---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - integration
  - dubbelintegral
förkunskaper:
  - "[[Bestämd integral och Riemannsummor]]"
  - "[[Integraler]]"
status: utkast
aliases:
  - Dubbelintegral
  - Itererad integral
  - Fubinis sats
---

> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Bestämd integral och Riemannsummor]], [[Integraler]]

---

## 1. Definition via Riemannsummor

Låt $f(x,y)$ vara definierad på ett slutet, begränsat område $D\subset\mathbb{R}^2$.
Dela upp $D$ i $n$ delområden $\Delta A_k$ med valda punkter $(x_k^*,y_k^*)$.


Volymelement kan beskrivas som funktionen $\times$ arean, och $\Delta A$ kan beskrivas som $\Delta x\Delta y$

$$\Delta V=f(x,y)\Delta A=f(x,y)\Delta x\Delta y$$

Totala volymen kan beskrivas som en summa av dessa volymelement $\Delta V$
$$
\iint_D f(x,y)\,dA \;=\; \lim_{\|\Delta\|\to 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*,y_k^*)\,\Delta A_k
$$

Exempel: för kvadraten $0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1$ kan vi dela i fyra delkvadrater
med centrum i punkterna nedan och summera $f$ över dem.

![[Pasted image 20260422140803.png|300]] ![[Pasted image 20260422141030.png|288]]

---

## 2. Geometrisk tolkning

> [!abstract] Tolkning
> Om $f(x,y)\geq 0$ på $D$ är
> $$\iint_D f(x,y)\,dA$$
> volymen av kroppen mellan området $D$ i $xy$-planet och ytan $z=f(x,y)$.

![[dubbel-volume.png|520]]

Specialfallet $f\equiv 1$ ger arean av $D$:

$$
\iint_D 1\,dA \;=\; \text{area}(D)
$$

---

## 3. Itererade integraler (Fubinis sats)

Över ett rektangulärt område $R=[a,b]\times[c,d]$ gäller:

$$
\iint_R f(x,y)\,dA \;=\; \int_a^b\!\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx \;=\; \int_c^d\!\!\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy
$$

> [!important] x-enkelt vs y-enkelt område
> - **y-enkelt:** $D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\ g_1(x)\leq y\leq g_2(x)\}$
>   $$\iint_D f\,dA = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$
> - **x-enkelt:** $D=\{(x,y)\mid c\leq y\leq d,\ h_1(y)\leq x\leq h_2(y)\}$
>   $$\iint_D f\,dA = \int_c^d\!\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$

Välj integrationsordning efter hur $D$ är enklast att beskriva.

---

## 4. Räkneregler

- Linjäritet: $\iint_D (\alpha f+\beta g)\,dA = \alpha\iint_D f\,dA + \beta\iint_D g\,dA$
- Additivitet över område: om $D=D_1\cup D_2$ och $D_1\cap D_2$ har area noll,
  $$\iint_D f\,dA = \iint_{D_1} f\,dA + \iint_{D_2} f\,dA$$
- Monotoni: $f\leq g$ på $D\ \Rightarrow\ \iint_D f\,dA \leq \iint_D g\,dA$
- **Symmetri:** om $D$ är symmetriskt kring $x$-axeln och $f$ är udda i $y$,
  är $\iint_D f\,dA = 0$. Analogt för udda i $x$.

---

## 5. Exempel

> [!example]- Exempel 1 - symmetri över enhetsskivan
> $$\iint_D \bigl(\sin x + 1 + y\bigr)\,dA,\qquad D=\{x^2+y^2\leq 1\}$$
>
> ![[sin(x)+1+y.png|200]] ![[x2+y2<=1.png|200]]
>
> $D$ är symmetriskt kring båda axlarna.
> - $\sin x$ är udda i $x$ $\Rightarrow\ \iint_D \sin x\,dA = 0$
> - $y$ är udda i $y$ $\Rightarrow\ \iint_D y\,dA = 0$
> - $\iint_D 1\,dA = \text{area}(D) = \pi$
>
> Svar: $\pi$.

> [!example]- Exempel 2 - y-enkelt område
> $$\iint_D xy^2\,dA,\qquad D:\ 0\leq y\leq x,\ 0\leq x\leq 1$$
>
> ![[xy2 graph, volfram alpha.png|150]]
>
> Lös som itererad integral (inre i $y$):
> $$\int_0^1\!\!\int_0^x xy^2\,dy\,dx = \int_0^1 x\cdot\frac{x^3}{3}\,dx = \int_0^1 \frac{x^4}{3}\,dx = \frac{1}{15}$$

> [!example]- Exempel 3
> $$\iint \sin(x)+1dA, \quad D:\{(x,y)\in \mathbb{R}²|a\leq x^2+y^2\leq_{4}\}$$
> 
> Villkoret säger att distansen till $(0,0)$ är mellan $1$ och $2$
> Bild på Domänet:
> ![[Pasted image 20260427104228.png|250]]
> $$\text{Area}(D)=\pi(2)²-\pi(1)^2=3\pi$$

> [!example]- Exempel 4
> Hitta volymen under grafen för 
> 
> $$f(x,y)=e^{y^3}\quad $$
> $x-y$ planet för $x\geq0$ och $\sqrt{ x }\leq y\leq1$
> 
> Domänet är arean mellan villkoren
> ![[plotOfDomain2d2zxxc.png|200]]
> integrera
> 
> $$\iint_{D}=e^{y^3}dA=\int_{0}^1{\int_{\sqrt{ x }}^1e^{y^3}dy}\quad dx$$
> 
> $$=\int_{0}^1[\dots]=\text{Kan inte utrycka}$$
> 
> Det går inte att lösa uppgiften genom att gå från vänster till höger och intgrera. Vi testar att gå nedifrån och upp
> 
> $$\int_{0}^1\int_{0}^{y^2}e^{y^3}dx\quad dy =\int_{0}^1e^{y^2}\int _{0}^{y^2}dxdy=\int_{0}^1{[xe^{y^3}]_{{x=0}}^{x=y²}}dy=\dots=\frac{1}{3}(e-1)$$
> 
> 

> [!example]- Exempel 5 - Polära koordinater
> $$D:\{1\leq r\leq_{2},\quad 0 \leq \theta\leq 2\pi\}$$
> $$\iint_{D}x²+y²\quad dA=\iint_{D}r^2dA$$
> 
> $$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^2r^2dA$$
> $dA=dxdy=\text{fungerar ej för polära integraler så vad ska vi använda istället?}$
> 
> 
> $$\Delta A\approx r\Delta \theta \Delta r \approx r \times dr\times d\theta$$
> 
> Bild visar varför vi använder $r\times dr\times d\text{ istället för }dA$
> ![[Pasted image 20260427114444.png|150]]
> 
>  

---

## 6. Typiska användningar

- Volym under en yta
- Area av områden i planet
- Masscentrum och moment för plattor
- [[Variabelbyte i dubbelintegraler|Polära koordinater]] när $D$ är cirkulärt
- Sannolikhetstäthet i två variabler

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=855|15.1 Double Integrals]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=861|15.2 Iteration of Double Integrals]]

## Se även

- [[Bestämd integral och Riemannsummor]]
- [[Variabelbyte i dubbelintegraler]]
- [[Trippelintegraler]]
- [[Integraler]]

## Resurser

- Adams & Essex, *Calculus*, kap. 15.1–15.3