Gauss sats

Kurs: M0068M Förkunskaper: Divergens och rotation, Flödesintegraler, Trippelintegraler

---

1. Idén — utflöde lika med inre produktion

Gauss sats (även kallad divergenssatsen) säger något oerhört naturligt: hur mycket som strömmar ut genom randen av en volym är lika med hur mycket som produceras inuti. Källor och sänkor på insidan är det enda som syns på utsidan.

Grundtanken

$\nabla \cdot \vec{F}$ mäter lokalt om en punkt är en källa ($>0$) eller sänka ($<0$). När man summerar över hela volymen ska det som blir över synas som ett flöde ut genom ytan. Det är precis vad satsen säger.

Den binder ihop tre tidigare begrepp:

Lokalt	Globalt
divergens $\nabla \cdot \vec{F}$	trippelintegral ${\iiint }_V\nabla \cdot \vec{F}dV$
vektorfältets normalkomponent	flöde ${\iint }_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}$

2. Satsen

Gauss sats (divergenssatsen)

Låt $V$ vara en begränsad volym i ${\mathbb{R}}^3$ med styckvis slät, utåtorienterad rand $\partial V$. Låt $\vec{F}$ vara ett $C^1$-vektorfält i en omgivning av $V$. Då

$$\boxed{{\iint }_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iiint }_V\nabla \cdot \vec{F}dV}$$

Den vänstra sidan är flödet ut genom $\partial V$. Den högra är “totala produktionen” av $\vec{F}$ i $V$. Att de är lika är en av kalkylens skönaste likheter.

3. Varför är detta sant?

Tänk er $V$ uppdelad i många små kuber. För en enda liten kub är flödet ut genom dess sex sidor exakt $\nabla \cdot \vec{F}$ gånger kubens volym (det är definitionen av divergens i gränsen). När man nu summerar över alla kuber:

• de inre sidoflödena tar ut varandra — det som lämnar en kub strömmar in i grannen,
• bara de yttre sidoflödena överlever — de sitter på $\partial V$.

Summan av små “lokalt utflöde” blir alltså globalt flöde ut, vilket är exakt vad satsen påstår.

Anlogi

Greens sats är 2D-versionen — flöde ut genom en plan kurva $=$ dubbelintegral av divergensen. Gauss sats är samma idé en dimension upp. De är båda specialfall av den allmänna Stokes sats för differentialformer.

4. Exempel

Exempel 1 — $\vec{F}=\vec{r}$ över valfri volym

Med $\vec{F}(x,y,z)=(x,y,z)$ är $\nabla \cdot \vec{F}=1+1+1=3$. Gauss sats ger

$$\iint \vec{r}\cdot d\vec{S}=3{\iiint }_{V}dV=\boxed{3\mathrm{Vol}(V)}.$$

Användbart faktum. Detta är en formel för volym uttryckt som en ytintegral:

$$\mathrm{Vol}(V)=\frac{1}{3}\iint \vec{r}\cdot d\vec{S}.$$

Sanity check på enhetssfären. Det stämmer med exempel 3 i Flödesintegraler: flödet av $\vec{r}$ ut genom enhetssfären är $4\pi$, och $3\cdot \frac{4}{3}\pi =4\pi$. $✓$

Exempel 2 — flöde av $\vec{F}=(x^2,y^2,z^2)$ ut ur enhetskub

Låt $V=[0,1{]}^3$ och $\vec{F}=(x^2,y^2,z^2)$. Då

$$\nabla \cdot \vec{F}=2x+2y+2z,{\iiint }_V(2x+2y+2z)dV.$$

Per symmetri räcker det att räkna ${\iiint }_{V}2xdV=2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=1$ och multiplicera med 3:

$$\Phi =\boxed{3}.$$

Att räkna detta direkt över de sex kubsidorna går också, men tar betydligt längre tid. Det är pointen med Gauss sats — den kortar ner räkningar.

Exempel 3 — Gauss lag för elektrostatik

Det elektriska fältet från en punktladdning $q$ är $\vec{E}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\vec{r}/r^3$. Direktkoll visar att $\nabla \cdot \vec{E}=0$ utanför origo, men i origo finns en singulär källa. För varje sluten yta som omsluter origo gäller (med utåtorientering)

$$\iint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q}{{\epsilon }_0}.$$

Detta är Gauss lag — en av Maxwells ekvationer i integralform. I differentialform: $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$, där $\rho$ är laddningstätheten.

5. När är Gauss sats användbar?

Tre situationer där satsen verkligen lönar sig

1. Trippelintegralen är enkel, ytintegralen krånglig. Ofta är $\nabla \cdot \vec{F}$ konstant eller mycket enkel, så ${\iiint }_V\nabla \cdot \vec{F}dV$ blir trivial — medan flödet över en sluten yta med flera släta bitar är mödosamt.
2. Sluten yta saknar en bit. Behöver du flödet genom en öppen yta $S_1$? Slut den med en hjälpbit $S_2$ (t.ex. en plan disk) så att $S_1\cup S_2$ är sluten. Använd Gauss sats på den slutna ytan och dra av ${\Phi }_{S_2}$ — som ofta är enkelt.
3. Symmetri. Med sfär-, cylinder- eller boxsymmetri kan satsen användas baklänges för att räkna fältet från en känd laddningsfördelning — det är så Coulombs lag härleds från Maxwells ekvationer i fysiken.

6. Antaganden — det fina trycket

• $V$ ska vara en begränsad volym med en snäll rand (styckvis slät, orienterbar, inåt-/utåt-distinktion meningsfull).
• $\vec{F}$ måste vara $C^1$ på en omgivning av hela $V$ — inga singulariteter i det inre. I exempel 3 ovan måste man hantera origo separat eftersom $\vec{E}$ är singulärt där.
• $\partial V$ orienteras med yttre normal. Inåtorientering byter tecken.

Läsning

• 17.4 The Divergence Theorem in 3-Space

Se även

• Divergens och rotation
• Flödesintegraler
• Trippelintegraler
• Stokes sats
• Greens sats

Resurser

• Khan Academy: Divergence theorem
• 3Blue1Brown: Divergence and curl — bygger intuitionen.
• Wikipedia: Divergence theorem