M0047M-2020-12-21

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: 2020-12-21 Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_201221.pdf, m0047m_201221sols.pdf) M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.

Översikt

• Uppgift 1: induktionsbevis för produkten ${\prod }_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$ och den oändliga produkten
• Uppgift 2: tre gränsvärden, $\frac{1-\cos h}{h^2}$, en kvot av exponentialfunktioner och en andra differenskvot för $x^4$
• Uppgift 3: kurvorna $y=\frac{8}{7+2x^2}$ och $y=2x^2$ skär varandra under räta vinklar
• Uppgift 4: högre derivator via implicit derivering av $(y^{\prime }{)}^2=1-y^2$ och taylorpolynomet $P_4$
• Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter för $x^3{e}^{-x}$
• Uppgift 6: relaterade hastigheter, kolvens läge och hastighet i en kolvmotor

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. En teleskoperande produkt

(a) Bevisa, exempelvis med induktion, att det för alla heltal $n\ge 2$ gäller att produkten

$$\prod _{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{15}{16}\cdot \dots \cdot \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}.$$

(4p)

(b) Beräkna den oändliga produkten

$$\prod _{k=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{k^2}\right).$$

(1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ett bevis med induktion, och sedan ett gränsvärde då $n\to \infty$ (Talföljder och summor).

Ledtråd 2

Basfallet är $n=2$. Anta att formeln gäller för $n=p$ och multiplicera båda leden med den nya faktorn $1-\frac{1}{(p+1{)}^2}$.

Ledtråd 3

$1-\frac{1}{(p+1{)}^2}=\frac{(p+1{)}^2-1}{(p+1{)}^2}=\frac{p(p+2)}{(p+1{)}^2}$ (konjugatregeln).

Lösning

(a) Basfall. För $n=2$ är

$$VL=1-\frac{1}{2^2}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2\cdot 2}=HL$$

Induktionssteg. Anta att formeln gäller för något heltal $n=p\ge 2$, dvs.

$$\prod _{k=2}^p\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{p+1}{2p}\text{(induktionsantagandet)}$$

Då är

$$\begin{array}{rl}\prod _{k=2}^{p+1}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)& =\left(\prod _{k=2}^p\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\right)\cdot \left(1-\frac{1}{(p+1{)}^2}\right)=\frac{p+1}{2p}\cdot \frac{(p+1{)}^2-1}{(p+1{)}^2}\\ & =\frac{p+1}{2p}\cdot \frac{p(p+2)}{(p+1{)}^2}=\frac{p+2}{2(p+1)}=\frac{(p+1)+1}{2(p+1)}\end{array}$$

vilket är formeln för $n=p+1$. Enligt induktionsprincipen gäller

$$\boxed{\prod _{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}\text{ fo¨r alla heltal }n\ge 2}$$

Alternativt bevis utan induktion. $1-\frac{1}{k^2}=\frac{k-1}{k}\cdot \frac{k+1}{k}$, så produkten teleskoperar:

$$\prod _{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \dots \cdot \frac{n-1}{n}\right)\cdot \left(\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \dots \cdot \frac{n+1}{n}\right)=\frac{1}{n}\cdot \frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}$$

(b) Den oändliga produkten är gränsvärdet av delprodukterna:

$$\prod _{k=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

2. Tre gränsvärden

Avgör och motivera huruvida följande gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l’Hôpitals regler):

(a)

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-\cos h}{h^2}.$$

(2p)

(b)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2^{3x+2}+e^{2x+1}-9^{x-2}}{3^{2x-3}-7^{x+3}}.$$

(2p)

(c)

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{(x+h{)}^4-x^4}{h}-\frac{x^4-(x-h{)}^4}{h}}{h}.$$

(2p)

Totalpoäng: 6

Ledtråd 1

Gränsvärden med standardgränsvärden: $\frac{\sin h}{h}\to 1$ i (a), dominerande term i (b) och binomialsatsen i (c).

Ledtråd 2

(a) Förläng med $1+\cos h$. (b) Skriv alla potenser på formen $a^x$ och dela täljare och nämnare med den snabbast växande, $9^x$. (c) Sätt allt på ett bråkstreck, $\frac{(x+h{)}^4-2x^4+(x-h{)}^4}{h^2}$.

Ledtråd 3

(a) $\frac{1-{\cos }^{2}h}{h^2(1+\cos h)}={\left(\frac{\sin h}{h}\right)}^2\frac{1}{1+\cos h}$. (b) $e^2<9$, så ${\left(\frac{e^2}{9}\right)}^x\to 0$. (c) Termerna med udda potenser av $h$ tar ut varandra.

Lösning

(a) Förläng med $1+\cos h$:

$$\frac{1-\cos h}{h^2}=\frac{1-{\cos }^{2}h}{h^2(1+\cos h)}={\left(\frac{\sin h}{h}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos h}\to 1^2\cdot \frac{1}{1+1}$$

då $h\to 0$, så

$$\boxed{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-\cos h}{h^2}=\frac{1}{2}}$$

(b) Skriv om varje term som konstant gånger $a^x$:

$$\frac{2^{3x+2}+e^{2x+1}-9^{x-2}}{3^{2x-3}-7^{x+3}}=\frac{4\cdot 8^x+e\cdot {\left(e^2\right)}^x-\frac{1}{81}\cdot 9^x}{\frac{1}{27}\cdot 9^x-343\cdot 7^x}$$

Dela täljare och nämnare med $9^x$:

$$=\frac{4{\left(\frac{8}{9}\right)}^x+e{\left(\frac{e^2}{9}\right)}^x-\frac{1}{81}}{\frac{1}{27}-343{\left(\frac{7}{9}\right)}^x}$$

Eftersom $e^2<3^2=9$ ligger alla baserna $\frac{8}{9}$, $\frac{e^2}{9}$ och $\frac{7}{9}$ i $(0,1)$, och $a^x\to 0$ då $x\to \infty$ för $0<a<1$. Alltså

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2^{3x+2}+e^{2x+1}-9^{x-2}}{3^{2x-3}-7^{x+3}}=\frac{-\frac{1}{81}}{\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}}$$

(c) Sätt på gemensamt bråkstreck och utveckla med binomialsatsen:

$$\begin{array}{rl}\frac{(x+h{)}^4-2x^4+(x-h{)}^4}{h^2}& =\frac{\left(x^4+4x^{3}h+6x^2{h}^2+4x{h}^3+h^4\right)-2x^4+\left(x^4-4x^{3}h+6x^2{h}^2-4x{h}^3+h^4\right)}{h^2}\\ & =\frac{12x^2{h}^2+2h^4}{h^2}=12x^2+2h^2\end{array}$$

så

$$\boxed{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{(x+h{)}^4-x^4}{h}-\frac{x^4-(x-h{)}^4}{h}}{h}=12x^2}$$

Anmärkning: uttrycket är en differenskvot av differenskvoter för $f(x)=x^4$, och gränsvärdet är $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$.

Kontrollerat mot facit.

---

3. Två kurvor som skär varandra vinkelrätt

Visa att kurvorna

$$y=\frac{8}{7+2x^2}$$

och

$$y=2x^2$$

skär varandra under räta vinklar. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Skärningspunkter och tangentlutningar. Två linjer är vinkelräta om produkten av deras riktningskoefficienter är $-1$.

Ledtråd 2

Bestäm först skärningspunkterna $(a,b)$ ur $2a^2=\frac{8}{7+2a^2}$, derivera sedan båda kurvorna och visa att $k_1{k}_2=-1$ där.

Ledtråd 3

Med $t=a^2$ blir villkoret $4t^2+14t-8=0$, så $t=\frac{1}{2}$. Lutningarna är $4a$ och $-\frac{32a}{(7+2a^2{)}^2}$.

Lösning

Skärningspunkter. I en skärningspunkt $(a,b)$ är

$$2a^2=\frac{8}{7+2a^2}⟺2a^2\left(7+2a^2\right)=8⟺4a^4+14a^2-8=0$$

Med $t=a^2$: $t^2+\frac{7}{2}t-2=0$, så

$$t=-\frac{7}{4}\pm \sqrt{\frac{49}{16}+2}=-\frac{7}{4}\pm \frac{9}{4}⟺t=\frac{1}{2}\text{ eller }t=-4$$

Eftersom $t=a^2\ge 0$ är bara $a^2=\frac{1}{2}$ möjligt, och då är $b=2a^2=1$. Kurvorna skär alltså varandra i

$$(a,b)=\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},1\right)$$

Lutningar. Derivatorna är

$$\frac{d}{dx}\left(2x^2\right)=4x,\frac{d}{dx}\left(\frac{8}{7+2x^2}\right)=-\frac{8\cdot 4x}{{\left(7+2x^2\right)}^2}=-\frac{32x}{{\left(7+2x^2\right)}^2}$$

så tangenternas riktningskoefficienter i skärningspunkterna är $k_1=4a$ och $k_2=-\frac{32a}{{\left(7+2a^2\right)}^2}$. Med $a^2=\frac{1}{2}$:

$$k_1{k}_2=-\frac{128a^2}{{\left(7+2a^2\right)}^2}=-\frac{64}{(7+1{)}^2}=-1$$ $$\boxed{k_1{k}_2=-1\text{ i ba˚da ska¨rningspunkterna }\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},1\right)\text{, sa˚ kurvorna ska¨r varandra under ra¨ta vinklar}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

4. Taylorpolynom ur en differentialekvation

Antag att $y=y(x)$ är en implicit definierad icke-konstant funktion som uppfyller den ickelinjära differentialekvationen

$${\left(y^{\prime }\right)}^2=1-y^2.$$

(a) Finn $y^{\prime \prime }$, $y^{\prime \prime \prime }$ och $y^{(4)}$ uttryckta i $y$ och $y^{\prime }$. (2p)

(b) Finn taylorpolynomet $P_4(x)$ av ordning 4 till $y$ kring 0 om vi vet att $y(0)=1$. Ledning: vad måste då $y^{\prime }(0)$, $y^{\prime \prime }(0)$, osv. vara? (2p)

Totalpoäng: 4

Ledtråd 1

Implicit derivering med kedjeregeln och sedan taylorpolynom.

Ledtråd 2

Derivera båda leden med avseende på $x$; kom ihåg att $\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=2y{y}^{\prime }$. Sätt sedan in $x=0$ i differentialekvationen och i derivatorna.

Ledtråd 3

$2y^{\prime }{y}^{\prime \prime }=-2y{y}^{\prime }$ ger $y^{\prime \prime }=-y$. Differentialekvationen i $x=0$ ger $y^{\prime }(0{)}^2=1-1=0$.

Lösning

(a) Derivera båda leden med avseende på $x$:

$$2y^{\prime }{y}^{\prime \prime }=-2y{y}^{\prime }$$

Eftersom $y$ inte är konstant är $y^{\prime }$ inte identiskt noll, och division med $2y^{\prime }$ ger

$$y^{\prime \prime }=-y$$

Fortsatt derivering ger

$$y^{\prime \prime \prime }=\frac{d}{dx}(-y)=-y^{\prime },y^{(4)}=\frac{d}{dx}\left(-y^{\prime }\right)=-y^{\prime \prime }=y$$ $$\boxed{y^{\prime \prime }=-y,y^{\prime \prime \prime }=-y^{\prime },y^{(4)}=y}$$

(b) Differentialekvationen i $x=0$ ger ${\left(y^{\prime }(0)\right)}^2=1-y(0{)}^2=1-1=0$, så $y^{\prime }(0)=0$. Från (a):

$$y^{\prime \prime }(0)=-y(0)=-1,y^{\prime \prime \prime }(0)=-y^{\prime }(0)=0,y^{(4)}(0)=y(0)=1$$

Taylorpolynomet blir

$$P_4(x)=y(0)+y^{\prime }(0)x+\frac{y^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{y^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+\frac{y^{(4)}(0)}{4!}{x}^4$$ $$\boxed{P_4(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}}$$

Anmärkning: lösningen är $y=\cos x$, eftersom ${\left(-\sin x\right)}^2=1-{\cos }^{2}x$ och $\cos 0=1$. Polynomet är just taylorpolynomet för $\cos x$.

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvan $x^3{e}^{-x}$

Definiera funktionen

$$y=f(x)=x^3{e}^{-x}.$$

(a) Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Skissera kurvan. (4p)

(b) (M0047M): Beskriv med kod/kommandon hur grafen till denna funktion skulle kunna plottas i MATLAB på ett sådant sätt att de intressanta delarna av grafen framträder. (1p)

(b) (M0029M): Ange i vilka intervall funktionen är växande/avtagande respektive konvex/konkav. (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvundersökning: gränsvärden då $x\to \pm \infty$, teckenschema för derivatan och andraderivatan för inflexionspunkter.

Ledtråd 2

Använd att $\frac{x^3}{e^x}\to 0$ då $x\to \infty$ (standardgränsvärde). Undersök $\frac{f(x)}{x}$ då $x\to -\infty$ för en eventuell sned asymptot. Derivera med produktregeln och faktorisera.

Ledtråd 3

$f^{\prime }(x)=x^2(3-x)e^{-x}$ och $f^{\prime \prime }(x)=x\left(x^2-6x+6\right)e^{-x}$.

Lösning

(a) $f$ är definierad och kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter. Eftersom $e^{-x}>0$ har $f(x)$ samma tecken som $x^3$.

Asymptoter. Då $x\to \infty$ domineras potensfunktionen av exponentialfunktionen:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3{e}^{-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3}{e^x}=0$$

så $y=0$ är vågrät asymptot åt höger. Då $x\to -\infty$ går $x^3\to -\infty$ och $e^{-x}\to \infty$, så $f(x)\to -\infty$. Vidare är

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=\infty$$

så det finns ingen sned asymptot åt vänster.

$$\boxed{\text{enda asymptoten a¨r }y=0\text{ da˚ }x\to \infty }$$

Derivata.

$$f^{\prime }(x)=3x^2{e}^{-x}-x^3{e}^{-x}=x^2(3-x)e^{-x}$$

Kritiska punkter: $x=0$ och $x=3$.

	$x<0$	$0$	$0<x<3$	$3$	$x>3$
$x^2$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$
$3-x$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$e^{-x}$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\nearrow$	terrass	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$

$$\boxed{\text{terrasspunkt }(0,0),\text{lok. max }f(3)=\frac{27}{e^3}\approx 1,34}$$

Maximet är också globalt. Något minimum finns inte, eftersom $f(x)\to -\infty$ då $x\to -\infty$.

Andraderivata.

$$f^{\prime \prime }(x)=\left(6x-3x^2\right)e^{-x}-\left(3x^2-x^3\right)e^{-x}=x\left(x^2-6x+6\right)e^{-x}=x\left(x-\left(3-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(3+\sqrt{3}\right)\right)e^{-x}$$

Nollställen: $x=0$ och $x=3\pm \sqrt{3}$ (ungefär $1,27$ och $4,73$).

	$x<0$	$0$	$0<x<3-\sqrt{3}$	$3-\sqrt{3}$	$3-\sqrt{3}<x<3+\sqrt{3}$	$3+\sqrt{3}$	$x>3+\sqrt{3}$
$x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-\left(3-\sqrt{3}\right)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-\left(3+\sqrt{3}\right)$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$e^{-x}$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime \prime }(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	konkav	infl.	konvex	infl.	konkav	infl.	konvex

$f^{\prime \prime }$ byter tecken i alla tre punkterna:

$$\boxed{\text{inflexionspunkter i }x=0,x=3-\sqrt{3},x=3+\sqrt{3}}$$

med $f(0)=0$, $f\left(3-\sqrt{3}\right)={\left(3-\sqrt{3}\right)}^3{e}^{\sqrt{3}-3}\approx 0,57$ och $f\left(3+\sqrt{3}\right)={\left(3+\sqrt{3}\right)}^3{e}^{-3-\sqrt{3}}\approx 0,93$.

Skiss. Kurvan kommer från $-\infty$ nere till vänster, växer och planar ut i terrasspunkten $(0,0)$ (som också är en inflexionspunkt), växer vidare till maximipunkten $\left(3,\frac{27}{e^3}\right)$ och avtar sedan mot asymptoten $y=0$ ovanifrån, med inflexionspunkter vid $x\approx 1,27$ och $x\approx 4,73$.

(b) (M0047M) Välj ett intervall som innehåller alla intressanta punkter, t.ex. $[-1,10]$, och använd punktvisa operationer:

x = -1:0.05:10;          % intervallet med de intressanta punkterna
y = x.^3.*exp(-x);       % OBS! punktvis potens och produkt
plot(x, y)

eller

f = @(x) x.^3.*exp(-x);
fplot(f, [-1, 10])       % bara fplot(f) ger ett ointressant intervall

(b) (M0029M) Ur teckenschemana:

$$\boxed{\text{va¨xande pa˚ }(-\infty ,3],\text{avtagande pa˚ }[3,\infty )}$$ $$\boxed{\text{konvex pa˚ }\left[0,3-\sqrt{3}\right]\text{ och }\left[3+\sqrt{3},\infty \right),\text{konkav pa˚ }(-\infty ,0]\text{ och }\left[3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}\right]}$$

Kontrollerat mot facit.

---

6. Kolven i Ronalds motor

Chefsingenjör Ronald har konstruerat en ny kolvmotor, se nedanstående figur.

(Figuren i originalet visar ett svänghjul med radien $r$ och centrum i vevaxeln. Vevstaken med längden $d$ går från en punkt på hjulets rand till kolven, som rör sig fram och tillbaka längs en vågrät linje genom hjulets centrum. $\theta$ är vinkeln mellan radien till vevstakens fästpunkt och den vågräta linjen, och $x$ är avståndet från hjulets centrum till kolven.)

Antag att vevaxeln roterar moturs med en hastighet av 6500 rpm (6500 varv per minut). På vevaxeln sitter ett svänghjul med radie $r=3$ cm i vilket en vevstake med längd $d=7$ cm är fäst. I andra änden av vevstaken är en rörlig kolv fäst. När vinkeln $\theta$ ändras kommer då kolven att utföra horisontell rörelse $x$.

(a) Vad är avståndet $x$ vid tillfället när vinkeln $\theta =\frac{\pi }{3}$? (2p)

(b) Hjälp Ronald att beräkna kolvens hastighet när vinkeln $\theta =\frac{\pi }{3}$. (3p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Relaterade hastigheter: Implicit derivering av ett geometriskt samband med avseende på tiden, med cosinussatsen.

Ledtråd 2

Triangeln har sidorna $r$, $d$ och $x$, med vinkeln $\theta$ mellan $r$ och $x$. Cosinussatsen: $d^2=r^2+x^2-2rx\cos \theta$. Derivera med avseende på $t$; både $x$ och $\theta$ beror på tiden.

Ledtråd 3

(a) $x^2-3x-40=0$. (b) ${\theta }^{\prime }=6500\cdot \frac{2\pi }{60}=\frac{650\pi }{3}$ rad/s, och derivatan av sambandet är $2x{x}^{\prime }-6x^{\prime }\cos \theta +6x\sin \theta \cdot {\theta }^{\prime }=0$.

Lösning

(a) Cosinussatsen i triangeln med sidorna $r=3$, $x$ och $d=7$ ger

$$7^2=3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x\cos \theta ⟺x^2-6x\cos \theta -40=0$$

För $\theta =\frac{\pi }{3}$ är $\cos \theta =\frac{1}{2}$, så

$$x^2-3x-40=0⟺x=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}+40}=\frac{3}{2}\pm \frac{13}{2}⟺x=8\text{ eller }x=-5$$

Avståndet är positivt (det är alltid minst $d-r=4$ cm), så

$$\boxed{x=8\text{ cm}}$$

(b) Både $x=x(t)$ och $\theta =\theta (t)$ beror på tiden. Derivering av $x^2-6x\cos \theta -40=0$ med avseende på $t$ ger

$$2x{x}^{\prime }-6x^{\prime }\cos \theta +6x\sin \theta \cdot {\theta }^{\prime }=0⟺x^{\prime }=-\frac{6x\sin \theta \cdot {\theta }^{\prime }}{2x-6\cos \theta }$$

Vinkelhastigheten är

$${\theta }^{\prime }=6500\frac{\text{varv}}{\text{min}}\cdot \frac{1}{60}\frac{\text{min}}{\text{s}}\cdot 2\pi \frac{\text{rad}}{\text{varv}}=\frac{650\pi }{3}\text{ rad/s}$$

Med $x=8$ cm, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ och $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$:

$$x^{\prime }=-\frac{6\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{650\pi }{3}}{16-3}=-\frac{8\cdot 650\sqrt{3}\pi }{13}=-400\sqrt{3}\pi \text{ cm/s}$$ $$\boxed{x^{\prime }=-400\sqrt{3}\pi \text{ cm/s}=-4\sqrt{3}\pi \text{ m/s}\approx -21,8\text{ m/s}}$$

Kolven rör sig alltså åt vänster (mot hjulet) med farten $4\sqrt{3}\pi \approx 21,8$ m/s.

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• M0065M
• Matematisk induktion
• Talföljder och summor
• Gränsvärden
• Polynom och faktorisering
• Derivata
• Implicit derivering
• Taylors formel
• Trigonometri
• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter
• Andraderivata och konvexitet