Talföljder och summor

Kurs: M0065M

---

En talföljd är en lista av tal där varje tal har ett nummer, och en summa lägger ihop ett avsnitt av listan. Summatecknet $\Sigma$ gör långa summor hanterbara, och för två typer av talföljder, de aritmetiska och de geometriska, finns slutna formler. De formlerna används senare för serier och för Riemannsummor.

Idén

Tänk på talföljden som en funktion som bara är definierad i heltalen: $a_n=f(n)$. Då kan vi fråga samma saker som för funktioner, till exempel vad som händer när $n\to \infty$.

---

1. Talföljd

En talföljd är en funktion $\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, skriven $a_1,a_2,a_3,\dots$ eller kort $(a_n{)}_1^{\infty }$.

Talföljden kan ges på två sätt:

• Explicit, med en formel för $a_n$: $a_n=(-1{)}^n{2}^n$ ger $-2,4,-8,16,\dots$
• Rekursivt, där varje tal räknas ut från de föregående: $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ med $a_1=a_2=1$ ger Fibonaccis talföljd $1,1,2,3,5,8,\dots$

Gränsvärde. Talföljden har gränsvärdet $a$ om det till varje $\epsilon >0$ finns ett tal $N_{\epsilon }$ sådant att

$$n>N_{\epsilon }\Rightarrow |a_n-a|<\epsilon .$$

Vi skriver ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$. Finns gränsvärdet är talföljden konvergent, annars divergent. Till exempel är $((-1{)}^n/n)$ konvergent med gränsvärdet $0$, medan $(2n+1)$ är divergent.

---

2. Summanotation

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+\cdots +a_n$$

Allmänt är ${\sum }_{k=m}^n{a}_k=a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n$ för $m\le n$. Summan har $n-m+1$ termer, och summationsindex $k$ är en “dummy”: vilken bokstav vi använder spelar ingen roll.

Räkneregler. Summor kan delas upp och konstanter brytas ut:

$$\sum _{k=m}^n(a_k+b_k)=\sum _{k=m}^n{a}_k+\sum _{k=m}^n{b}_k,\sum _{k=m}^{n}c{a}_k=c\sum _{k=m}^n{a}_k.$$

Indexbyte. Sätter vi $j=k+1$ flyttas både termen och gränserna:

$$\sum _{k=0}^{5}3\cdot 2^k=\sum _{j=1}^{6}3\cdot 2^{j-1}.$$

Båda gränserna ska räknas om, och termen ska uttryckas i det nya indexet.

---

3. Standardsummor

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Den första är ett specialfall av den aritmetiska summan. I en aritmetisk talföljd är differensen mellan två på varandra följande tal konstant, och summan av $n$ termer är antalet termer gånger medelvärdet av första och sista termen:

$$a_1+a_2+\cdots +a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.$$

Härledning — Gauss trick för $\sum k$

Skriv summan framlänges och baklänges och addera:

$$\begin{array}{rl}{s}_n& =1+2+\cdots +n\\ s_n& =n+(n-1)+\cdots +1\\ 2s_n& =(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)=n(n+1)\end{array}$$

Alltså är $s_n=n(n+1)/2$. Samma resonemang fungerar för varje aritmetisk summa, eftersom första plus sista, andra plus näst sista och så vidare alltid ger samma tal $a_1+a_n$.

Formeln för $\sum k^2$ visas lättast med Matematisk induktion.

---

4. Geometrisk talföljd och summa

En talföljd är geometrisk om kvoten mellan ett tal och det närmast föregående är konstant, $a_{k+1}/a_k=r$. Då är $a_k=a_1{r}^{k-1}$.

$$\boxed{\sum _{k=0}^n{r}^k=\frac{1-r^{n+1}}{1-r},r\ne 1}$$

Multiplicerar vi med $a_1$ och byter index får vi summan av de $n$ första termerna i en geometrisk talföljd:

$$\sum _{k=1}^n{a}_1{r}^{k-1}=a_1\frac{1-r^n}{1-r}.$$

Lättast att komma ihåg i ord: första termen gånger $(1-r^{\text{antal termer}})/(1-r)$.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =1$: varje term fyller hälften av det som återstår av enhetskvadraten.

Härledning — multiplicera med $r$ och subtrahera

Sätt $s=1+r+r^2+\cdots +r^n$. Då är

$$rs=r+r^2+\cdots +r^n+r^{n+1}.$$

Alla termer utom två tar ut varandra i differensen:

$$s-rs=1-r^{n+1}⟹s=\frac{1-r^{n+1}}{1-r},r\ne 1.$$

För $r=1$ är alla termer $1$ och summan blir helt enkelt $n+1$.

För $|r|<1$ går $r^{n+1}\to 0$ när $n\to \infty$, och vi får

$$\sum _{k=0}^{\infty }{r}^k=\frac{1}{1-r}.$$

Till exempel är $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-1/2}=1$.

Exempel — Summa med negativ kvot (föreläsning 29)

Vi beräknar

$$\sum _{k=0}^{10}(-2{)}^{-k}.$$

Lösning

Kvoten. $(-2{)}^{-k}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^k$, så summan är geometrisk med $r=-\frac{1}{2}$ och $11$ termer ($k=0,\dots ,10$).

Formeln.

$$\sum _{k=0}^{10}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{11}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1+2^{-11}}{3/2}=\frac{2+2^{-10}}{3}=\frac{2049}{3\cdot 1024}=\boxed{\frac{683}{1024}}\approx 0,667$$

Rimlighetskoll. Den oändliga summan är $1/(1+\frac{1}{2})=\frac{2}{3}$, och vi har tagit med många termer.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Vanliga fel

• Fel antal termer. ${\sum }_{k=0}^n$ har $n+1$ termer, inte $n$. Det är exponenten i $r^{\text{antal termer}}$ som blir fel.
• Indexbyte bara i gränserna. Byter vi $k$ mot $j-1$ måste termen också skrivas om, annars förskjuts hela summan.
• Formeln för $r=1$. Då blir nämnaren noll; summan är i stället antalet termer gånger $a_1$.
• Oändlig summa utan $|r|<1$. Formeln $1/(1-r)$ gäller bara för $|r|<1$. För $r=2$ ger den $-1$, men summan är divergent.

---

5. Lösta övningar

Testuppgift 2.4 — Vilket nummer har talet?

Talföljden $2,6,18,\dots$ är geometrisk. Vi vill veta vilken ordning talet $486$ har i talföljden.

Lösning

Kvot. $r=6/2=3$, så $a_n=2\cdot 3^{n-1}$.

Ekvation. $2\cdot 3^{n-1}=486⟺3^{n-1}=243=3^5⟺n-1=5$.

$$\boxed{n=6}$$

Facit: Nummer 6 $[2\cdot 3^{n-1}=486]$.

Testuppgift 2.7 — Fyra geometriska summor

Vi beräknar

$$\text{a) }\sum _{k=1}^{4}3\cdot 2^k\text{b) }\sum _{k=1}^{n}3\cdot 2^k\text{c) }\sum _{k=0}^{4}3\cdot 2^k\text{d) }\sum _{k=0}^{n}3\cdot 2^k$$

Lösning

Alla fyra har kvoten $r=2$. Vi använder första termen gånger $(r^{\text{antal termer}}-1)/(r-1)$.

a) Första termen $6$, fyra termer: $6\cdot \frac{2^4-1}{2-1}=\boxed{90}$.

b) Första termen $6$, $n$ termer: $6\cdot \frac{2^n-1}{2-1}=\boxed{6(2^n-1)}$.

c) Första termen $3$, fem termer: $3\cdot \frac{2^5-1}{2-1}=\boxed{93}$.

d) Första termen $3$, $n+1$ termer: $\boxed{3(2^{n+1}-1)}=6\cdot 2^n-3$.

Rimlighetskoll. c) är a) plus termen för $k=0$: $90+3=93$.

Facit: a) 90 b) $6(2^n-1)$ c) 93 d) $3(2^{n+1}-1)=6\cdot 2^n-3$.

Övningsuppgift 2.6 — Summa med negativ kvot

Talföljden $3,-2,\frac{4}{3},\dots$ är geometrisk. Vi beräknar summan av a) de fem första termerna, b) de $n$ första termerna.

Lösning

Kvot. $r=-2/3$ och $a_1=3$. Nämnaren blir $1-r=5/3$.

b) (först, eftersom a) är ett specialfall)

$$s_n=3\cdot \frac{1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}{5/3}=\boxed{\frac{9}{5}\left(1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right)}$$

a) Med $n=5$:

$$s_5=\frac{9}{5}\left(1+\frac{32}{243}\right)=\frac{9}{5}\cdot \frac{275}{243}=\boxed{\frac{55}{27}}$$

Facit: a) $\frac{55}{27}$ b) $\frac{9}{5}(1-(-\frac{2}{3}{)}^n)$.

Övningsuppgift 2.8 — Bestäm en term ur summan

En geometrisk talföljd har kvoten $-\frac{1}{2}$. Summan av de fem första termerna är $\frac{33}{8}$. Vi bestämmer det andra talet i talföljden.

Lösning

Summaformeln.

$$s_5=a_1\cdot \frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5}{1+\frac{1}{2}}=a_1\cdot \frac{33/32}{3/2}=\frac{11}{16}{a}_1.$$

Första termen. $\frac{11}{16}{a}_1=\frac{33}{8}⟺a_1=6$.

Andra termen. $a_2=a_{1}r=6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\boxed{-3}$.

Facit: $-3$ $[a_1=6]$.

Läsning

• 5.1 Sums and Sigma Notation
• 9.1 Sequences and Convergence

Se även

• Matematisk induktion
• Bestämd integral och Riemannsummor