Trigonometri

Kurs: M0065M

---

Sinus och cosinus är koordinaterna för en punkt som rör sig runt enhetscirkeln. Nästan allt i trigonometrin — identiteter, exakta värden, additionsformler och triangelsatser — följer av den bilden tillsammans med Pythagoras sats.

---

1. Enhetscirkeln

På enhetscirkeln $x^2+y^2=1$ mäts vinkeln $t$ i radianer: en vinkel på $t$ radianer spänner upp en cirkelbåge med längden $t$. Ett helt varv är därför $2\pi$, cirkelns omkrets.

Vinkeln $\theta$ mäts från positiva $x$-axeln; punktens koordinater är $(\cos \theta ,\sin \theta )$.

Punkten $P$ på cirkeln som hör till vinkeln $t$ har koordinaterna

$$P=(\cos t,\sin t)$$

Cosinus är alltså $x$-koordinaten (abskissan) och sinus $y$-koordinaten (ordinatan). Eftersom $P$ ligger på enhetscirkeln följer direkt

$$\boxed{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$$

och att $-1\le \cos t\le 1$, $-1\le \sin t\le 1$.

Tangens är längden av tangentsträckan $QT$ vid $Q=(1,0)$ upp till linjen genom origo och $P$. Likformiga trianglar ger

$$\tan t=\frac{\tan t}{1}=\frac{\sin t}{\cos t},\cos t\ne 0$$

---

2. Periodicitet och symmetri

$$\sin (\theta +2\pi )=\sin \theta ,\cos (-\theta )=\cos \theta ,\sin (-\theta )=-\sin \theta$$

Ett helt varv för tillbaka punkten till samma ställe, så sinus och cosinus är $2\pi$-periodiska; även $\cos (\theta +2\pi )=\cos \theta$. Speglar vi $P$ i $x$-axeln byter $y$-koordinaten tecken men inte $x$-koordinaten: cosinus är en jämn och sinus en udda funktion.

Speglar vi i stället $P$ i linjen $y=x$ byter koordinaterna plats, och vinkeln blir $\frac{\pi }{2}-t$:

$$\cos t=\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right),\sin t=\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right)$$

Tangens har kortare period, $\tan (t+\pi )=\tan t$, eftersom både sinus och cosinus byter tecken när vi går ett halvt varv.

---

3. Exakta värden

$t$	$0$	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$
$\cos t$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$
$\sin t$	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$

Värdena i övriga kvadranter fås med symmetrierna i avsnitt 2: bestäm referensvinkeln i första kvadranten och sätt tecknet efter vilken kvadrant punkten ligger i.

Härledning av tabellen

$\pi /4$. Punkten ligger på linjen $y=x$, så $x=y$ och $x^2+y^2=1$ ger $2x^2=1$, alltså $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (positiva i första kvadranten). Därmed är $\tan \frac{\pi }{4}=1$.

$\pi /3$. Triangeln med hörn i origo, $(1,0)$ och $(\cos \frac{\pi }{3},\sin \frac{\pi }{3})$ har två sidor $1$ och mellanliggande vinkel $\frac{\pi }{3}$, så den är liksidig. Höjden delar basen mitt itu: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, och höjden är $\sqrt{1^2-(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$.

$\pi /6$. Komplementformlerna ger $\sin \frac{\pi }{6}=\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ och $\cos \frac{\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

---

4. Additionsformler

$$\boxed{\begin{array}{rl}\sin (\alpha +\beta )& =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha +\beta )& =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{array}}$$

Byter vi $\beta$ mot $-\beta$ och använder att cosinus är jämn och sinus udda får vi subtraktionsformlerna

$$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta ,\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$

För tangens ger division av sinus- med cosinusformeln

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$

Härledning — avståndet mellan två punkter på enhetscirkeln

Låt $P=(\cos s,\sin s)$ och $Q=(\cos t,\sin t)$. Vinkeln mellan dem är $s-t$. Vrider vi hela figuren så att $Q$ hamnar i $R=(1,0)$ hamnar $P$ i $M=(\cos (s-t),\sin (s-t))$, och avståndet är detsamma: $|PQ|=|MR|$.

$$|PQ{|}^2=(\cos s-\cos t{)}^2+(\sin s-\sin t{)}^2=2-2(\cos s\cos t+\sin s\sin t)$$ $$|MR{|}^2=(\cos (s-t)-1{)}^2+{\sin }^2(s-t)=2-2\cos (s-t)$$

(Båda gångerna har vi använt ${\sin }^2+{\cos }^2=1$.) Likhet ger $\cos (s-t)=\cos s\cos t+\sin s\sin t$.

• Byt $t$ mot $-t$: $\cos (s+t)=\cos s\cos t-\sin s\sin t$.
• Komplementformeln ger sinusformeln:

$$\sin (s+t)=\cos \left(\left(\frac{\pi }{2}-s\right)-t\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-s\right)\cos t+\sin \left(\frac{\pi }{2}-s\right)\sin t=\sin s\cos t+\cos s\sin t$$

• Tangens: dela täljare och nämnare i $\frac{\sin s\cos t+\cos s\sin t}{\cos s\cos t-\sin s\sin t}$ med $\cos s\cos t$.

---

5. Dubbla och halva vinkeln

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ,\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$$

Med ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ kan cosinusformeln skrivas på ytterligare två sätt:

$$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$$

Löser vi ut kvadraterna får vi formlerna för halva vinkeln, som används flitigt vid integration och gränsvärden:

$${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2},{\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$$

Härledning

Sätt $\alpha =\beta =\theta$ i additionsformlerna: $\sin 2\theta =\sin \theta \cos \theta +\cos \theta \sin \theta =2\sin \theta \cos \theta$ och $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$. Ersätt sedan ${\sin }^2\theta$ med $1-{\cos }^2\theta$, respektive ${\cos }^2\theta$ med $1-{\sin }^2\theta$.

Föreläsning 9, exempel 1 — exakt värde av $\cos \frac{\pi }{12}$

Vi beräknar $\cos \frac{\pi }{12}$ exakt, på två sätt.

Lösning

Alt 1, subtraktionsformeln. Eftersom $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{12}$ är

$$\cos \frac{\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}}$$

Alt 2, halva vinkeln.

$${\cos }^2\frac{\pi }{12}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\Rightarrow \cos \frac{\pi }{12}=\boxed{\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}$$

där vi tar den positiva roten eftersom $\frac{\pi }{12}$ ligger i första kvadranten.

Rimlighetskoll. Båda uttrycken är $\approx 0,9659$. De är samma tal: kvadrera det första, $\frac{2(4+2\sqrt{3})}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

6. Triangeltrigonometri

I en rätvinklig triangel med hypotenusa $c$ och vinkeln $A$ mitt emot kateten $a$ är

$$\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c},\tan A=\frac{a}{b}$$

vilket är enhetscirkelns definition uppskalad med faktorn $c$.

I en allmän triangel med sidorna $a,b,c$ mitt emot vinklarna $A,B,C$ (vinkelsumman är $\pi$) gäller

Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen

$$T=\frac{bc\sin A}{2},\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c},a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

Areasatsen och sinussatsen gäller för alla tre vinkelparen, cosinussatsen med bokstäverna permuterade.

Härledning

Dra höjden $h$ från $C$ ned mot sidan $c$, som delas i $c_1$ (vid $A$) och $c_2$ (vid $B$). Då är $h=b\sin A=a\sin B$ och $c_1=b\cos A$.

Areasatsen. $T=\frac{ch}{2}=\frac{cb\sin A}{2}=\frac{ca\sin B}{2}$, och på samma sätt med $C$.

Sinussatsen. Dela varje uttryck $\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ca\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}$ med $\frac{abc}{2}$.

Cosinussatsen. Pythagoras i triangeln vid $B$:

$$a^2=h^2+c_2^2=(b\sin A{)}^2+(c-b\cos A{)}^2=b^2({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)+c^2-2bc\cos A$$

Cosinussatsen generaliserar Pythagoras

För $A=\frac{\pi }{2}$ är $\cos A=0$ och formeln blir $a^2=b^2+c^2$. Termen $-2bc\cos A$ är korrektionen när vinkeln inte är rät.

Vanliga fel

• Grader i stället för radianer. I analysen är vinklar alltid i radianer; $\sin 30$ är inte $\frac{1}{2}$. Ställ räknaren i RAD.
• Linearisera. $\sin (\alpha +\beta )\ne \sin \alpha +\sin \beta$ och $\sin 2\theta \ne 2\sin \theta$ — använd additionsformlerna.
• Fel tecken utanför första kvadranten. $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, inte $\frac{1}{2}$. Rita punkten på enhetscirkeln.
• Tappa den andra lösningen i sinussatsen. $\sin B=k$ med $0<k<1$ ger två vinklar, $B$ och $\pi -B$; båda kan ge en triangel (se exemplet nedan). ${\sin }^{2}x$ betyder dessutom $(\sin x{)}^2$, inte $\sin (x^2)$.

---

7. Lösta övningar

Föreläsning 9, exempel 3 — triangelsolvering med två lösningar

I en triangel är $a=1$, $b=\sqrt{2}$ och $A=\frac{\pi }{6}$ ($30^{\circ }$). Vi bestämmer sidan $c$.

Lösning

Sinussatsen.

$$\sin B=\frac{b}{a}\sin A=\frac{\sqrt{2}}{1}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

ger två möjliga vinklar, $B_1=\frac{\pi }{4}$ och $B_2=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. Båda är tillåtna, eftersom $A+B<\pi$ i båda fallen.

Tredje vinkeln. $C_1=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{12}$ och $C_2=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{12}$.

Exakta sinusvärden. Additionsformlerna ger

$$\sin \frac{7\pi }{12}=\sin \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1),\sin \frac{\pi }{12}=\sin \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$$

Sinussatsen igen. $c=a\frac{\sin C}{\sin A}=2\sin C$, så

$$\boxed{c_1=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2}\approx 1,932}\text{eller}\boxed{c_2=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}\approx 0,518}$$

Rimlighetskoll. Cosinussatsen $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ är uppfylld för båda värdena.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 9, exempel 4 — arean av en triangel

En triangel har sidorna $a=7$, $b=15$ och $c=20$. Vi beräknar dess area.

Lösning

Triangeln är inte rätvinklig ($7^2+15^2\ne 20^2$), så vi behöver en vinkel.

Cosinussatsen för vinkeln $A$:

$$2\cdot 15\cdot 20\cos A=15^2+20^2-7^2=625-49=576\Rightarrow \cos A=\frac{576}{600}=\frac{24}{25}$$

Trigonometriska ettan. ${\sin }^{2}A=1-\frac{24^2}{25^2}=\frac{(25-24)(25+24)}{25^2}=\frac{49}{25^2}$, och $\sin A=\frac{7}{25}$ eftersom $0<A<\pi$.

Areasatsen.

$$T=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{15\cdot 20\cdot \frac{7}{25}}{2}=\boxed{42}$$

Rimlighetskoll. Herons formel, $T=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ med $p=21$, ger $\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot 1}=42$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 10, exempel 2 — en identitet för $\tan \frac{x}{2}$

Vi visar att

$$\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\tan \frac{x}{2}$$

för alla $x$ där uttrycken är definierade.

Lösning

Första likheten. Korsmultiplicera: likheten är ekvivalent med $(1-\cos x)(1+\cos x)={\sin }^{2}x$, alltså $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$, vilket är trigonometriska ettan.

Andra likheten. Sätt $\alpha =\frac{x}{2}$, så att $x=2\alpha$. Dubbla vinkeln ger $\sin x=2\sin \alpha \cos \alpha$ och $1+\cos x=1+(2{\cos }^2\alpha -1)=2{\cos }^2\alpha$. Därmed

$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{2{\cos }^2\alpha }=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\boxed{\tan \frac{x}{2}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 10, exempel 9 — $\sin v$ och $\cos v$ ur $\tan v$

Vi bestämmer $\sin v$ och $\cos v$ om $\tan v=2$.

Lösning

Dela trigonometriska ettan med ${\cos }^{2}v$.

$${\cos }^{2}v=\frac{{\cos }^{2}v}{{\sin }^{2}v+{\cos }^{2}v}=\frac{1}{{\tan }^{2}v+1}=\frac{1}{5},{\sin }^{2}v=\frac{{\tan }^{2}v}{{\tan }^{2}v+1}=\frac{4}{5}$$

Tecken. $\tan v>0$ betyder att $\sin v$ och $\cos v$ har samma tecken (första eller tredje kvadranten):

$$\boxed{\cos v=\frac{1}{\sqrt{5}},\sin v=\frac{2}{\sqrt{5}}}\text{eller}\boxed{\cos v=-\frac{1}{\sqrt{5}},\sin v=-\frac{2}{\sqrt{5}}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Läsning

• P.7 The Trigonometric Functions

Se även

• Trigonometriska ekvationer
• Arcusfunktioner
• Hyperboliska funktioner
• Polär form för komplexa tal
• Elementära funktioners derivator

Resurser

• 3Blue1Brown: Why is pi in the sine function