$$
\boxed{\;\iiint_V f\,dV=\iiint_{V'} f\bigl(T(u,v,w)\bigr)\,|\det J_T|\,du\,dv\,dw\;}
$$

där

$$
J_T=\det\!\begin{pmatrix}
\partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\[3pt]
\partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\[3pt]
\partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w
\end{pmatrix}.
$$

> [!tip] Strategi
> Välj koordinater efter områdets symmetri: cylindersymmetri kring en axel ger cylindriska koordinater, sfärisk symmetri kring en punkt ger sfäriska.

---

## 3. Cylindriska koordinater

Polära koordinater i $xy$-planet, plus oförändrad $z$:

$$
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
$$

med $r\ge 0$, $\theta\in[0,2\pi)$ och $z\in\mathbb R$. Jacobianen ärvs från det polära fallet (se [[Variabelbyte i dubbelintegraler]]) eftersom $z$-raden bidrar med en etta:

$$
J_T=\det\!\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=r,
$$

så

$$
\boxed{\;dV=r\,dr\,d\theta\,dz\;}
$$

> [!example]- Exempel 1 — volym under paraboloid $z=x^2+y^2$ inne i cylindern $x^2+y^2\le 1$
> Området är den del av rummet som ligger under paraboloiden, ovanför $z=0$, och inom enhetscylindern.
>
> **I cylindriska:** $x^2+y^2=r^2$, så paraboloiden blir $z=r^2$. Området är
>
> $$
> V':\ 0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le r^2.
> $$
>
> **Räkningen.**
>
> $$
> V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\!\!\int_0^{r^2} r\,dz\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 r\cdot r^2\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 r^3\,dr\,d\theta.
> $$
>
> Inre: $\int_0^1 r^3\,dr=\tfrac{1}{4}$. Yttre: faktorn $2\pi$. Alltså
>
> $$
> V=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\boxed{\dfrac{\pi}{2}}.
> $$
>
> **Rimlighetskoll.** En cylinder med radie $1$ och höjd $1$ har volym $\pi\approx 3{,}14$; vårt område är en *halv* sådan cylinder (paraboloiden klipper bort hälften), och $\pi/2\approx 1{,}57$ stämmer.

---

## 4. Sfäriska koordinater

$$
x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\phi,
$$

med $\rho\ge 0$, $\phi\in[0,\pi]$ (polvinkel från $+z$-axeln) och $\theta\in[0,2\pi)$ (azimutvinkel i $xy$-planet).

En direkt determinanträkning ger

$$
\boxed{\;dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\;}
$$

> [!note] Vinkelkonvention
> $\phi$ mäts från positiva $z$-axeln (polvinkel), $\theta$ är azimutvinkeln i $xy$-planet. Vissa böcker byter rollerna på $\phi$ och $\theta$ — kontrollera alltid bokens definition innan formeln används.

> [!tip] Geometrisk bild av $\rho^2\sin\phi$
> Ett litet sfäriskt rektangelelement har sidor:
>
> - radiell: $d\rho$
> - polär (cirkelbåge i meridian): $\rho\,d\phi$
> - azimutal (cirkelbåge på en parallell): $\rho\sin\phi\,d\theta$
>
> Volymen blir produkten: $d\rho\cdot\rho\,d\phi\cdot\rho\sin\phi\,d\theta=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$. Faktorn $\sin\phi$ kompenserar för att azimutalcirklarna *krymper* mot polerna.

> [!example]- Exempel 2 — volymen av en boll med radie $R$
> Bollen $B=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\le R^2\}$ blir i sfäriska
>
> $$
> B':\ 0\le \rho\le R,\quad 0\le \phi\le \pi,\quad 0\le \theta\le 2\pi.
> $$
>
> Med $f\equiv 1$:
>
> $$
> V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{R} \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.
> $$
>
> Eftersom integranden separerar:
>
> $$
> V=\underbrace{\int_0^{2\pi}d\theta}_{=2\pi}\cdot\underbrace{\int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi}_{=2}\cdot\underbrace{\int_0^{R}\rho^2\,d\rho}_{=R^3/3}=\boxed{\dfrac{4}{3}\pi R^3}.
> $$
>
> Det är den välkända volymformeln. Variabelbytet ger den i tre rader.

> [!example]- Exempel 3 — integral av $z$ över halvbollen
> Beräkna $\displaystyle\iiint_V z\,dV$ där $V$ är den övre halvbollen $\{x^2+y^2+z^2\le 1,\ z\ge 0\}$.
>
> I sfäriska blir $z=\rho\cos\phi$, och övre halvan ger $0\le\phi\le \pi/2$:
>
> $$
> \iiint_V z\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^1 (\rho\cos\phi)\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.
> $$
>
> Separation:
>
> $$
> =\int_0^{2\pi}d\theta\cdot\int_0^{\pi/2}\sin\phi\cos\phi\,d\phi\cdot\int_0^1 \rho^3\,d\rho.
> $$
>
> - $\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi$.
> - $\int_0^{\pi/2}\sin\phi\cos\phi\,d\phi=\bigl[\tfrac{1}{2}\sin^2\phi\bigr]_0^{\pi/2}=\tfrac{1}{2}$.
> - $\int_0^1 \rho^3\,d\rho=\tfrac{1}{4}$.
>
> Alltså
>
> $$
> \iiint_V z\,dV=2\pi\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}=\boxed{\dfrac{\pi}{4}}.
> $$
>
> **Tolkning.** Med massa $m=\tfrac{2}{3}\pi$ (halvbollens volym vid konstant densitet $1$) blir $\bar z=\tfrac{\pi/4}{2\pi/3}=\tfrac{3}{8}$ — masscentrum för en halvboll med radie $1$ ligger på höjd $3/8$, ett välkänt resultat.

---

## 5. Generaliserade sfäriska koordinater (ellipsoid)

För en ellipsoid

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1
$$

använder man

$$
x=a\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=b\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=c\rho\cos\phi,
$$

vilket ger Jacobianen $abc\rho^2\sin\phi$, dvs.

$$
\boxed{\;dV=abc\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\;}
$$

> [!example]- Exempel 4 — volymen av en ellipsoid
> Med $f\equiv 1$ och $\rho\in[0,1],\ \phi\in[0,\pi],\ \theta\in[0,2\pi)$:
>
> $$
> V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^1 abc\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=abc\cdot 2\pi\cdot 2\cdot\tfrac{1}{3}=\boxed{\,\tfrac{4}{3}\pi abc\,}.
> $$
>
> Specialfallet $a=b=c=R$ ger $\tfrac{4}{3}\pi R^3$ — bollvolymen.

---

## 6. Sammanfattning

| Byte | Formler | $dV$ |
|---|---|---|
| Cylindriska | $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z$ | $r\,dr\,d\theta\,dz$ |
| Sfäriska | $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi$ | $\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ |
| Generaliserade sfäriska | $x=a\rho\sin\phi\cos\theta$ etc. | $abc\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ |

> [!important] Strategin på en rad
> *Cylindersymmetri kring en axel ⇒ cylindriska. Sfärisk symmetri kring en punkt ⇒ sfäriska. Ellipsoid ⇒ skala först, sfäriska sedan.*

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=889|15.6 Change of Variables in Triple Integrals]]
- [[Sfäriska koordinater]]
- [[Cylinderkoordinater]]

## Se även

- [[Trippelintegraler]]
- [[Variabelbyte i dubbelintegraler]]
- [[Polära koordinater]]
- [[Dubbelintegraler]]

## Resurser

- [Khan Academy: Triple integrals in spherical coordinates](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/triple-integrals-a/v/triple-integrals-in-spherical-coordinates)
- [Wikipedia: Spherical coordinate system](https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system)