Ytintegraler

Kurs: M0068M Förkunskaper: Parametriserade ytor, Dubbelintegraler

---

1. Idén — integrera över en yta istället för ett område

En vanlig dubbelintegral summerar funktionsvärden över ett plant område $D\subset {\mathbb{R}}^2$. En ytintegral gör samma sak, men över en krökt yta $S$ i rummet. Två naturliga tolkningar:

• Massa: om $S$ är ett tunt skal med ytdensitet $\rho (x,y,z)$ är massan ${\iint }_S\rho dS$.
• Medelvärde: om $f$ representerar en storhet (temperatur, höjd, …) längs ytan är dess medelvärde $\frac{1}{\text{area}(S)}{\iint }_{S}fdS$.

Konstrukten är direkt analog till kurvintegralen ${\int }_{C}fds$ — bara att vi summerar över en 2D-yta istället för en 1D-kurva, och båglängdselementet $ds$ ersätts av ett arealelement $dS$.

Grundtanken

${\iint }_{S}fdS$ summerar $f$ längs ytan, vägt med den lokala arean. När $f\equiv 1$ får man ytans area.

2. Definition via parametrisering

Låt $S$ vara given av en parametrisering $\vec{r}(u,v),(u,v)\in D$. Då definieras

$$\boxed{{\iint }_{S}fdS={\iint }_{D}f(\vec{r}(u,v))\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert dudv}$$

Faktorn $\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert$ är den lokala arealförstoringen — hur en liten rektangel $dudv$ i parameterplanet blir när den lyfts upp på ytan.

I bilden visar den lilla parallellogrammen exakt detta: ${\vec{r}}_{u}du$ och ${\vec{r}}_{v}dv$ spänner upp en liten yta vars area är $\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert dudv=dS$.

3. Användbara specialfall

Graf $z=f(x,y)$ över $D\subset {\mathbb{R}}^2$

Med parametriseringen $\vec{r}(x,y)=(x,y,f(x,y))$ blir

$$\boxed{{\iint }_{S}gdS={\iint }_{D}g(x,y,f(x,y))\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy}$$

Sfär av radie $R$

Med $\vec{r}(\varphi ,\theta )$ och $dS=R^2\sin \varphi d\varphi d\theta$:

$${\iint }_{S}gdS={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }g(\vec{r}(\varphi ,\theta ))R^2\sin \varphi d\varphi d\theta .$$

Cylinder av radie $R$, höjd $h$

Med $\vec{r}(\theta ,z)$ och $dS=Rd\theta dz$:

$${\iint }_{S}gdS={\int }_0^h{\int }_0^{2\pi }g(R\cos \theta ,R\sin \theta ,z)Rd\theta dz.$$

4. Egenskaper

Ytintegralen ärver de vanliga räknereglerna från dubbelintegralen:

• Linjäritet: ${\iint }_S(\alpha f+\beta g)dS=\alpha {\iint }_{S}fdS+\beta {\iint }_{S}gdS$.
• Additivitet: om $S=S_1\cup S_2$ med $S_1\cap S_2$ av area noll, summerar integralen.
• Oberoende av parametrisering: värdet beror bara på $S$ som geometriskt objekt, inte på det val av $\vec{r}(u,v)$ man råkade göra (så länge den täcker $S$ bijektivt utom på en mängd med area noll).
• Oberoende av orientering: till skillnad från flödesintegralen byter inte ${\iint }_{S}fdS$ tecken om man vänder normalen. Det är en skalär ytintegral.

5. Exempel

Exempel 1 — yta av halvsfär

Beräkna ${\iint }_{S}zdS$ där $S$ är övre halvan av enhetssfären.

Parametrisering. Med $\varphi \in [0,\pi /2],\theta \in [0,2\pi )$:

$$z=\cos \varphi ,dS=\sin \varphi d\varphi d\theta .$$

Räkningen.

$${\iint }_{S}zdS={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}\cos \varphi \sin \varphi d\varphi d\theta .$$

Separation:

$$=2\pi \cdot {\int }_0^{\pi /2}\cos \varphi \sin \varphi d\varphi =2\pi \cdot [\frac{1}{2}{\sin }^2\varphi {]}_0^{\pi /2}=2\pi \cdot \frac{1}{2}=\boxed{\pi }.$$

Tolkning. Halvsfären har area $2\pi$, så medelhöjden över halvsfären blir $\pi /2\pi =1/2$ — masscentrum för en halvsfärisk skal ligger på höjden $\bar{z}=1/2$.

Exempel 2 — area av paraboloid-cap (samma som i Parametriserade ytor)

Beräkna arean av $z=x^2+y^2$ under $z\le 1$.

Med grafformeln och polärt byte blir

$$\text{area}={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta =\boxed{\frac{\pi }{6}(5\sqrt{5}-1)}.$$

Exempel 3 — massa av ett halvsfäriskt skal

Ett tunt skal $S$: halvsfären $x^2+y^2+z^2=R^2,z\ge 0$ har ytdensiteten $\rho (x,y,z)=z$. Bestäm massan.

Med sfärparametrisering: $z=R\cos \varphi ,dS=R^2\sin \varphi d\varphi d\theta$. Eftersom $z\ge 0$ kräver $\varphi \in [0,\pi /2]$.

$$m={\iint }_S\rho dS={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}R\cos \varphi \cdot R^2\sin \varphi d\varphi d\theta .$$

Separation:

$$=2\pi R^3{\int }_0^{\pi /2}\sin \varphi \cos \varphi d\varphi =2\pi R^3\cdot \frac{1}{2}=\boxed{\pi R^3}.$$

Rimlighetskoll. Skalet har area $2\pi R^2$ och densiteten varierar från $0$ vid randen till $R$ vid toppen — medeldensitet $R/2$ ger massa $\pi R^3$. Stämmer.

6. Metodik — steg för steg

Räkneschema för ${\iint }_{S}fdS$

1. Välj parametrisering $\vec{r}(u,v)$ och området $D$.
2. Beräkna $dS=\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert dudv$ — eller använd specialformlerna i §3.
3. Uttryck $f$ längs ytan: $f(\vec{r}(u,v))$.
4. Skriv ner dubbelintegralen över $D$ och beräkna iterativt.
5. Sanity-check med $f\equiv 1$ — då ska du få area$(S)$.

Vanliga fallgropar

• Glömmer $\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert$ — utan den blir resultatet bara dubbelintegralen i parameterplanet.
• Använder $dS=dA$ utan att fundera över krökningen — funkar bara för plana ytor.
• Slarvar med definitionsmängden $D$, så att ytan täcks dubbelt eller missas.

Läsning

• 16.5 Surfaces and Surface Integrals

Se även

• Parametriserade ytor
• Flödesintegraler
• Dubbelintegraler
• Kurvintegraler
• Variabelbyte i trippelintegraler

Resurser

• Khan Academy: Surface integrals
• Wikipedia: Surface integral