M0065M-2025-12-18

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: 2025-12-18 Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0065m_251218.pdf, m0065m_251218sols.pdf)

Översikt

• polynomekvation med gissad rot och rotekvation (1)
• logaritmekvation och trigonometrisk ekvation (2)
• tre gränsvärden utan l’Hôpital (3)
• tangent till en implicit given kurva (4)
• kurvundersökning av $((\ln x{)}^2-1)/x$ (5)
• oljefläckens tjocklek, sammanhängande förändringshastigheter (6)

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. Polynomekvation och rotekvation

För vilka $x\in \mathbb{R}$ är

(a) ekvationen

$$x^3+2x^2-2x-4=0$$

uppfylld? Ledning: gissa en rot på lämpligt sätt. (3p)

(b) ekvationen

$$\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-2}=1$$

uppfylld? (2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) är en tredjegradsekvation: hitta en rot och faktorisera. (b) är en rotekvation som löses genom kvadrering.

Ledtråd 2

(a) En heltalsrot måste dela konstanttermen $-4$: prova $\pm 1,\pm 2,\pm 4$. (b) Flytta över en rot, kvadrera, isolera den kvarvarande roten och kvadrera igen. Pröva alltid rötterna i den ursprungliga ekvationen.

Ledtråd 3

(a) $x=-2$ är en rot, så $x+2$ är en faktor. (b) Efter första kvadreringen får du $6-x=2\sqrt{3x-2}$, vilket kräver $x\le 6$.

Lösning

(a) Insättning av $x=-2$ ger $-8+8+4-4=0$, så $x+2$ är en faktor:

$$x^3+2x^2-2x-4=x^2(x+2)-2(x+2)=(x+2)(x^2-2)$$ $$\boxed{x=-2\text{eller}x=\pm \sqrt{2}}$$

(b) Villkor: $x\ge 2/3$. Skriv $\sqrt{2x+5}=1+\sqrt{3x-2}$ och kvadrera:

$$2x+5=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2⟺6-x=2\sqrt{3x-2}$$

Kvadrera igen:

$$36-12x+x^2=12x-8⟺x^2-24x+44=0⟺x=2\text{eller}x=22$$

Prövning: $x=2$ ger $\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$, som stämmer. $x=22$ ger $\sqrt{49}-\sqrt{64}=-1\ne 1$ och är en falsk rot (där är $6-x<0$).

$$\boxed{x=2}$$

Kontrollerat mot facit.

---

2. Logaritmekvation och trigonometrisk ekvation

Finn alla lösningar $x$ till ekvationerna

(a)

$$\frac{\lg (6x-5)}{\lg (2x-1)}=2$$

Anmärkning: $\lg t={\log }_{10}t={}^{10}\log t$ (2p)

(b)

$$\cos 3x=\sin 4x$$

(3p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) är en logaritmekvation, (b) en trigonometrisk ekvation.

Ledtråd 2

(a) Bestäm först definitionsmängden: båda argumenten positiva och nämnaren $\ne 0$. Använd sedan $2\lg a=\lg a^2$. (b) Skriv om sinus som cosinus med $\sin v=\cos \left(\frac{\pi }{2}-v\right)$ (Trigonometri).

Ledtråd 3

(a) Ekvationen blir $6x-5=(2x-1{)}^2$, men $x=1$ ger $\lg 1=0$ i nämnaren. (b) $\cos u=\cos v⟺u=\pm v+2\pi n$.

Lösning

(a) Villkor: $6x-5>0$, $2x-1>0$ och $\lg (2x-1)\ne 0$, dvs. $x>5/6$ och $x\ne 1$. Då gäller

$$\lg (6x-5)=2\lg (2x-1)=\lg (2x-1{)}^2⟺6x-5=4x^2-4x+1$$ $$4x^2-10x+6=0⟺2x^2-5x+3=0⟺x=1\text{eller}x=\frac{3}{2}$$

$x=1$ är inte tillåten. Kontroll: $x=3/2$ ger $\lg 4/\lg 2=2$.

$$\boxed{x=\frac{3}{2}}$$

(b) Eftersom $\sin 4x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-4x\right)$ blir ekvationen

$$\cos 3x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-4x\right)⟺3x=\pm \left(\frac{\pi }{2}-4x\right)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Plustecknet: $7x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$, dvs. $x=\frac{\pi }{14}+\frac{2\pi n}{7}$.

Minustecknet: $3x=-\frac{\pi }{2}+4x+2\pi n$, dvs. $x=\frac{\pi }{2}-2\pi n$, vilket är samma mängd som $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$.

$$\boxed{x=\frac{\pi }{14}+\frac{2\pi n}{7}\text{eller}x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}$$

Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning skriver $x=\frac{\pi }{14}-\frac{2\pi n}{7}$ och $x=\frac{\pi }{2}-2\pi n$; eftersom $n$ genomlöper hela $\mathbb{Z}$ är det samma lösningsmängd.

---

3. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l’Hôpitals regler):

(a)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{\cos 2x}$$

(1p)

(b)

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x+\sqrt{4x^2+9x}\right).$$

(2p)

(c)

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2-8}{x^3-8}$$

(2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) Funktionen är kontinuerlig i $0$. (b) är ett oegentligt gränsvärde av typen $-\infty +\infty$. (c) är ett gränsvärde av typen $0/0$.

Ledtråd 2

(a) Sätt in $x=0$. (b) Förläng med konjugatet $2x-\sqrt{4x^2+9x}$. (c) Faktorisera täljare och nämnare; båda har faktorn $x-2$.

Ledtråd 3

(b) För $x<0$ är $\sqrt{x^2}=|x|=-x$, så $\sqrt{4x^2+9x}=-x\sqrt{4+9/x}$. (c) $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.

Lösning

(a) Täljare och nämnare är kontinuerliga och $\cos 0=1\ne 0$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{\cos 2x}=\frac{0}{1}=\boxed{0}$$

(b) Förläng med konjugatet:

$$2x+\sqrt{4x^2+9x}=\frac{4x^2-(4x^2+9x)}{2x-\sqrt{4x^2+9x}}=\frac{-9x}{2x-\sqrt{4x^2+9x}}$$

För $x<0$ är $\sqrt{4x^2+9x}=|x|\sqrt{4+9/x}=-x\sqrt{4+9/x}$, så nämnaren blir $x\left(2+\sqrt{4+9/x}\right)$ och

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-9x}{x\left(2+\sqrt{4+9/x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-9}{2+\sqrt{4+9/x}}=\frac{-9}{2+2}=\boxed{-\frac{9}{4}}$$

(c)

$$\frac{2x^2-8}{x^3-8}=\frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2(x+2)}{x^2+2x+4}\to \frac{2\cdot 4}{4+4+4}=\boxed{\frac{2}{3}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

4. Tangent till en implicit kurva

Ekvationen

$$x^4+2y^4=3\left(x^2+y^2\right),(x,y)\ne (0,0),$$

definierar en sluten slät kurva i planet, se nedanstående figur. Finn ekvationen för tangenten till kurvan i punkten $\left(1,\sqrt{2}\right)$. (5p)

Figuren är omritad efter originalet; tangenten i $(1,\sqrt{2})$ är inritad och hör till lösningen.

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvan är inte en graf $y=f(x)$ överallt; använd implicit derivering.

Ledtråd 2

Derivera båda leden med avseende på $x$ och kom ihåg att $\frac{d}{dx}{y}^n=n{y}^{n-1}{y}^{\prime }$. Lös ut $y^{\prime }$. Tangenten är $y-y_0=k(x-x_0)$.

Ledtråd 3

$y^{\prime }=\frac{3x-2x^3}{4y^3-3y}$. Sätt in $x=1$, $y=\sqrt{2}$.

Lösning

Punkten ligger på kurvan: $1+2\cdot 4=9=3(1+2)$.

Implicit derivering:

$$4x^3+8y^3{y}^{\prime }=6x+6y{y}^{\prime }⟺y^{\prime }\left(8y^3-6y\right)=6x-4x^3⟺y^{\prime }=\frac{3x-2x^3}{4y^3-3y}$$

I $(1,\sqrt{2})$ är $y^3=2\sqrt{2}$:

$$y^{\prime }=\frac{3-2}{8\sqrt{2}-3\sqrt{2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$$

Tangenten:

$$y=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{10}(x-1)⟺\boxed{y=\frac{\sqrt{2}}{10}(x+9)}$$

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvundersökning av $((\ln x{)}^2-1)/x$

Betrakta funktionen

$$y=f(x)=\frac{(\ln x{)}^2-1}{x},x>0.$$

Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentligt teckenschema över derivatan. Skissera kurvan. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

En klassisk kurvundersökning: asymptoter, extremvärden via teckenschema för $f^{\prime }$ och inflexionspunkter via $f^{\prime \prime }$.

Ledtråd 2

Asymptoter: undersök $x\to 0^{+}$ och $x\to \infty$ (standardgränsvärdet $(\ln x{)}^k/x\to 0$). Derivera med kvotregeln och sätt $t=\ln x$.

Ledtråd 3

$f^{\prime }(x)=-\frac{(\ln x{)}^2-2\ln x-1}{x^2}$ och $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\ln x(\ln x-3)}{x^3}$. Täljarna är andragradsuttryck i $t=\ln x$.

Lösning

Asymptoter. Då $x\to 0^{+}$ går $(\ln x{)}^2-1\to +\infty$ och $1/x\to +\infty$, så $f(x)\to +\infty$: lodrät asymptot $x=0$. Då $x\to \infty$ gäller $f(x)=\frac{(\ln x{)}^2}{x}-\frac{1}{x}\to 0$: vågrät asymptot $y=0$. Nollställen: $\ln x=\pm 1$, dvs. $x=1/e$ och $x=e$.

Derivata. Med $t=\ln x$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{2\ln x}{x}\cdot x-\left((\ln x{)}^2-1\right)}{x^2}=-\frac{t^2-2t-1}{x^2}$$

$f^{\prime }(x)=0⟺t=1\pm \sqrt{2}$, dvs. $x_1=e^{1-\sqrt{2}}$ och $x_2=e^{1+\sqrt{2}}$. Eftersom $t^2-2t-1=(t-(1-\sqrt{2}))(t-(1+\sqrt{2}))$:

$x$	$0$		$e^{1-\sqrt{2}}$		$e^{1+\sqrt{2}}$
$\ln x-(1-\sqrt{2})$		$-$	$0$	$+$		$+$
$\ln x-(1+\sqrt{2})$		$-$		$-$	$0$	$+$
$-1/x^2$		$-$		$-$		$-$
$f^{\prime }(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	asy.	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$

Värdena, med $(1\pm \sqrt{2}{)}^2-1=2\pm 2\sqrt{2}$:

$$\boxed{f\left(e^{1-\sqrt{2}}\right)=2\left(1-\sqrt{2}\right)e^{\sqrt{2}-1}\approx -1,25\text{(lokalt min)}}$$ $$\boxed{f\left(e^{1+\sqrt{2}}\right)=2\left(1+\sqrt{2}\right)e^{-1-\sqrt{2}}\approx 0,43\text{(lokalt max)}}$$

Andraderivata. Deriverar man $f^{\prime }(x)=\frac{-t^2+2t+1}{x^2}$ igen fås

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{\left(-2t+2\right)\cdot x-2x\left(-t^2+2t+1\right)}{x^4}=\frac{2t^2-6t}{x^3}=\frac{2\ln x(\ln x-3)}{x^3}$$

$x$	$0$		$1$		$e^3$
$2\ln x$		$-$	$0$	$+$		$+$
$\ln x-3$		$-$		$-$	$0$	$+$
$x^3$		$+$		$+$		$+$
$f^{\prime \prime }(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	asy.	konvex	infl.	konkav	infl.	konvex

$f^{\prime \prime }$ byter tecken i båda punkterna:

$$\boxed{\text{Inflexionspunkter: }(1,-1)\text{och}\left(e^3,8e^{-3}\right)\approx (20,1;0,40)}$$ $$\boxed{\text{Asymptoter: }x=0(f\to +\infty )\text{och}y=0\text{da˚}x\to \infty }$$

Skiss. Kurvan kommer ned från $+\infty$ längs $y$-axeln, skär $x$-axeln i $1/e$, når minimum $\approx -1,25$ vid $x\approx 0,66$, vänder uppåt genom inflexionspunkten $(1,-1)$, skär $x$-axeln i $e$, når maximum $\approx 0,43$ vid $x\approx 11,2$ och avtar sedan mot $0$ genom inflexionspunkten vid $x=e^3$.

Kontrollerat mot facit.

---

6. Oljefläckens tjocklek

En viss oljefläck på havsytan har cirkulär form och samma tjocklek $d$ över hela sin yta. Olja tillförs fläcken med $11{\text{m}}^3/\text{min}$ från ett läckage på ett sjunket fartyg. Vid en bestämd tidpunkt $t_0$ noteras att fläckens radie är $r=100$ m och att radien ökar med $3$ m/min samt att tjockleken är $d=1/4$ cm. Hur snabbt förändras fläckens tjocklek $d$ vid denna tidpunkt? (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Sammanhängande förändringshastigheter: volym, radie och tjocklek beror alla på tiden, och derivatan är förändringshastigheten.

Ledtråd 2

Fläcken är en tunn cylinder: $V=\pi r^{2}d$. Derivera med avseende på $t$ med produktregeln.

Ledtråd 3

$V^{\prime }=2\pi r{r}^{\prime }d+\pi r^2{d}^{\prime }$. Använd meter överallt: $d=0,0025$ m.

Lösning

Volymen är $V(t)=\pi r(t{)}^{2}d(t)$, så

$$V^{\prime }(t)=2\pi r{r}^{\prime }d+\pi r^2{d}^{\prime }$$

Vid $t_0$ är $V^{\prime }=11$, $r=100$, $r^{\prime }=3$ och $d=0,0025$ (meter och minuter):

$$11=2\pi \cdot 100\cdot 3\cdot 0,0025+\pi \cdot 100^2\cdot d^{\prime }=1,5\pi +10^4\pi d^{\prime }$$ $$d^{\prime }(t_0)=\frac{11-1,5\pi }{10^4\pi }=\left(\frac{11}{\pi }-\frac{3}{2}\right)\cdot 10^{-4}\text{m/min}$$

Med $\pi \approx 22/7$ blir $11/\pi \approx 3,5$ och

$$d^{\prime }(t_0)\approx 2\cdot 10^{-4}\text{m/min}=\boxed{0,2\text{mm/min}}$$

Tjockleken ökar alltså med ungefär $0,2$ mm/min.

Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning anger $0,2$ mm/min med $\pi \approx 22/7$ (räknare var inte tillåten); det exakta värdet $(11/\pi -3/2)\cdot 10^{-4}$ m/min är $\approx 0,2001$ mm/min.

---

Se även

• M0065M
• Polynom och faktorisering
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Trigonometri
• Trigonometriska ekvationer
• Gränsvärden
• Oegentliga gränsvärden
• Kontinuitet
• Implicit derivering
• Derivata
• Deriveringsregler
• Extremvärden
• Andraderivata och konvexitet
• Grafritning och asymptoter