---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - integral
förkunskaper:
  - "[[Parametriserade kurvor]]"
  - "[[Integraler]]"
status: utkast
aliases:
  - Linjeintegral
  - Båglängdsintegral
  - Kurvintegral av skalärfält
  - Line integral
---

> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Parametriserade kurvor]], [[Integraler]]

---

## 1. Idén bakom kurvintegralen

Vanliga integraler $\int_a^b f(x)\,dx$ summerar funktionsvärden längs ett rakt intervall på reella linjen. *Kurvintegralen* generaliserar detta till en *krokig väg* i planet eller rummet.

> [!abstract] Grundtanken
> Tänk dig en böjd vajer som följer en kurva $C$, och en densitet $f(x,y)$ som varierar längs vajern. Massan blir summan av "lite längd $\times$ lokal densitet" — och det är precis $\int_C f\,ds$.

![[kurva-mur.png|520]]

---

## 2. Definition

För en kurva $C:\ \vec r(t),\ t\in[a,b]$, och en skalärfunktion $f$ definierad på $C$:

$$
\boxed{\;\int_C f\,ds=\int_a^b f\bigl(\vec r(t)\bigr)\,\|\vec r{\,}'(t)\|\,dt\;}
$$

där $ds$ är ett *båglängdselement*.

### Härledning av $ds$

En liten bit av kurvan motsvarar ett litet steg $\Delta t$ i parametern. Pythagoras längs kurvan ger

$$
ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt=\boxed{\;\|\vec r{\,}'(t)\|\,dt\;}
$$

dvs. båglängdselementet är *farten* i parametriseringen, gånger $dt$.

> [!note] 3D-fall
> Allt fungerar likadant i $\mathbb R^3$ med $\|\vec r{\,}'(t)\|=\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}$.

---

## 3. Oberoende av parametrisering

Resultatet beror endast på kurvan som *geometriskt objekt*, inte på hur den parametriseras. Att byta parameter $t\to\tau(t)$ med $\tau'(t)>0$ ger samma värde, så länge orientering och spår bevaras.

> [!tip] Praktisk konsekvens
> Välj den parametrisering som ger snyggast räkning — du behöver inte oroa dig för att svaret ska bero på valet.

---

## 4. Användning

- **Längd** av kurva: $f\equiv 1$ ger $\int_C ds=\text{längd}(C)$.
- **Massa** av tråd med (linjär) densitet $\rho(x,y)$: $m=\int_C \rho\,ds$.
- **Masscentrum** av tråden: $\bar x=\tfrac{1}{m}\int_C x\,\rho\,ds$ etc.
- **Medelvärde** av $f$ längs kurvan: $\bar f=\tfrac{1}{\text{längd}(C)}\int_C f\,ds$.

---

## 5. Exempel

> [!example]- Exempel 1 — längden av en halvcirkel (sanity check)
> Låt $C$ vara övre halvan av enhetscirkeln. Parametrisera $\vec r(t)=(\cos t,\sin t),\ t\in[0,\pi]$. Då
>
> $$
> \vec r{\,}'(t)=(-\sin t,\cos t),\qquad \|\vec r{\,}'(t)\|=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=1.
> $$
>
> Längden:
>
> $$
> \int_C ds=\int_0^\pi 1\,dt=\boxed{\pi}.
> $$
>
> Stämmer — halvomkretsen av enhetscirkeln är just $\pi$.

> [!example]- Exempel 2 — massa av vajer med inhomogen densitet
> Finn massan av en vajer som följer $y=x^2$ från $(0,0)$ till $(1,1)$ med densiteten $\rho(x,y)=x$.
>
> $$
> m=\int_C \rho(x,y)\,ds.
> $$
>
> **Parametrisering.** Sätt $x(t)=t,\ y(t)=t^2$ för $t\in[0,1]$, så
>
> $$
> \vec r(t)=\begin{bmatrix}t\\ t^2\end{bmatrix},\qquad \|\vec r{\,}'(t)\|=\sqrt{1+4t^2}.
> $$
>
> **Räkningen.**
>
> $$
> m=\int_0^1 x(t)\,\|\vec r{\,}'(t)\|\,dt=\int_0^1 t\sqrt{1+4t^2}\,dt.
> $$
>
> Substitutionen $u=1+4t^2,\ du=8t\,dt$ ger
>
> $$
> \int_0^1 t\sqrt{1+4t^2}\,dt=\frac{1}{8}\int_{u=1}^{u=5}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{8}\!\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^5=\frac{1}{12}\bigl(5\sqrt 5-1\bigr).
> $$
>
> Alltså
>
> $$
> \boxed{\,m=\dfrac{5\sqrt 5-1}{12}\approx 0{,}847\,}.
> $$
>
> **Rimlighetskoll.** Vajerns längd är $\int_0^1\sqrt{1+4t^2}\,dt\approx 1{,}48$, och densiteten varierar från $0$ (i origo) till $1$ (i $(1,1)$). En *medelmassa* skulle ligga kring $0{,}5\cdot 1{,}48\approx 0{,}74$ — vårt svar $0{,}85$ är något högre, vilket stämmer med att den tjockare delen av vajern (hög $x$) också är längre eftersom $y=x^2$ är brantare där.

> [!example]- Exempel 3 — medelvärde av höjd över en spiral
> Låt $C$ vara en hel cirkel av radie $R$ i $xy$-planet. Beräkna medelvärdet av $f(x,y)=x^2$ längs $C$.
>
> Parametrisera $x=R\cos t,\ y=R\sin t,\ t\in[0,2\pi]$. Då $\|\vec r{\,}'(t)\|=R$, och
>
> $$
> \int_C x^2\,ds=\int_0^{2\pi}(R\cos t)^2\cdot R\,dt=R^3\int_0^{2\pi}\cos^2 t\,dt=R^3\cdot\pi=\pi R^3.
> $$
>
> Längden av $C$ är $2\pi R$, så medelvärdet blir
>
> $$
> \bar f=\frac{\pi R^3}{2\pi R}=\boxed{\dfrac{R^2}{2}}.
> $$
>
> **Tolkning.** Eftersom medelvärdet av $\cos^2$ över en hel period är $1/2$, får vi $\overline{x^2}=R^2/2$. Det är samma resultat som av symmetriskäl $\overline{x^2}=\overline{y^2}=\overline{(x^2+y^2)/2}=R^2/2$.

---

## 6. Metodik — steg för steg

> [!important] Hur man räknar $\int_C f\,ds$
> 1. **Parametrisera kurvan** $C$ med $\vec r(t),\ t\in[a,b]$. Välj den parametrisering som gör räkningarna minst smärtsamma.
> 2. **Räkna farten** $\|\vec r{\,}'(t)\|$.
> 3. **Uttryck integranden** $f$ längs kurvan: $f(\vec r(t))$.
> 4. **Beräkna enkelintegralen** $\int_a^b f(\vec r(t))\,\|\vec r{\,}'(t)\|\,dt$.
> 5. **Sanity-check.** För $f\equiv 1$ ska du få längden av $C$.

> [!warning] Vanliga fallgropar
> - Glömt $\|\vec r{\,}'(t)\|$ — utan den blir resultatet fel storleksordning.
> - Felaktig $t$-intervall som täcker kurvan flera gånger eller bara delvis.
> - Räknat $\int f(t)\,dt$ istället för $\int f(\vec r(t))\,ds$ — funktionsvärdet *i punkten*, inte i parametern.

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=923|16.3 Line Integrals]]

## Se även

- [[Kurvintegraler av vektorfält]]
- [[Parametriserade kurvor]]
- [[Båglängd och rotationsarea]]

## Resurser

- [Khan Academy: Line integrals](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/line-integrals-of-scalar-fields)
- [Wikipedia: Line integral](https://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral)