Cylindriska koordinater

Kurs: M0068M Förkunskaper: Polära koordinater

---

1. Definition

Cylindriska koordinater är polära koordinater i $xy$-planet kompletterade med den oförändrade $z$-koordinaten:

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}}$$

med $r\ge 0$, $\theta \in [0,2\pi )$ och $z\in \mathbb{R}$.

2. Volymelement

Vid variabelbyte till cylindriska koordinater är jacobianen $r$, så

$$\boxed{dV=rdrd\theta dz}$$

— samma extra faktor $r$ som i polära koordinater för $dA$.

3. När det lönar sig

Cylindriska koordinater passar när problemet har axiell symmetri kring $z$-axeln — cylindrar, paraboloider, koner som är centrerade på $z$-axeln. Då blir gränserna i $r$, $\theta$, $z$ ofta konstanta eller mycket enkla, vilket reducerar trippelintegralen drastiskt.

Läsning

• Cylindriska koordinater

Resurser

• Jeffrey Chasnov: En snabb genomgång av cylindriska koordinater
• Wikipedia: Cylindriska koordinater