Kurvintegraler

Kurs: M0068M Förkunskaper: Parametriserade kurvor, Integraler

---

1. Idén bakom kurvintegralen

Vanliga integraler ${\int }_a^{b}f(x)dx$ summerar funktionsvärden längs ett rakt intervall på reella linjen. Kurvintegralen generaliserar detta till en krokig väg i planet eller rummet.

Grundtanken

Tänk dig en böjd vajer som följer en kurva $C$, och en densitet $f(x,y)$ som varierar längs vajern. Massan blir summan av “lite längd $\times$ lokal densitet” — och det är precis ${\int }_{C}fds$.

---

2. Definition

För en kurva $C:\vec{r}(t),t\in [a,b]$, och en skalärfunktion $f$ definierad på $C$:

$$\boxed{{\int }_{C}fds={\int }_a^{b}f(\vec{r}(t))\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert dt}$$

där $ds$ är ett båglängdselement.

Härledning av $ds$

En liten bit av kurvan motsvarar ett litet steg $\Delta t$ i parametern. Pythagoras längs kurvan ger

$$ds=\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt=\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}dt=\boxed{\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert dt}$$

dvs. båglängdselementet är farten i parametriseringen, gånger $dt$.

3D-fall

Allt fungerar likadant i ${\mathbb{R}}^3$ med $\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+(z^{\prime }{)}^2}$.

---

3. Oberoende av parametrisering

Resultatet beror endast på kurvan som geometriskt objekt, inte på hur den parametriseras. Att byta parameter $t\to \tau (t)$ med ${\tau }^{\prime }(t)>0$ ger samma värde, så länge orientering och spår bevaras.

Praktisk konsekvens

Välj den parametrisering som ger snyggast räkning — du behöver inte oroa dig för att svaret ska bero på valet.

---

4. Användning

• Längd av kurva: $f\equiv 1$ ger ${\int }_{C}ds=\text{la¨ngd}(C)$.
• Massa av tråd med (linjär) densitet $\rho (x,y)$: $m={\int }_C\rho ds$.
• Masscentrum av tråden: $\bar{x}=\frac{1}{m}{\int }_{C}x\rho ds$ etc.
• Medelvärde av $f$ längs kurvan: $\bar{f}=\frac{1}{\text{la¨ngd}(C)}{\int }_{C}fds$.

---

5. Exempel

Exempel 1 — längden av en halvcirkel (sanity check)

Låt $C$ vara övre halvan av enhetscirkeln. Parametrisera $\vec{r}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,\pi ]$. Då

$$\vec{r}{}^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t),\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}=1.$$

Längden:

$${\int }_{C}ds={\int }_0^{\pi }1dt=\boxed{\pi }.$$

Stämmer — halvomkretsen av enhetscirkeln är just $\pi$.

Exempel 2 — massa av vajer med inhomogen densitet

Finn massan av en vajer som följer $y=x^2$ från $(0,0)$ till $(1,1)$ med densiteten $\rho (x,y)=x$.

$$m={\int }_C\rho (x,y)ds.$$

Parametrisering. Sätt $x(t)=t,y(t)=t^2$ för $t\in [0,1]$, så

$$\vec{r}(t)=\left[\begin{array}{c}t\\ t^2\end{array}\right],\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{1+4t^2}.$$

Räkningen.

$$m={\int }_0^{1}x(t)\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert dt={\int }_0^{1}t\sqrt{1+4t^2}dt.$$

Substitutionen $u=1+4t^2,du=8tdt$ ger

$${\int }_0^{1}t\sqrt{1+4t^2}dt=\frac{1}{8}{\int }_{u=1}^{u=5}\sqrt{u}du=\frac{1}{8}{\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right]}_1^5=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1).$$

Alltså

$$\boxed{m=\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\approx 0,847}.$$

Rimlighetskoll. Vajerns längd är ${\int }_0^1\sqrt{1+4t^2}dt\approx 1,48$, och densiteten varierar från $0$ (i origo) till $1$ (i $(1,1)$). En medelmassa skulle ligga kring $0,5\cdot 1,48\approx 0,74$ — vårt svar $0,85$ är något högre, vilket stämmer med att den tjockare delen av vajern (hög $x$) också är längre eftersom $y=x^2$ är brantare där.

Exempel 3 — medelvärde av höjd över en spiral

Låt $C$ vara en hel cirkel av radie $R$ i $xy$-planet. Beräkna medelvärdet av $f(x,y)=x^2$ längs $C$.

Parametrisera $x=R\cos t,y=R\sin t,t\in [0,2\pi ]$. Då $\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert =R$, och

$${\int }_C{x}^{2}ds={\int }_0^{2\pi }(R\cos t{)}^2\cdot Rdt=R^3{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=R^3\cdot \pi =\pi R^3.$$

Längden av $C$ är $2\pi R$, så medelvärdet blir

$$\bar{f}=\frac{\pi R^3}{2\pi R}=\boxed{\frac{R^2}{2}}.$$

Tolkning. Eftersom medelvärdet av ${\cos }^2$ över en hel period är $1/2$, får vi $\overline{x^2}=R^2/2$. Det är samma resultat som av symmetriskäl $\overline{x^2}=\overline{y^2}=\overline{(x^2+y^2)/2}=R^2/2$.

---

6. Metodik — steg för steg

Hur man räknar ${\int }_{C}fds$

1. Parametrisera kurvan $C$ med $\vec{r}(t),t\in [a,b]$. Välj den parametrisering som gör räkningarna minst smärtsamma.
2. Räkna farten $\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert$.
3. Uttryck integranden $f$ längs kurvan: $f(\vec{r}(t))$.
4. Beräkna enkelintegralen ${\int }_a^{b}f(\vec{r}(t))\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert dt$.
5. Sanity-check. För $f\equiv 1$ ska du få längden av $C$.

Vanliga fallgropar

• Glömt $\Vert \vec{r}{}^{\prime }(t)\Vert$ — utan den blir resultatet fel storleksordning.
• Felaktig $t$-intervall som täcker kurvan flera gånger eller bara delvis.
• Räknat $\int f(t)dt$ istället för $\int f(\vec{r}(t))ds$ — funktionsvärdet i punkten, inte i parametern.

---

Läsning

• 16.3 Line Integrals

Se även

• Kurvintegraler av vektorfält
• Parametriserade kurvor
• Båglängd och rotationsarea

Resurser

• Khan Academy: Line integrals
• Wikipedia: Line integral