Andraderivata och konvexitet

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata

---

Förstaderivatan säger åt vilket håll grafen går. Andraderivatan säger hur den böjer: uppåt som en skål eller nedåt som ett tak. Det behöver vi för att rita grafer, klassificera extremvärden och avgöra om en approximation med tangenten ger för stort eller för litet värde.

Idén

$f^{\prime \prime }$ är hur snabbt lutningen ändras. Är $f^{\prime \prime }>0$ blir tangenten brantare och brantare när vi går åt höger, och grafen kröker sig uppåt. För en rörelse $x(t)$ är $x^{\prime }$ hastigheten och $x^{\prime \prime }$ accelerationen.

---

1. Andraderivatan

Andraderivatan $f^{\prime \prime }(x)$ är derivatan av $f^{\prime }(x)$ och mäter hur derivatan själv förändras.

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}{f}^{\prime }(x)$$

På samma sätt får vi tredje, fjärde, …, $n$:te derivatan genom att derivera om och om igen:

$$y^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }(x)=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=D^{2}f(x),y^{(n)}=f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}y}{d{x}^n}=D^{n}f(x).$$

Exempel — Fjärdederivatan av $\tan x$

Vi bestämmer $y^{(4)}$ för $y=\tan x$.

Lösning

Varje derivering ger en faktor $(1+{\tan }^{2}x)$ från kedjeregeln:

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =1+{\tan }^{2}x\\ y^{\prime \prime }& =2\tan x(1+{\tan }^{2}x)=2\tan x+2{\tan }^{3}x\\ y^{\prime \prime \prime }& =(2+6{\tan }^{2}x)(1+{\tan }^{2}x)=2+8{\tan }^{2}x+6{\tan }^{4}x\\ y^{(4)}& =(16\tan x+24{\tan }^{3}x)(1+{\tan }^{2}x)\end{array}$$ $$\boxed{y^{(4)}=16\tan x+40{\tan }^{3}x+24{\tan }^{5}x}$$

På vägen ser vi att $y^{\prime \prime }=2y(1+y^2)$, dvs $\tan x$ löser differentialekvationen $y^{\prime \prime }=2y(1+y^2)$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget (föreläsning 27).

Små förändringar. Ändras $x$ från $a$ till $a+\Delta x$ är $\Delta f\approx f^{\prime }(a)\Delta x$. Andraderivatan styr felet i den approximationen, vilket är utgångspunkten för Taylors formel.

---

2. Konvex och konkav

$f$ är konvex på ett öppet intervall $I$ om $f$ är deriverbar där och $f^{\prime }$ är växande på $I$, och konkav om $f^{\prime }$ är avtagande.

• $f^{\prime \prime }(x)>0$ på ett intervall $\Rightarrow$ $f$ är konvex (böjer uppåt) där.
• $f^{\prime \prime }(x)<0$ på ett intervall $\Rightarrow$ $f$ är konkav (böjer nedåt) där.

Tip

Konvex $=$ “håller vatten”, konkav $=$ “spiller vatten”.

En konvex graf ligger över alla sina tangenter, en konkav under:

$$\boxed{f^{\prime \prime }>0\text{ pa˚ }I\Rightarrow f(x)\ge f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)\text{fo¨r alla }a,x\in I}$$

Härledning

$f^{\prime \prime }>0$ betyder att $f^{\prime }$ har positiv derivata, så $f^{\prime }$ är strängt växande (se Medelvärdessatsen). Tag $a,x\in I$ med $x\ne a$. Medelvärdessatsen ger ett $c$ mellan $a$ och $x$ med

$$f(x)-f(a)=f^{\prime }(c)(x-a).$$

• Om $x>a$ är $c>a$, så $f^{\prime }(c)>f^{\prime }(a)$, och multiplikation med $x-a>0$ ger $f(x)-f(a)>f^{\prime }(a)(x-a)$.
• Om $x<a$ är $c<a$, så $f^{\prime }(c)<f^{\prime }(a)$, och multiplikation med $x-a<0$ vänder olikheten: $f(x)-f(a)>f^{\prime }(a)(x-a)$.

I båda fallen ligger grafen över tangenten i $a$. Det konkava fallet går likadant.

Därför ger tangentapproximationen ett för litet värde där $f$ är konvex och ett för stort där $f$ är konkav.

$f(x)=10x^3-3x^5$ har $f^{\prime \prime }(x)=60x(1-x^2)$: konvex i de skuggade intervallen, konkav i övrigt, med inflexionspunkter i $x=-1,0,1$.

---

3. Inflexionspunkt

En inflexionspunkt är en punkt där konvexiteten byter tecken. Där gäller typiskt $f^{\prime \prime }(x)=0$, men $f^{\prime \prime }=0$ räcker inte i sig.

I en inflexionspunkt går tangenten genom grafen. Om $f^{\prime \prime }(x_0)$ existerar i en inflexionspunkt $x_0$ är $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, men implikationen går bara åt det hållet: $f(x)=x^4$ har $f^{\prime \prime }(0)=0$ men är konvex på hela $\mathbb{R}$. Kandidaterna är alltså punkter där $f^{\prime \prime }=0$ eller där $f^{\prime \prime }$ saknas, och vi måste kontrollera teckenbytet i en teckentabell.

Exempel

För $f(x)=x^3$ är $f^{\prime \prime }(x)=6x$ som byter tecken vid $x=0$, så grafen har en inflexionspunkt där.

Andraderivatatestet. Andraderivatans tecken i en stationär punkt avgör också om det är maximum eller minimum. Testet och dess härledning står i Extremvärden.

---

4. Krökning och inversens andraderivata

Krökning. Hur skarpt kurvan $y=f(x)$ böjer mäts av krökningen $\kappa$ och krökningsradien $R$:

$$\kappa (x)=\frac{f^{\prime \prime }(x)}{(1+(f^{\prime }(x){)}^2{)}^{3/2}},R=\frac{1}{|\kappa |}.$$

$R$ är radien i den cirkel som bäst ansluter till kurvan i punkten.

Inversens andraderivata. Om $\varphi =f^{-1}$, $y=\varphi (x)$ och $f^{\prime }(y)\ne 0$ gäller

$${\varphi }^{\prime \prime }(x)=-\frac{f^{\prime \prime }(y)}{(f^{\prime }(y){)}^3}.$$

Härledning

$y=\varphi (x)$ betyder $x=f(y)$. Vi deriverar två gånger implicit med avseende på $x$:

$$1=f^{\prime }(y)y^{\prime }\Rightarrow y^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)},$$ $$0=f^{\prime \prime }(y)(y^{\prime }{)}^2+f^{\prime }(y)y^{\prime \prime }\Rightarrow y^{\prime \prime }=-\frac{f^{\prime \prime }(y)(y^{\prime }{)}^2}{f^{\prime }(y)}=-\frac{f^{\prime \prime }(y)}{(f^{\prime }(y){)}^3}.$$

Förstaderivatan är samma formel som i Inversa funktioners derivata.

---

5. Vanliga fel

Vanliga fel

• $f^{\prime \prime }=0$ ger inte inflexionspunkt. $x^4$ har $f^{\prime \prime }(0)=0$ men ingen inflexionspunkt. Kontrollera att $f^{\prime \prime }$ byter tecken.
• Glömma punkter där $f^{\prime \prime }$ saknas. Konvexiteten kan byta tecken där $f^{\prime \prime }$ inte existerar. Å andra sidan är en vertikal asymptot ingen inflexionspunkt, eftersom punkten inte ligger i $D_f$.
• Konvex och konkav omkastade. Konvex betyder $f^{\prime \prime }>0$ och att grafen böjer uppåt, som $x^2$. Engelskans concave up betyder alltså konvex, vilket är lätt att blanda ihop.
• Blanda ihop tecknet på $f^{\prime }$ och $f^{\prime \prime }$. En funktion kan vara avtagande och konvex samtidigt, som $e^{-x}$.

---

6. Lösta övningar

Föreläsning 27, sidan 6 — Konvexitet för $10x^3-3x^5$

Vi bestämmer intervallen där $f(x)=10x^3-3x^5$ är konvex respektive konkav, lokaliserar inflexionspunkterna och bestämmer de lokala extremvärdena.

Lösning

Derivator.

$$f^{\prime }(x)=30x^2-15x^4=15x^2(2-x^2),f^{\prime \prime }(x)=60x-60x^3=60x(1-x)(1+x)$$

Extremvärden. Kritiska punkter $x=0$ och $x=\pm \sqrt{2}$.

$x$		$-\sqrt{2}$		$0$		$\sqrt{2}$
$f^{\prime }(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$	terrass	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$

$f$ är udda, och $f(\sqrt{2})=10\cdot 2\sqrt{2}-3\cdot 4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$, så $f(-\sqrt{2})=-8\sqrt{2}$.

Konvexitet.

$x$		$-1$		$0$		$1$
$f^{\prime \prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	konvex	infl.	konkav	infl.	konvex	infl.	konkav

$$\boxed{\text{konvex pa˚ }(-\infty ,-1)\text{ och }(0,1)},\boxed{\text{konkav pa˚ }(-1,0)\text{ och }(1,\infty )}$$ $$\boxed{\text{Inflexionspunkter i }x=-1,0,1}$$

Skiss. Nollställen i $0$ och $\pm \sqrt{10/3}$, $f\to -\infty$ då $x\to \infty$ och $f\to \infty$ då $x\to -\infty$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 27, sidan 8 — Krökningsradie för $e^x$

Vi bestämmer krökningsradien för $y=e^x$ i punkten $x=0$.

Lösning

$f^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)=e^x$, så

$$\kappa (x)=\frac{e^x}{(1+e^{2x}{)}^{3/2}},\kappa (0)=\frac{1}{2^{3/2}}.$$ $$R=\frac{1}{\kappa (0)}=2^{3/2}=\boxed{2\sqrt{2}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 27, sidan 9 — Inversens andraderivata (tentamen 2021-08-18)

Låt $f(x)=x^3+3x-1$. Vi bestämmer $(f^{-1}{)}^{\prime \prime }(3)$.

Lösning

Inversens värde. $y=f^{-1}(3)$ betyder $f(y)=3$, dvs $y^3+3y-1=3$. $y=1$ passar, och eftersom $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ är $f$ injektiv, så $f^{-1}(3)=1$.

Formeln. $f^{\prime }(x)=3(x^2+1)$ och $f^{\prime \prime }(x)=6x$ ger

$$(f^{-1}{)}^{\prime \prime }(3)=-\frac{f^{\prime \prime }(1)}{(f^{\prime }(1){)}^3}=-\frac{6}{6^3}=\boxed{-\frac{1}{36}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

Läsning

• 4.5 Concavity and Inflections

Se även

• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter
• Medelvärdessatsen
• Taylors formel
• Inversa funktioners derivata

Resurser

• 3Blue1Brown: Derivatives through geometry