Andraderivata och konvexitet

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata

---

1. Andraderivatan

Andraderivatan $f^{\prime \prime }(x)$ är derivatan av $f^{\prime }(x)$ och mäter hur derivatan själv förändras.

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}{f}^{\prime }(x)$$

2. Konvex och konkav

• $f^{\prime \prime }(x)>0$ på ett intervall $\Rightarrow$ $f$ är konvex (böjer uppåt) där.
• $f^{\prime \prime }(x)<0$ på ett intervall $\Rightarrow$ $f$ är konkav (böjer nedåt) där.

Tip

Konvex $=$ “håller vatten”, konkav $=$ “spiller vatten”.

3. Inflexionspunkt

En inflexionspunkt är en punkt där konvexiteten byter tecken. Där gäller typiskt $f^{\prime \prime }(x)=0$, men $f^{\prime \prime }=0$ räcker inte i sig.

Exempel

För $f(x)=x^3$ är $f^{\prime \prime }(x)=6x$ som byter tecken vid $x=0$, så grafen har en inflexionspunkt där.

Läsning

• 4.5 Concavity and Inflections

Se även

• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter

Resurser

• 3Blue1Brown: Derivatives through geometry