Flödesintegraler

Kurs: M0068M Förkunskaper: Vektorfält, Parametriserade ytor, Ytintegraler, Orientering (kurvor och ytor)

---

1. Idén — hur mycket “rinner igenom”?

Tänk dig att $\vec{F}$ är hastighetsfältet i en strömmande vätska. Genom en yta $S$ flödar det med en viss takt — så och så många liter per sekund. Flödesintegralen mäter exakt den takten. Mer abstrakt: den mäter hur mycket av $\vec{F}$ som passerar $S$, räknat med tecken efter en vald sida.

Tre saker att hålla isär:

• Storleken av $\vec{F}$ i punkten styr hur stor den lokala genomströmningen är.
• Riktningen av $\vec{F}$ relativt ytan avgör om det räknas som flöde genom — bara komponenten vinkelrät mot $S$ bidrar.
• Orienteringen av $S$ (vilken sida som är “ut”) bestämmer tecknet.

Grundtanken

Endast $\vec{F}$:s normalkomponent bidrar till flödet. Tangentialdelen “glider längs” och passerar aldrig ytan.

2. Definition

Låt $S$ vara en orienterad yta med enhetsnormal $\hat{n}$ och $\vec{F}$ ett vektorfält. Flödet av $\vec{F}$ genom $S$ definieras som ytintegralen

$$\boxed{\Phi ={\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_S\vec{F}\cdot \hat{n}dS}$$

där $d\vec{S}=\hat{n}dS$ är det vektorvärda arealelementet. Tecknet beror på orienteringen — se Orientering (kurvor och ytor).

3. Beräkning via parametrisering

Med $S$ parametriserad av $\vec{r}(u,v),(u,v)\in D$, är normalvektorn ${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$ och $dS=\Vert {\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v\Vert dudv$. Då försvinner längden mot normaliseringen:

$$\boxed{{\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_D\vec{F}(\vec{r}(u,v))\cdot ({\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v)dudv}$$

Tecknet på ${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$ är det som bestämmer orienteringen — om man vill ha “andra sidan” tar man minus, eller byter parameterordningen.

Specialfall — graf $z=f(x,y)$ uppåtorienterad

För $\vec{r}(x,y)=(x,y,f(x,y))$ är ${\vec{r}}_x\times {\vec{r}}_y=(-f_x,-f_y,1)$, så

$${\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_D(-F_1{f}_x-F_2{f}_y+F_3)dxdy.$$

4. Egenskaper

• Linjäritet i $\vec{F}$.
• Additivitet över styckvis släta ytor.
• Orientering: ${\iint }_{-S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=-{\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}$ — byter sida, byter tecken.
• Slutna ytor: konventionen är utåtorienterad normal. Då räknar man hur mycket som strömmar ut från det inneslutna området, och Gauss sats blir den naturliga räknemetoden.

5. Exempel

Exempel 1 — flöde av $\vec{F}=(0,0,1)$ genom en halvsfär

Beräkna flödet av $\vec{F}=(0,0,1)$ genom övre enhetshalvsfären $S$ med uppåtorienterad normal.

Smart genväg. Eftersom $\vec{F}$ är konstant och pekar uppåt, är flödet bara $\vec{F}$:s normalkomponent integrerad över $S$. Men projektionen av $S$ på $xy$-planet är enhetsdisken $D$ med area $\pi$. Eftersom $\vec{F}$ är konstant gäller

$${\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_D{F}_{3}dA=\pi .$$

Direktkontroll. Med sfärparametrisering $\vec{r}(\varphi ,\theta )$ är ${\vec{r}}_{\varphi }\times {\vec{r}}_{\theta }=\sin \varphi \hat{r}$ och $\vec{F}\cdot \hat{r}=\cos \varphi$, alltså

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}\cos \varphi \sin \varphi d\varphi d\theta =2\pi \cdot \frac{1}{2}=\boxed{\pi }.✓$$

Exempel 2 — elektriskt flöde genom en sfär (Gauss lag)

Det elektriska fältet kring en punktladdning $q$ i origo är

$$\vec{E}(\vec{r})=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\vec{r},r=\Vert \vec{r}\Vert .$$

Beräkna flödet av $\vec{E}$ utåt genom en sfär med radie $a$ centrerad i origo.

Sfärparametrisering ger ${\vec{r}}_{\varphi }\times {\vec{r}}_{\theta }=a^2\sin \varphi \hat{r}$ och $\vec{E}\cdot \hat{r}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{a}^2}$. Alltså

$$\Phi ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{a}^2}\cdot a^2\sin \varphi d\varphi d\theta =\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot 4\pi =\boxed{\frac{q}{{\epsilon }_0}}.$$

Tolkning. Detta är Gauss lag för elektrostatik — flödet ut genom vilken som helst sluten yta som omsluter laddningen är samma. Att resultatet är oberoende av $a$ är inte en slump; det är en konsekvens av att $\vec{E}\propto 1/r^2$ och att sfärens area växer som $r^2$. Klassisk fysik, klassisk matematik.

Exempel 3 — flöde av $\vec{F}=(x,y,z)$ genom enhetssfärens yta

Med $\vec{F}=(x,y,z)=\vec{r}$ och $\hat{n}=\vec{r}/\Vert \vec{r}\Vert =\vec{r}$ på enhetssfären:

$$\vec{F}\cdot \hat{n}=\Vert \vec{r}{\Vert }^2=1.$$

Alltså

$${\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_{S}1dS=\text{area}(S)=4\pi .$$

Kollas mot Gauss sats: $\nabla \cdot \vec{F}=3$, och ${\iiint }_{B}3dV=3\cdot \frac{4}{3}\pi =4\pi$. $✓$

6. Räknemetod

Räkneschema för ${\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}$

1. Välj parametrisering $\vec{r}(u,v)$ och området $D$.
2. Bestäm orienteringen — räkna ${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$ och kolla att den pekar åt rätt håll (annars byter tecknet eller parameterordningen).
3. Räkna ut $\vec{F}\cdot ({\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v)$ som funktion av $(u,v)$.
4. Integrera över $D$.

Alternativ: är ytan sluten kan Gauss sats ofta ersätta hela ytintegralen med en trippelintegral över divergensen — oftast mycket snabbare.

Skalär $\ne$ vektor

${\iint }_{S}fdS$ är en skalär ytintegral — tecken-okänslig. ${\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}$ är flödesintegralen — orienteringsberoende. Förväxla inte de två.

Läsning

• 16.6 Oriented Surfaces and Flux Integrals

Se även

• Ytintegraler
• Vektorfält
• Orientering (kurvor och ytor)
• Gauss sats
• Stokes sats
• Divergens och rotation

Resurser

• Khan Academy: Flux in 3D
• Wikipedia: Flux