M0047M-2023-05-25

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: 2023-05-25 Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_230525gen.pdf, m0047m_230525sols.pdf) M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.

Översikt

• Uppgift 1: induktionsbevis för en sluten formel för den rekursiva talföljden $a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2}$ och följdens gränsvärde
• Uppgift 2: tre gränsvärden: $\ln \sin x-\ln x$, $\frac{e^{4x}-1}{e^x-1}$ och en rationell funktion av typen $\left[\frac{0}{0}\right]$
• Uppgift 3: tangenten till Descartes folium $2(x^3+y^3)=9xy$ i punkten $(1,2)$
• Uppgift 4: gemensamma tangenter till kurvorna $y=x^2$ och $y=x^4$
• Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter för $x^4-\frac{28}{3}{x}^3+20x^2$
• Uppgift 6: optimering, den kortaste stegen över en mur

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. En rekursiv talföljd och induktion

Låt

$$f(x)=\frac{3x+2}{x+2},x>-1.$$

Definiera talföljden $\{a_n\}$ rekursivt genom

$$\{\begin{array}{l}{a}_0=1,\\ a_{n+1}=f(a_n)=\frac{3a_n+2}{a_n+2}.\end{array}$$

(a) Visa med induktion att

$$a_n=\frac{4\cdot 4^n-1}{2\cdot 4^n+1},n=0,1,2,\dots .$$

(4p)

(b) (M0047M) Man kan visa (behövs ej) att talföljden $\{a_n\}$ konvergerar mot ett gränsvärde $a$ när $n\to \infty$. Ge förslag på MATLAB-kod/kommandon som kan visa vad detta gränsvärde är. (1p)

(b) (M0029M/M0057M) Man kan visa (behövs ej) att talföljden $\{a_n\}$ konvergerar mot ett gränsvärde $a$ när $n\to \infty$. Bestäm $a$. (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ett bevis med induktion för en rekursivt definierad talföljd, och sedan ett gränsvärde av en talföljd.

Ledtråd 2

Basfallet är $n=0$. Anta att formeln gäller för $n=p$, sätt in den i $a_{p+1}=\frac{3a_p+2}{a_p+2}$ och visa att resultatet är formeln med $p+1$ i stället för $p$.

Ledtråd 3

Förläng bråket med $2\cdot 4^p+1$. Täljaren blir $16\cdot 4^p-1$ och nämnaren $8\cdot 4^p+1$, och $16\cdot 4^p=4\cdot 4^{p+1}$. För gränsvärdet: dela täljare och nämnare med $4^n$.

Lösning

(a) Basfall. För $n=0$ ger formeln

$$\frac{4\cdot 4^0-1}{2\cdot 4^0+1}=\frac{4-1}{2+1}=\frac{3}{3}=1=a_0$$

Induktionssteg. Anta att formeln gäller för något $n=p\ge 0$, dvs. att

$$a_p=\frac{4\cdot 4^p-1}{2\cdot 4^p+1}\text{(induktionsantagandet)}$$

Då är $a_p>0$, så $a_p+2\ne 0$. Insättning i rekursionen och förlängning med $2\cdot 4^p+1$ ger

$$\begin{array}{rl}{a}_{p+1}& =\frac{3a_p+2}{a_p+2}=\frac{3\cdot \frac{4\cdot 4^p-1}{2\cdot 4^p+1}+2}{\frac{4\cdot 4^p-1}{2\cdot 4^p+1}+2}=\frac{3(4\cdot 4^p-1)+2(2\cdot 4^p+1)}{(4\cdot 4^p-1)+2(2\cdot 4^p+1)}\\ & =\frac{12\cdot 4^p-3+4\cdot 4^p+2}{4\cdot 4^p-1+4\cdot 4^p+2}=\frac{16\cdot 4^p-1}{8\cdot 4^p+1}=\frac{4\cdot 4^{p+1}-1}{2\cdot 4^{p+1}+1}\end{array}$$

vilket är formeln för $n=p+1$. Enligt induktionsprincipen gäller

$$\boxed{a_n=\frac{4\cdot 4^n-1}{2\cdot 4^n+1}\text{ fo¨r alla }n=0,1,2,\dots }$$

(Kontroll: rekursionen ger $a_1=\frac{5}{3}$, $a_2=\frac{21}{11}$, $a_3=\frac{85}{43}$, och formeln ger samma värden.)

(b) (M0047M) Exempelvis beräknas och plottas följdens första termer med formeln från (a):

nmax = 10;
n = 0:nmax;
an = (4*4.^n - 1)./(2*4.^n + 1);   % OBS: punktvisa operationer
plot(n, an, '*')                   % termerna planar ut mot gränsvärdet
an(end)                            % skriver ut 2.0000

Man ser att termerna närmar sig $\boxed{a=2}$. (Lärarens kod ritar dessutom ut den vågräta linjen $y=a_{10}$ och skriver värdet i en legend.)

(b) (M0029M/M0057M) Dela täljare och nämnare med $4^n$; eftersom $\frac{1}{4^n}\to 0$ blir

$$a=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4\cdot 4^n-1}{2\cdot 4^n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4-\frac{1}{4^n}}{2+\frac{1}{4^n}}=\frac{4}{2}=\boxed{2}$$

Alternativt: $f$ är kontinuerlig, så gränsvärdet uppfyller $a=\frac{3a+2}{a+2}$, dvs. $a^2-a-2=(a+1)(a-2)=0$. Alla $a_n>0$, så $a=2$.

Kontrollerat mot facit.

---

2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l’Hôpitals regler):

(a)

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\ln \sin x-\ln x).$$

(1p)

(b)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{4x}-1}{e^x-1}.$$

(2p)

(c)

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-8x+8}{x^3-2x^2+4x-8}.$$

(2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Gränsvärden med standardgränsvärden, logaritm- och potenslagar och faktorisering.

Ledtråd 2

(a) Slå ihop logaritmerna och använd att $\ln$ är kontinuerlig. (b) Skriv $e^{4x}=(e^x{)}^4$ och faktorisera med konjugatregeln. (c) $x=2$ är nollställe till både täljare och nämnare, så båda innehåller faktorn $x-2$ (faktorsatsen).

Ledtråd 3

(a) $\ln \sin x-\ln x=\ln \frac{\sin x}{x}$. (b) $(e^x{)}^4-1=(e^{2x}+1)(e^x+1)(e^x-1)$. (c) $x^3-8x+8=(x-2)(x^2+2x-4)$ och $x^3-2x^2+4x-8=(x-2)(x^2+4)$.

Lösning

(a) För små $x>0$ är $\sin x>0$, så logaritmlagen ger $\ln \sin x-\ln x=\ln \frac{\sin x}{x}$. Eftersom $\ln$ är kontinuerlig och $\frac{\sin x}{x}\to 1$ (standardgränsvärde):

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\ln \sin x-\ln x)=\ln \left(\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}\right)=\ln 1=\boxed{0}$$

(b) Gränsvärdet är av typen $\left[\frac{0}{0}\right]$. Med $e^{4x}=(e^x{)}^4$ och konjugatregeln två gånger:

$$\frac{e^{4x}-1}{e^x-1}=\frac{\left((e^x{)}^2+1\right)\left((e^x{)}^2-1\right)}{e^x-1}=\frac{(e^{2x}+1)(e^x+1)(e^x-1)}{e^x-1}=(e^{2x}+1)(e^x+1)$$

för $x\ne 0$. Alltså

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{4x}-1}{e^x-1}=(1+1)(1+1)=\boxed{4}$$

Alternativt: geometrisk summa, $\frac{(e^x{)}^4-1}{e^x-1}=1+e^x+e^{2x}+e^{3x}\to 4$.

(c) Både täljare och nämnare är $0$ i $x=2$ ($8-16+8=0$ och $8-8+8-8=0$). Polynomdivision ger täljaren

$$x^3-8x+8=(x-2)(x^2+2x-4)$$

och nämnaren faktoriseras genom gruppering:

$$x^3-2x^2+4x-8=x^2(x-2)+4(x-2)=(x-2)(x^2+4)$$

Efter förkortning med $x-2$:

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+2x-4}{x^2+4}=\frac{4+4-4}{4+4}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

3. Tangent till Descartes folium

Bestäm tangenten till Descartes folium

$$2\left(x^3+y^3\right)=9xy$$

i punkten $(1,2)$. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

En tangent till en kurva som ges av en ekvation i $x$ och $y$: Implicit derivering.

Ledtråd 2

Kontrollera att punkten ligger på kurvan. Betrakta $y=y(x)$ och derivera båda leden med avseende på $x$ (kedjeregeln för $y^3$, produktregeln för $xy$). Lös ut $y^{\prime }$ och använd enpunktsformeln.

Ledtråd 3

Deriveringen ger $6x^2+6y^2{y}^{\prime }=9y+9x{y}^{\prime }$, alltså $y^{\prime }=\frac{3y-2x^2}{2y^2-3x}$.

Lösning

Punkten ligger på kurvan: $2(1^3+2^3)=18=9\cdot 1\cdot 2$.

Låt $y=y(x)$ och derivera implicit med avseende på $x$:

$$\frac{d}{dx}\left(2(x^3+y^3)\right)=\frac{d}{dx}(9xy)⟺6x^2+6y^2{y}^{\prime }=9y+9x{y}^{\prime }$$

Samla $y^{\prime }$:

$$y^{\prime }(6y^2-9x)=9y-6x^2⟺y^{\prime }=\frac{3y-2x^2}{2y^2-3x}$$

I punkten $(1,2)$ är lutningen

$$k=\frac{3\cdot 2-2\cdot 1^2}{2\cdot 2^2-3\cdot 1}=\frac{6-2}{8-3}=\frac{4}{5}$$

Enpunktsformeln ger

$$y-2=\frac{4}{5}(x-1)⟺5y-10=4x-4$$ $$\boxed{y=\frac{4x+6}{5}}(\text{dvs. }5y-4x=6)$$

Kontrollerat mot facit.

---

4. Gemensamma tangenter till $x^2$ och $x^4$

Kurvorna

$$\begin{array}{rl}y& =f(x)=x^2,\\ y& =g(x)=x^4,\end{array}$$

har en uppsättning tangentlinjer som är gemensamma för bägge kurvorna. Finn samtliga sådana tangentlinjer.

(I tentan visas en figur med de två kurvorna $y=x^2$ och $y=x^4$ för $-1,5\le x\le 1,5$; de skär varandra i $x=-1$, $0$ och $1$.)

Ledning: antag att $y=f(x)$ tangeras i punkten $(a,f(a))$ och att $y=g(x)$ tangeras i $(b,g(b))$ av den gemensamma tangenten. Vilka samband måste då gälla mellan $a$ och $b$? (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Tangentens ekvation via derivatan: två räta linjer är samma linje om de har samma lutning och samma $m$-värde.

Ledtråd 2

Tangenten till $y=x^2$ i $x=a$ är $y=2ax-a^2$, och tangenten till $y=x^4$ i $x=b$ är $y=4b^{3}x-3b^4$. Jämför koefficienterna.

Ledtråd 3

Systemet $2a=4b^3$, $a^2=3b^4$. Sätt in $a=2b^3$ i den andra ekvationen: $b^4(4b^2-3)=0$.

Lösning

Tangenten till $y=x^2$ i punkten $(a,a^2)$ är

$$y-a^2=2a(x-a)⟺y=2ax-a^2$$

och tangenten till $y=x^4$ i punkten $(b,b^4)$ är

$$y-b^4=4b^3(x-b)⟺y=4b^{3}x-3b^4$$

Två icke-lodräta linjer $y=k_{1}x+m_1$ och $y=k_{2}x+m_2$ är samma linje om och endast om $k_1=k_2$ och $m_1=m_2$:

$$\{\begin{array}{l}2a=4b^3,\\ a^2=3b^4.\end{array}$$

Första ekvationen ger $a=2b^3$, alltså $a^2=4b^6$. Insatt i den andra:

$$4b^6-3b^4=b^4(4b^2-3)=0⟺b=0\text{eller}b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

• $b=0$ ger $a=0$ och tangenten $y=0$ genom origo.
• $b=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ger $a=2b^3=2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ och $a^2=\frac{27}{16}$. Tangeringspunkterna är $\left(\frac{3\sqrt{3}}{4},\frac{27}{16}\right)$ på $y=x^2$ och $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{9}{16}\right)$ på $y=x^4$.
• $b=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ger symmetriskt $a=-\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $a^2=\frac{27}{16}$.

De gemensamma tangenterna är alltså

$$\boxed{y=0,y=\frac{3\sqrt{3}}{2}x-\frac{27}{16},y=-\frac{3\sqrt{3}}{2}x-\frac{27}{16}}$$

Kontroll: $4b^3=4\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{2}=2a$ och $3b^4=3\cdot \frac{9}{16}=\frac{27}{16}=a^2$.

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvan $x^4-\frac{28}{3}{x}^3+20x^2$

Definiera funktionen

$$y=f(x)=x^4-\frac{28}{3}{x}^3+20x^2.$$

Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentligt teckenschema över derivatan. Skissera kurvan. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvundersökning av ett polynom: teckenschema för derivatan och andraderivatan för inflexionspunkter.

Ledtråd 2

Ett polynom är definierat och kontinuerligt på hela $\mathbb{R}$, så lodräta asymptoter finns inte. Undersök $\frac{f(x)}{x}$ när $x\to \pm \infty$ för sneda asymptoter. Faktorisera $f^{\prime }$ och lös $f^{\prime \prime }(x)=0$.

Ledtråd 3

$f^{\prime }(x)=4x(x-2)(x-5)$ och $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-56x+40$, med nollställena $x=\frac{7\pm \sqrt{19}}{3}$.

Lösning

Nollställen och asymptoter. $f(x)=x^2\left(x^2-\frac{28}{3}x+20\right)=\frac{1}{3}{x}^2(x-6)(3x-10)$, så kurvan skär $x$-axeln i $x=0$, $x=\frac{10}{3}$ och $x=6$. $f$ är ett polynom, definierat på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter. Vidare är

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(1-\frac{28}{3x}+\frac{20}{x^2}\right)=+\infty ,\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^3\left(1-\frac{28}{3x}+\frac{20}{x^2}\right)=\pm \infty$$

så det finns varken vågräta eller sneda asymptoter:

$$\boxed{\text{kurvan saknar asymptoter}}$$

Derivata.

$$f^{\prime }(x)=4x^3-28x^2+40x=4x(x^2-7x+10)=4x(x-2)(x-5)$$

Kritiska punkter: $x=0$, $x=2$ och $x=5$.

	$x<0$	$0$	$0<x<2$	$2$	$2<x<5$	$5$	$x>5$
$4x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-5$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f^{\prime }(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$

Funktionsvärdena är

$$f(0)=0,f(2)=16-\frac{224}{3}+80=\frac{64}{3},f(5)=625-\frac{3500}{3}+500=-\frac{125}{3}$$ $$\boxed{\text{lok. min }f(0)=0\text{ och }f(5)=-\frac{125}{3},\text{lok. max }f(2)=\frac{64}{3}}$$

Minimet $-\frac{125}{3}$ är också globalt; globalt maximum saknas.

Andraderivata.

$$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-56x+40=12\left(x^2-\frac{14}{3}x+\frac{10}{3}\right)=0⟺x=\frac{7}{3}\pm \sqrt{\frac{49}{9}-\frac{30}{9}}=\frac{7\pm \sqrt{19}}{3}$$

Kalla rötterna $r_1=\frac{7-\sqrt{19}}{3}\approx 0,88$ och $r_2=\frac{7+\sqrt{19}}{3}\approx 3,79$. Eftersom $f^{\prime \prime }$ är en andragradsfunktion med positiv ledande koefficient är $f^{\prime \prime }>0$ (konvex) för $x<r_1$ och $x>r_2$, och $f^{\prime \prime }<0$ (konkav) för $r_1<x<r_2$. Andraderivatan byter tecken i båda punkterna:

$$\boxed{\text{inflexionspunkter i }x=\frac{7\pm \sqrt{19}}{3}}$$

med funktionsvärdena $f(r_1)=\frac{224\sqrt{19}-188}{81}\approx 9,73$ och $f(r_2)=-\frac{224\sqrt{19}+188}{81}\approx -14,38$. ($4<\sqrt{19}<5$ ger $\frac{2}{3}<r_1<1$ och $\frac{11}{3}<r_2<4$.)

Skiss. Kurvan kommer från $+\infty$ till vänster, är konvex och sjunker till minimum i origo där den tangerar $x$-axeln, stiger genom inflexionspunkten vid $x\approx 0,88$ till maximum $\left(2,\frac{64}{3}\right)$, sjunker genom nollstället $x=\frac{10}{3}$ och inflexionspunkten vid $x\approx 3,79$ ned till det globala minimet $\left(5,-\frac{125}{3}\right)$ och växer sedan genom $x=6$ mot $+\infty$.

Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning skriver $f(3)$ där det ska stå $f(2)$ och anger i teckenschemat för $y^{\prime \prime }$ rötterna som $\frac{7\mp \sqrt{19}}{2}$; båda är skrivfel, uträkningarna och texten ger $f(2)=\frac{64}{3}$ och $x=\frac{7\pm \sqrt{19}}{3}$. Inflexionspunkternas $y$-värden anges inte i facit; de är tillagda här.

---

6. Den kortaste stegen över en mur

En meter framför ett hus står en $2\sqrt{2}$ meter hög mur. En brandman ska resa en stege mot huset över muren. Vilken är den kortaste möjliga stege $l$ brandmannen kan använda för att den ska luta mot huset? (5p)

(I tentan visas en figur: husväggen är lodrät, muren med höjden $2\sqrt{2}$ står på avståndet $1$ från husväggen, och stegen med längden $l$ går från marken utanför muren, vilar på murens krön och når husväggen. Enhet: meter.)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ett optimeringsproblem: minimera en funktion av en variabel på ett öppet intervall.

Ledtråd 2

Låt $x$ vara avståndet från muren till stegens fot och $y$ höjden där stegen når huset. Likformiga trianglar ger $\frac{2\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{x+1}$. Minimera $l^2=(x+1{)}^2+y^2$ i stället för $l$.

Ledtråd 3

$l^2=f(x)=(x+1{)}^2\left(1+\frac{8}{x^2}\right)$ och $f^{\prime }(x)=2(x+1)\left(1-\frac{8}{x^3}\right)$.

Lösning

Låt $x>0$ vara avståndet från muren till stegens fot och $y$ höjden där stegen når husväggen. Stegens fot ligger då på avståndet $x+1$ från huset, och Pythagoras sats ger

$$l^2=(x+1{)}^2+y^2$$

Stegen bildar samma vinkel $\theta$ med marken vid muren och vid huset, så likformiga trianglar ger

$$\tan \theta =\frac{2\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{x+1}⟺y=\frac{2\sqrt{2}}{x}(x+1)$$

Det räcker att minimera $l^2$, dvs.

$$f(x)=(x+1{)}^2+\frac{8}{x^2}(x+1{)}^2=(x+1{)}^2\left(1+\frac{8}{x^2}\right),0<x<\infty$$

Både ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$ och ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=\infty$, så minimum antas i en inre punkt. $f$ är deriverbar för $x>0$:

$$f^{\prime }(x)=2(x+1)\left(1+\frac{8}{x^2}\right)+(x+1{)}^2\left(-\frac{16}{x^3}\right)=2(x+1)\left(1+\frac{8}{x^2}-\frac{8(x+1)}{x^3}\right)=2(x+1)\left(1-\frac{8}{x^3}\right)$$

För $x>0$ är $x+1>0$, så $f^{\prime }(x)=0$ precis då $x^3=8$, dvs. $x=2$ (och $f^{\prime }<0$ för $0<x<2$, $f^{\prime }>0$ för $x>2$). Minimum:

$$f(2)=3^2\left(1+\frac{8}{4}\right)=27⟹\boxed{l_{\min }=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx 5,2\text{ m}}$$

Stegens fot står då 2 m från muren och stegen når husväggen på höjden $y=\frac{2\sqrt{2}}{2}\cdot 3=3\sqrt{2}$ m.

Alternativt kan man minimera $g(\theta )=\frac{2\sqrt{2}}{\sin \theta }+\frac{1}{\cos \theta }$, $0<\theta <\frac{\pi }{2}$; $g^{\prime }(\theta )=0$ ger ${\tan }^3\theta =(\sqrt{2}{)}^3$, alltså $\tan \theta =\sqrt{2}$ och samma svar $2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• M0065M
• Matematisk induktion
• Talföljder och summor
• Gränsvärden
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Polynom och faktorisering
• Implicit derivering
• Derivata
• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter
• Andraderivata och konvexitet