---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2020-12-21
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2020-12-21
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2020-12-21
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_201221.pdf, m0047m_201221sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: induktionsbevis för produkten $\prod_{k=2}^{n}\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{n + 1}{2n}$ och den oändliga produkten
> - Uppgift 2: tre gränsvärden, $\dfrac{1 - \cos h}{h^2}$, en kvot av exponentialfunktioner och en andra differenskvot för $x^4$
> - Uppgift 3: kurvorna $y = \dfrac{8}{7 + 2x^2}$ och $y = 2x^2$ skär varandra under räta vinklar
> - Uppgift 4: högre derivator via implicit derivering av $(y')^2 = 1 - y^2$ och taylorpolynomet $P_4$
> - Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter för $x^3e^{-x}$
> - Uppgift 6: relaterade hastigheter, kolvens läge och hastighet i en kolvmotor

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. En teleskoperande produkt

(a) Bevisa, exempelvis med induktion, att det för alla heltal $n\ge 2$ gäller att produkten
$$
\prod_{k=2}^{n}\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) = \dfrac34\cdot\dfrac89\cdot\dfrac{15}{16}\cdot\ldots\cdot\left(1 - \dfrac{1}{n^2}\right) = \dfrac{n + 1}{2n}.
$$
*(4p)*

(b) Beräkna den oändliga produkten
$$
\prod_{k=2}^{\infty}\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right).
$$
*(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett bevis med [[Matematisk induktion|induktion]], och sedan ett [[Gränsvärden|gränsvärde]] då $n\to\infty$ ([[Talföljder och summor]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Basfallet är $n = 2$. Anta att formeln gäller för $n = p$ och multiplicera båda leden med den nya faktorn $1 - \dfrac{1}{(p + 1)^2}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $1 - \dfrac{1}{(p + 1)^2} = \dfrac{(p + 1)^2 - 1}{(p + 1)^2} = \dfrac{p(p + 2)}{(p + 1)^2}$ (konjugatregeln).

> [!note]- Lösning
> **(a)** **Basfall.** För $n = 2$ är
> $$
> VL = 1 - \dfrac{1}{2^2} = \dfrac34 = \dfrac{2 + 1}{2\cdot 2} = HL
> $$
>
> **Induktionssteg.** Anta att formeln gäller för något heltal $n = p\ge 2$, dvs.
> $$
> \prod_{k=2}^{p}\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) = \dfrac{p + 1}{2p} \quad\text{(induktionsantagandet)}
> $$
> Då är
> $$
> \begin{aligned}
> \prod_{k=2}^{p+1}\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) &= \left(\prod_{k=2}^{p}\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right)\right)\cdot\left(1 - \dfrac{1}{(p + 1)^2}\right) = \dfrac{p + 1}{2p}\cdot\dfrac{(p + 1)^2 - 1}{(p + 1)^2}\\
> &= \dfrac{p + 1}{2p}\cdot\dfrac{p(p + 2)}{(p + 1)^2} = \dfrac{p + 2}{2(p + 1)} = \dfrac{(p + 1) + 1}{2(p + 1)}
> \end{aligned}
> $$
> vilket är formeln för $n = p + 1$. Enligt induktionsprincipen gäller
> $$
> \boxed{\prod_{k=2}^{n}\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) = \dfrac{n + 1}{2n} \text{ för alla heltal } n\ge 2}
> $$
>
> **Alternativt bevis utan induktion.** $1 - \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{k - 1}{k}\cdot\dfrac{k + 1}{k}$, så produkten teleskoperar:
> $$
> \prod_{k=2}^{n}\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) = \left(\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\ldots\cdot\dfrac{n - 1}{n}\right)\cdot\left(\dfrac32\cdot\dfrac43\cdot\ldots\cdot\dfrac{n + 1}{n}\right) = \dfrac1n\cdot\dfrac{n + 1}{2} = \dfrac{n + 1}{2n}
> $$
>
> **(b)** Den oändliga produkten är gränsvärdet av delprodukterna:
> $$
> \prod_{k=2}^{\infty}\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) = \lim_{n\to\infty}\dfrac{n + 1}{2n} = \lim_{n\to\infty}\dfrac{1 + \frac1n}{2} = \boxed{\dfrac12}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Avgör och motivera huruvida följande gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{h\to 0}\dfrac{1 - \cos h}{h^2}.
$$
*(2p)*

(b)
$$
\lim_{x\to\infty}\dfrac{2^{3x+2} + e^{2x+1} - 9^{x-2}}{3^{2x-3} - 7^{x+3}}.
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{(x+h)^4 - x^4}{h} - \dfrac{x^4 - (x-h)^4}{h}}{h}.
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 6*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Gränsvärden]] med standardgränsvärden: $\dfrac{\sin h}{h}\to 1$ i (a), dominerande term i (b) och [[Polynom och faktorisering|binomialsatsen]] i (c).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Förläng med $1 + \cos h$. (b) Skriv alla potenser på formen $a^x$ och dela täljare och nämnare med den snabbast växande, $9^x$. (c) Sätt allt på ett bråkstreck, $\dfrac{(x + h)^4 - 2x^4 + (x - h)^4}{h^2}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $\dfrac{1 - \cos^2 h}{h^2(1 + \cos h)} = \left(\dfrac{\sin h}{h}\right)^2\dfrac{1}{1 + \cos h}$. (b) $e^2 < 9$, så $\left(\dfrac{e^2}{9}\right)^x\to 0$. (c) Termerna med udda potenser av $h$ tar ut varandra.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Förläng med $1 + \cos h$:
> $$
> \dfrac{1 - \cos h}{h^2} = \dfrac{1 - \cos^2 h}{h^2(1 + \cos h)} = \left(\dfrac{\sin h}{h}\right)^2\cdot\dfrac{1}{1 + \cos h}\to 1^2\cdot\dfrac{1}{1 + 1}
> $$
> då $h\to 0$, så
> $$
> \boxed{\lim_{h\to 0}\dfrac{1 - \cos h}{h^2} = \dfrac12}
> $$
>
> **(b)** Skriv om varje term som konstant gånger $a^x$:
> $$
> \dfrac{2^{3x+2} + e^{2x+1} - 9^{x-2}}{3^{2x-3} - 7^{x+3}} = \dfrac{4\cdot 8^x + e\cdot\left(e^2\right)^x - \dfrac{1}{81}\cdot 9^x}{\dfrac{1}{27}\cdot 9^x - 343\cdot 7^x}
> $$
> Dela täljare och nämnare med $9^x$:
> $$
> = \dfrac{4\left(\dfrac89\right)^x + e\left(\dfrac{e^2}{9}\right)^x - \dfrac{1}{81}}{\dfrac{1}{27} - 343\left(\dfrac79\right)^x}
> $$
> Eftersom $e^2 < 3^2 = 9$ ligger alla baserna $\dfrac89$, $\dfrac{e^2}{9}$ och $\dfrac79$ i $(0, 1)$, och $a^x\to 0$ då $x\to\infty$ för $0 < a < 1$. Alltså
> $$
> \boxed{\lim_{x\to\infty}\dfrac{2^{3x+2} + e^{2x+1} - 9^{x-2}}{3^{2x-3} - 7^{x+3}} = \dfrac{-\frac{1}{81}}{\frac{1}{27}} = -\dfrac13}
> $$
>
> **(c)** Sätt på gemensamt bråkstreck och utveckla med binomialsatsen:
> $$
> \begin{aligned}
> \dfrac{(x + h)^4 - 2x^4 + (x - h)^4}{h^2} &= \dfrac{\left(x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4\right) - 2x^4 + \left(x^4 - 4x^3h + 6x^2h^2 - 4xh^3 + h^4\right)}{h^2}\\
> &= \dfrac{12x^2h^2 + 2h^4}{h^2} = 12x^2 + 2h^2
> \end{aligned}
> $$
> så
> $$
> \boxed{\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{(x+h)^4 - x^4}{h} - \dfrac{x^4 - (x-h)^4}{h}}{h} = 12x^2}
> $$
> *Anmärkning:* uttrycket är en differenskvot av differenskvoter för $f(x) = x^4$, och gränsvärdet är $f''(x) = 12x^2$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Två kurvor som skär varandra vinkelrätt

Visa att kurvorna
$$
y = \dfrac{8}{7 + 2x^2}
$$
och
$$
y = 2x^2
$$
skär varandra under räta vinklar. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Skärningspunkter och [[Derivata|tangentlutningar]]. Två linjer är vinkelräta om produkten av deras riktningskoefficienter är $-1$.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Bestäm först skärningspunkterna $(a, b)$ ur $2a^2 = \dfrac{8}{7 + 2a^2}$, derivera sedan båda kurvorna och visa att $k_1k_2 = -1$ där.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Med $t = a^2$ blir villkoret $4t^2 + 14t - 8 = 0$, så $t = \dfrac12$. Lutningarna är $4a$ och $-\dfrac{32a}{(7 + 2a^2)^2}$.

> [!note]- Lösning
> **Skärningspunkter.** I en skärningspunkt $(a, b)$ är
> $$
> 2a^2 = \dfrac{8}{7 + 2a^2} \iff 2a^2\left(7 + 2a^2\right) = 8 \iff 4a^4 + 14a^2 - 8 = 0
> $$
> Med $t = a^2$: $t^2 + \dfrac72 t - 2 = 0$, så
> $$
> t = -\dfrac74\pm\sqrt{\dfrac{49}{16} + 2} = -\dfrac74\pm\dfrac94 \iff t = \dfrac12 \text{ eller } t = -4
> $$
> Eftersom $t = a^2\ge 0$ är bara $a^2 = \dfrac12$ möjligt, och då är $b = 2a^2 = 1$. Kurvorna skär alltså varandra i
> $$
> (a, b) = \left(\pm\dfrac{1}{\sqrt2}, 1\right)
> $$
>
> **Lutningar.** Derivatorna är
> $$
> \dfrac{d}{dx}\left(2x^2\right) = 4x, \qquad \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{8}{7 + 2x^2}\right) = -\dfrac{8\cdot 4x}{\left(7 + 2x^2\right)^2} = -\dfrac{32x}{\left(7 + 2x^2\right)^2}
> $$
> så tangenternas riktningskoefficienter i skärningspunkterna är $k_1 = 4a$ och $k_2 = -\dfrac{32a}{\left(7 + 2a^2\right)^2}$. Med $a^2 = \dfrac12$:
> $$
> k_1k_2 = -\dfrac{128a^2}{\left(7 + 2a^2\right)^2} = -\dfrac{64}{(7 + 1)^2} = -1
> $$
> $$
> \boxed{k_1k_2 = -1 \text{ i båda skärningspunkterna } \left(\pm\dfrac{1}{\sqrt2}, 1\right)\text{, så kurvorna skär varandra under räta vinklar}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Taylorpolynom ur en differentialekvation

Antag att $y = y(x)$ är en implicit definierad icke-konstant funktion som uppfyller den ickelinjära differentialekvationen
$$
\left(y'\right)^2 = 1 - y^2.
$$

(a) Finn $y''$, $y'''$ och $y^{(4)}$ uttryckta i $y$ och $y'$. *(2p)*

(b) Finn taylorpolynomet $P_4(x)$ av ordning 4 till $y$ kring 0 om vi vet att $y(0) = 1$. *Ledning: vad måste då $y'(0)$, $y''(0)$, osv. vara?* *(2p)*

*Totalpoäng: 4*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Implicit derivering]] med kedjeregeln och sedan [[Taylors formel|taylorpolynom]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Derivera båda leden med avseende på $x$; kom ihåg att $\dfrac{d}{dx}\left(y^2\right) = 2yy'$. Sätt sedan in $x = 0$ i differentialekvationen och i derivatorna.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $2y'y'' = -2yy'$ ger $y'' = -y$. Differentialekvationen i $x = 0$ ger $y'(0)^2 = 1 - 1 = 0$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Derivera båda leden med avseende på $x$:
> $$
> 2y'y'' = -2yy'
> $$
> Eftersom $y$ inte är konstant är $y'$ inte identiskt noll, och division med $2y'$ ger
> $$
> y'' = -y
> $$
> Fortsatt derivering ger
> $$
> y''' = \dfrac{d}{dx}(-y) = -y', \qquad y^{(4)} = \dfrac{d}{dx}\left(-y'\right) = -y'' = y
> $$
> $$
> \boxed{y'' = -y, \quad y''' = -y', \quad y^{(4)} = y}
> $$
>
> **(b)** Differentialekvationen i $x = 0$ ger $\left(y'(0)\right)^2 = 1 - y(0)^2 = 1 - 1 = 0$, så $y'(0) = 0$. Från (a):
> $$
> y''(0) = -y(0) = -1, \qquad y'''(0) = -y'(0) = 0, \qquad y^{(4)}(0) = y(0) = 1
> $$
> Taylorpolynomet blir
> $$
> P_4(x) = y(0) + y'(0)x + \dfrac{y''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{y'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{y^{(4)}(0)}{4!}x^4
> $$
> $$
> \boxed{P_4(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}}
> $$
> *Anmärkning:* lösningen är $y = \cos x$, eftersom $\left(-\sin x\right)^2 = 1 - \cos^2 x$ och $\cos 0 = 1$. Polynomet är just taylorpolynomet för $\cos x$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $x^3e^{-x}$

Definiera funktionen
$$
y = f(x) = x^3e^{-x}.
$$

(a) Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Skissera kurvan. *(4p)*

(b) (**M0047M**): Beskriv med kod/kommandon hur grafen till denna funktion skulle kunna plottas i MATLAB på ett sådant sätt att de intressanta delarna av grafen framträder. *(1p)*

(b) (**M0029M**): Ange i vilka intervall funktionen är växande/avtagande respektive konvex/konkav. *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: gränsvärden då $x\to\pm\infty$, [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivatan]] för inflexionspunkter.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Använd att $\dfrac{x^3}{e^x}\to 0$ då $x\to\infty$ (standardgränsvärde). Undersök $\dfrac{f(x)}{x}$ då $x\to -\infty$ för en eventuell sned asymptot. Derivera med produktregeln och faktorisera.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = x^2(3 - x)e^{-x}$ och $f''(x) = x\left(x^2 - 6x + 6\right)e^{-x}$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $f$ är definierad och kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter. Eftersom $e^{-x} > 0$ har $f(x)$ samma tecken som $x^3$.
>
> **Asymptoter.** Då $x\to\infty$ domineras potensfunktionen av exponentialfunktionen:
> $$
> \lim_{x\to\infty}x^3e^{-x} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{e^x} = 0
> $$
> så $y = 0$ är vågrät asymptot åt höger. Då $x\to -\infty$ går $x^3\to -\infty$ och $e^{-x}\to\infty$, så $f(x)\to -\infty$. Vidare är
> $$
> \lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to -\infty}x^2e^{-x} = \infty
> $$
> så det finns ingen sned asymptot åt vänster.
> $$
> \boxed{\text{enda asymptoten är } y = 0 \text{ då } x\to\infty}
> $$
>
> **Derivata.**
> $$
> f'(x) = 3x^2e^{-x} - x^3e^{-x} = x^2(3 - x)e^{-x}
> $$
> Kritiska punkter: $x = 0$ och $x = 3$.
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < 3$ | $3$ | $x > 3$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $x^2$ | $+$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $3 - x$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $e^{-x}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | terrass | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ |
>
> $$
> \boxed{\text{terrasspunkt } (0, 0), \quad \text{lok. max } f(3) = \dfrac{27}{e^3}\approx 1{,}34}
> $$
> Maximet är också globalt. Något minimum finns inte, eftersom $f(x)\to -\infty$ då $x\to -\infty$.
>
> **Andraderivata.**
> $$
> f''(x) = \left(6x - 3x^2\right)e^{-x} - \left(3x^2 - x^3\right)e^{-x} = x\left(x^2 - 6x + 6\right)e^{-x} = x\left(x - \left(3 - \sqrt3\right)\right)\left(x - \left(3 + \sqrt3\right)\right)e^{-x}
> $$
> Nollställen: $x = 0$ och $x = 3\pm\sqrt3$ (ungefär $1{,}27$ och $4{,}73$).
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < 3 - \sqrt3$ | $3 - \sqrt3$ | $3 - \sqrt3 < x < 3 + \sqrt3$ | $3 + \sqrt3$ | $x > 3 + \sqrt3$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - \left(3 - \sqrt3\right)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - \left(3 + \sqrt3\right)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $e^{-x}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | konkav | infl. | konvex | infl. | konkav | infl. | konvex |
>
> $f''$ byter tecken i alla tre punkterna:
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkter i } x = 0, \ x = 3 - \sqrt3, \ x = 3 + \sqrt3}
> $$
> med $f(0) = 0$, $f\left(3 - \sqrt3\right) = \left(3 - \sqrt3\right)^3e^{\sqrt3 - 3}\approx 0{,}57$ och $f\left(3 + \sqrt3\right) = \left(3 + \sqrt3\right)^3e^{-3 - \sqrt3}\approx 0{,}93$.
>
> **Skiss.** Kurvan kommer från $-\infty$ nere till vänster, växer och planar ut i terrasspunkten $(0, 0)$ (som också är en inflexionspunkt), växer vidare till maximipunkten $\left(3, \dfrac{27}{e^3}\right)$ och avtar sedan mot asymptoten $y = 0$ ovanifrån, med inflexionspunkter vid $x\approx 1{,}27$ och $x\approx 4{,}73$.
>
> **(b) (M0047M)** Välj ett intervall som innehåller alla intressanta punkter, t.ex. $[-1, 10]$, och använd punktvisa operationer:
> ```matlab
> x = -1:0.05:10;          % intervallet med de intressanta punkterna
> y = x.^3.*exp(-x);       % OBS! punktvis potens och produkt
> plot(x, y)
> ```
> eller
> ```matlab
> f = @(x) x.^3.*exp(-x);
> fplot(f, [-1, 10])       % bara fplot(f) ger ett ointressant intervall
> ```
>
> **(b) (M0029M)** Ur teckenschemana:
> $$
> \boxed{\text{växande på } (-\infty, 3], \quad \text{avtagande på } [3, \infty)}
> $$
> $$
> \boxed{\text{konvex på } \left[0, 3 - \sqrt3\right] \text{ och } \left[3 + \sqrt3, \infty\right), \quad \text{konkav på } (-\infty, 0] \text{ och } \left[3 - \sqrt3, 3 + \sqrt3\right]}
> $$
>
> ![[tenta201221-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Kolven i Ronalds motor

Chefsingenjör Ronald har konstruerat en ny kolvmotor, se nedanstående figur.

*(Figuren i originalet visar ett svänghjul med radien $r$ och centrum i vevaxeln. Vevstaken med längden $d$ går från en punkt på hjulets rand till kolven, som rör sig fram och tillbaka längs en vågrät linje genom hjulets centrum. $\theta$ är vinkeln mellan radien till vevstakens fästpunkt och den vågräta linjen, och $x$ är avståndet från hjulets centrum till kolven.)*

Antag att vevaxeln roterar moturs med en hastighet av 6500 rpm (6500 varv per minut). På vevaxeln sitter ett svänghjul med radie $r = 3$ cm i vilket en vevstake med längd $d = 7$ cm är fäst. I andra änden av vevstaken är en rörlig kolv fäst. När vinkeln $\theta$ ändras kommer då kolven att utföra horisontell rörelse $x$.

(a) Vad är avståndet $x$ vid tillfället när vinkeln $\theta = \frac{\pi}{3}$? *(2p)*

(b) Hjälp Ronald att beräkna kolvens hastighet när vinkeln $\theta = \frac{\pi}{3}$. *(3p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Relaterade hastigheter: [[Implicit derivering]] av ett geometriskt samband med avseende på tiden, med [[Trigonometri|cosinussatsen]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Triangeln har sidorna $r$, $d$ och $x$, med vinkeln $\theta$ mellan $r$ och $x$. Cosinussatsen: $d^2 = r^2 + x^2 - 2rx\cos\theta$. Derivera med avseende på $t$; både $x$ och $\theta$ beror på tiden.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $x^2 - 3x - 40 = 0$. (b) $\theta' = 6500\cdot\dfrac{2\pi}{60} = \dfrac{650\pi}{3}$ rad/s, och derivatan av sambandet är $2xx' - 6x'\cos\theta + 6x\sin\theta\cdot\theta' = 0$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Cosinussatsen i triangeln med sidorna $r = 3$, $x$ och $d = 7$ ger
> $$
> 7^2 = 3^2 + x^2 - 2\cdot 3\cdot x\cos\theta \iff x^2 - 6x\cos\theta - 40 = 0
> $$
> För $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ är $\cos\theta = \dfrac12$, så
> $$
> x^2 - 3x - 40 = 0 \iff x = \dfrac32\pm\sqrt{\dfrac94 + 40} = \dfrac32\pm\dfrac{13}{2} \iff x = 8 \text{ eller } x = -5
> $$
> Avståndet är positivt (det är alltid minst $d - r = 4$ cm), så
> $$
> \boxed{x = 8 \text{ cm}}
> $$
>
> **(b)** Både $x = x(t)$ och $\theta = \theta(t)$ beror på tiden. Derivering av $x^2 - 6x\cos\theta - 40 = 0$ med avseende på $t$ ger
> $$
> 2x\,x' - 6x'\cos\theta + 6x\sin\theta\cdot\theta' = 0 \iff x' = -\dfrac{6x\sin\theta\cdot\theta'}{2x - 6\cos\theta}
> $$
> Vinkelhastigheten är
> $$
> \theta' = 6500\ \dfrac{\text{varv}}{\text{min}}\cdot\dfrac{1}{60}\ \dfrac{\text{min}}{\text{s}}\cdot 2\pi\ \dfrac{\text{rad}}{\text{varv}} = \dfrac{650\pi}{3} \text{ rad/s}
> $$
> Med $x = 8$ cm, $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ och $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$:
> $$
> x' = -\dfrac{6\cdot 8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{650\pi}{3}}{16 - 3} = -\dfrac{8\cdot 650\sqrt3\,\pi}{13} = -400\sqrt3\,\pi \text{ cm/s}
> $$
> $$
> \boxed{x' = -400\sqrt3\,\pi \text{ cm/s} = -4\sqrt3\,\pi \text{ m/s}\approx -21{,}8 \text{ m/s}}
> $$
> Kolven rör sig alltså åt vänster (mot hjulet) med farten $4\sqrt3\,\pi\approx 21{,}8$ m/s.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Talföljder och summor]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Polynom och faktorisering]]
- [[Derivata]]
- [[Implicit derivering]]
- [[Taylors formel]]
- [[Trigonometri]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]