---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - integral
förkunskaper:
  - "[[Parametriserade ytor]]"
  - "[[Dubbelintegraler]]"
status: utkast
aliases:
  - Ytintegral
  - Ytintegral av skalärfält
  - Surface integral
---
> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Parametriserade ytor]], [[Dubbelintegraler]]

---

## 1. Idén — integrera över en yta istället för ett område

En vanlig [[Dubbelintegraler|dubbelintegral]] summerar funktionsvärden över ett plant område $D\subset\mathbb R^2$. En **ytintegral** gör samma sak, men över en krökt yta $S$ i rummet. Två naturliga tolkningar:

- **Massa**: om $S$ är ett tunt skal med ytdensitet $\rho(x,y,z)$ är massan $\iint_S \rho\,dS$.
- **Medelvärde**: om $f$ representerar en storhet (temperatur, höjd, ...) längs ytan är dess medelvärde $\frac{1}{\text{area}(S)}\iint_S f\,dS$.

Konstrukten är direkt analog till [[Kurvintegraler|kurvintegralen]] $\int_C f\,ds$ — bara att vi summerar över en *2D-yta* istället för en 1D-kurva, och båglängdselementet $ds$ ersätts av ett *arealelement* $dS$.

> [!abstract] Grundtanken
> $\iint_S f\,dS$ summerar $f$ längs ytan, vägt med den lokala arean. När $f\equiv 1$ får man ytans area.

## 2. Definition via parametrisering

Låt $S$ vara given av en [[Parametriserade ytor|parametrisering]] $\vec r(u,v),\ (u,v)\in D$. Då definieras

$$
\boxed{\;\iint_S f\,dS=\iint_D f\bigl(\vec r(u,v)\bigr)\,\|\vec r_u\times \vec r_v\|\,du\,dv\;}
$$

Faktorn $\|\vec r_u\times \vec r_v\|$ är den lokala arealförstoringen — hur en liten rektangel $du\,dv$ i parameterplanet blir när den lyfts upp på ytan.

![[yt-area-element.png|600]]

I bilden visar den lilla parallellogrammen exakt detta: $\vec r_u\,du$ och $\vec r_v\,dv$ spänner upp en liten yta vars area är $\|\vec r_u\times \vec r_v\|\,du\,dv=dS$.

## 3. Användbara specialfall

### Graf $z=f(x,y)$ över $D\subset\mathbb R^2$

Med parametriseringen $\vec r(x,y)=(x,y,f(x,y))$ blir

$$
\boxed{\;\iint_S g\,dS=\iint_D g\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy\;}
$$

### Sfär av radie $R$

Med $\vec r(\phi,\theta)$ och $dS=R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta$:

$$
\iint_S g\,dS=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi g\bigl(\vec r(\phi,\theta)\bigr)\,R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta.
$$

### Cylinder av radie $R$, höjd $h$

Med $\vec r(\theta,z)$ och $dS=R\,d\theta\,dz$:

$$
\iint_S g\,dS=\int_0^h\!\!\int_0^{2\pi} g\bigl(R\cos\theta,R\sin\theta,z\bigr)\,R\,d\theta\,dz.
$$

## 4. Egenskaper

Ytintegralen ärver de vanliga räknereglerna från dubbelintegralen:

- **Linjäritet**: $\iint_S(\alpha f+\beta g)\,dS=\alpha\iint_S f\,dS+\beta\iint_S g\,dS$.
- **Additivitet**: om $S=S_1\cup S_2$ med $S_1\cap S_2$ av area noll, summerar integralen.
- **Oberoende av parametrisering**: värdet beror bara på $S$ som geometriskt objekt, inte på det val av $\vec r(u,v)$ man råkade göra (så länge den täcker $S$ bijektivt utom på en mängd med area noll).
- **Oberoende av orientering**: till skillnad från [[Flödesintegraler|flödesintegralen]] *byter inte* $\iint_S f\,dS$ tecken om man vänder normalen. Det är en *skalär* ytintegral.

## 5. Exempel

> [!example]- Exempel 1 — yta av halvsfär
> Beräkna $\displaystyle\iint_S z\,dS$ där $S$ är övre halvan av enhetssfären.
>
> **Parametrisering.** Med $\phi\in[0,\pi/2],\ \theta\in[0,2\pi)$:
> $$
> z=\cos\phi,\qquad dS=\sin\phi\,d\phi\,d\theta.
> $$
>
> **Räkningen.**
> $$
> \iint_S z\,dS=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\cos\phi\sin\phi\,d\phi\,d\theta.
> $$
>
> Separation:
> $$
> =2\pi\cdot\int_0^{\pi/2}\cos\phi\sin\phi\,d\phi=2\pi\cdot\Bigl[\tfrac{1}{2}\sin^2\phi\Bigr]_0^{\pi/2}=2\pi\cdot\tfrac{1}{2}=\boxed{\pi}.
> $$
>
> **Tolkning.** Halvsfären har area $2\pi$, så medelhöjden över halvsfären blir $\pi/2\pi=1/2$ — masscentrum för en halvsfärisk skal ligger på höjden $\bar z=1/2$.

> [!example]- Exempel 2 — area av paraboloid-cap (samma som i [[Parametriserade ytor]])
> Beräkna arean av $z=x^2+y^2$ under $z\le 1$.
>
> Med grafformeln och polärt byte blir
> $$
> \text{area}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1+4r^2}\,r\,dr\,d\theta=\boxed{\dfrac{\pi}{6}(5\sqrt 5-1)}.
> $$

> [!example]- Exempel 3 — massa av ett halvsfäriskt skal
> Ett tunt skal $S$: halvsfären $x^2+y^2+z^2=R^2,\ z\ge 0$ har ytdensiteten $\rho(x,y,z)=z$. Bestäm massan.
>
> Med sfärparametrisering: $z=R\cos\phi,\ dS=R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta$. Eftersom $z\ge 0$ kräver $\phi\in[0,\pi/2]$.
>
> $$
> m=\iint_S \rho\,dS=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}R\cos\phi\cdot R^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta.
> $$
>
> Separation:
> $$
> =2\pi R^3\int_0^{\pi/2}\sin\phi\cos\phi\,d\phi=2\pi R^3\cdot\tfrac{1}{2}=\boxed{\pi R^3}.
> $$
>
> **Rimlighetskoll.** Skalet har area $2\pi R^2$ och densiteten varierar från $0$ vid randen till $R$ vid toppen — medeldensitet $R/2$ ger massa $\pi R^3$. Stämmer.

## 6. Metodik — steg för steg

> [!important] Räkneschema för $\iint_S f\,dS$
> 1. **Välj parametrisering** $\vec r(u,v)$ och området $D$.
> 2. **Beräkna $dS=\|\vec r_u\times \vec r_v\|\,du\,dv$** — eller använd specialformlerna i §3.
> 3. **Uttryck $f$** längs ytan: $f(\vec r(u,v))$.
> 4. **Skriv ner dubbelintegralen** över $D$ och beräkna iterativt.
> 5. **Sanity-check** med $f\equiv 1$ — då ska du få area$(S)$.

> [!warning] Vanliga fallgropar
> - Glömmer $\|\vec r_u\times \vec r_v\|$ — utan den blir resultatet bara dubbelintegralen i parameterplanet.
> - Använder $dS=dA$ utan att fundera över krökningen — funkar bara för plana ytor.
> - Slarvar med definitionsmängden $D$, så att ytan täcks dubbelt eller missas.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=935|16.5 Surfaces and Surface Integrals]]

## Se även

- [[Parametriserade ytor]]
- [[Flödesintegraler]]
- [[Dubbelintegraler]]
- [[Kurvintegraler]]
- [[Variabelbyte i trippelintegraler]]

## Resurser

- [Khan Academy: Surface integrals](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/surface-integral/v/introduction-to-the-surface-integral)
- [Wikipedia: Surface integral](https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_integral)