---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - vektoranalys
förkunskaper:
  - "[[Divergens och rotation]]"
  - "[[Flödesintegraler]]"
  - "[[Trippelintegraler]]"
status: utkast
aliases:
  - Divergenssatsen
  - Divergence theorem
  - Gauss divergence theorem
---
> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Divergens och rotation]], [[Flödesintegraler]], [[Trippelintegraler]]

---

## 1. Idén — utflöde lika med inre produktion

**Gauss sats** (även kallad **divergenssatsen**) säger något oerhört naturligt: hur mycket som strömmar *ut* genom randen av en volym är lika med hur mycket som *produceras* inuti. Källor och sänkor på insidan är det enda som syns på utsidan.

> [!abstract] Grundtanken
> $\nabla\cdot \vec F$ mäter lokalt om en punkt är en *källa* ($>0$) eller *sänka* ($<0$). När man summerar över hela volymen ska det som blir över synas som ett *flöde* ut genom ytan. Det är precis vad satsen säger.

Den binder ihop tre tidigare begrepp:


| Lokalt                                                     | Globalt                                                                            |
| ---------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------- |
| [[Divergens och rotation\|divergens]] $\nabla\cdot \vec F$ | [[Trippelintegraler\|trippelintegral]] $\iiint_V \nabla\cdot \vec F\,dV$           |
| [[Vektorfält\|vektorfältets]] normalkomponent              | [[Flödesintegraler\|flöde]] $\displaystyle \iint_{\partial V} \vec F\cdot d\vec S$ |

## 2. Satsen

> [!important] Gauss sats (divergenssatsen)
> Låt $V$ vara en begränsad volym i $\mathbb R^3$ med styckvis slät, **utåtorienterad** rand $\partial V$. Låt $\vec F$ vara ett $C^1$-vektorfält i en omgivning av $V$. Då
> $$
> \boxed{\;{\iint}_{\partial V}\vec F\cdot d\vec S=\iiint_V \nabla\cdot \vec F\,dV\;}
> $$

Den vänstra sidan är [[Flödesintegraler|flödet]] ut genom $\partial V$. Den högra är "totala produktionen" av $\vec F$ i $V$. Att de är lika är en av kalkylens skönaste likheter.

![[gauss-sat.png|520]]

## 3. Varför är detta sant?

Tänk er $V$ uppdelad i många små kuber. För en enda liten kub är flödet ut genom dess sex sidor *exakt* $\nabla\cdot \vec F$ gånger kubens volym (det är *definitionen* av divergens i gränsen). När man nu summerar över alla kuber:

- de **inre** sidoflödena tar ut varandra — det som lämnar en kub strömmar in i grannen,
- bara de **yttre** sidoflödena överlever — de sitter på $\partial V$.

Summan av små "lokalt utflöde" blir alltså globalt flöde ut, vilket är exakt vad satsen påstår.

> [!note] Anlogi
> Greens sats är 2D-versionen — flöde ut genom en plan kurva $=$ dubbelintegral av divergensen. Gauss sats är samma idé en dimension upp. De är båda specialfall av den allmänna **Stokes sats** för differentialformer.

## 4. Exempel

> [!example]- Exempel 1 — $\vec F=\vec r$ över valfri volym
> Med $\vec F(x,y,z)=(x,y,z)$ är $\nabla\cdot \vec F=1+1+1=3$. Gauss sats ger
> $$
> \oiint_{\partial V}\vec r\cdot d\vec S=3\iiint_V dV=\boxed{3\,\mathrm{Vol}(V)}.
> $$
>
> **Användbart faktum.** Detta är *en formel för volym* uttryckt som en ytintegral:
> $$
> \mathrm{Vol}(V)=\frac{1}{3}\oiint_{\partial V}\vec r\cdot d\vec S.
> $$
>
> **Sanity check på enhetssfären.** Det stämmer med exempel 3 i [[Flödesintegraler]]: flödet av $\vec r$ ut genom enhetssfären är $4\pi$, och $3\cdot\frac{4}{3}\pi=4\pi$. $\checkmark$

> [!example]- Exempel 2 — flöde av $\vec F=(x^2,y^2,z^2)$ ut ur enhetskub
> Låt $V=[0,1]^3$ och $\vec F=(x^2,y^2,z^2)$. Då
> $$
> \nabla\cdot \vec F=2x+2y+2z,\qquad \iiint_V (2x+2y+2z)\,dV.
> $$
>
> Per symmetri räcker det att räkna $\iiint_V 2x\,dV=2\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=1$ och multiplicera med 3:
> $$
> \Phi=\boxed{3}.
> $$
>
> Att räkna detta direkt över de **sex** kubsidorna går också, men tar betydligt längre tid. Det är pointen med Gauss sats — den kortar ner räkningar.

> [!example]- Exempel 3 — Gauss lag för elektrostatik
> Det elektriska fältet från en punktladdning $q$ är $\vec E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\vec r/r^3$. Direktkoll visar att $\nabla\cdot \vec E=0$ utanför origo, men i origo finns en singulär källa. För *varje* sluten yta som omsluter origo gäller (med utåtorientering)
> $$
> \oiint_{\partial V}\vec E\cdot d\vec S=\frac{q}{\varepsilon_0}.
> $$
> Detta är **Gauss lag** — en av Maxwells ekvationer i integralform. I differentialform: $\nabla\cdot \vec E=\rho/\varepsilon_0$, där $\rho$ är laddningstätheten.

## 5. När är Gauss sats användbar?

> [!important] Tre situationer där satsen verkligen lönar sig
> 1. **Trippelintegralen är enkel, ytintegralen krånglig.** Ofta är $\nabla\cdot \vec F$ konstant eller mycket enkel, så $\iiint_V \nabla\cdot \vec F\,dV$ blir trivial — medan flödet över en sluten yta med flera släta bitar är mödosamt.
> 2. **Sluten yta saknar en bit.** Behöver du flödet genom en *öppen* yta $S_1$? Slut den med en hjälpbit $S_2$ (t.ex. en plan disk) så att $S_1\cup S_2$ är sluten. Använd Gauss sats på den slutna ytan och dra av $\Phi_{S_2}$ — som ofta är enkelt.
> 3. **Symmetri.** Med sfär-, cylinder- eller boxsymmetri kan satsen användas baklänges för att räkna *fältet* från en känd laddningsfördelning — det är så Coulombs lag härleds från Maxwells ekvationer i fysiken.

## 6. Antaganden — det fina trycket

- $V$ ska vara en *begränsad* volym med en *snäll* rand (styckvis slät, orienterbar, inåt-/utåt-distinktion meningsfull).
- $\vec F$ måste vara $C^1$ på en omgivning av hela $V$ — inga singulariteter i det inre. I exempel 3 ovan måste man hantera origo separat eftersom $\vec E$ är singulärt där.
- $\partial V$ orienteras med **yttre normal**. Inåtorientering byter tecken.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=973|17.4 The Divergence Theorem in 3-Space]]

## Se även

- [[Divergens och rotation]]
- [[Flödesintegraler]]
- [[Trippelintegraler]]
- [[Stokes sats]]
- [[Greens sats]]

## Resurser

- [Khan Academy: Divergence theorem](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theorem-and-stokes-theorem/divergence-theorem-articles)
- [3Blue1Brown: Divergence and curl](https://www.youtube.com/watch?v=rB83DpBJQsE) — bygger intuitionen.
- [Wikipedia: Divergence theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem)