---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2025-12-18
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0065M 2025-12-18
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2025-12-18
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0065m_251218.pdf, m0065m_251218sols.pdf)

> [!abstract] Översikt
> - polynomekvation med gissad rot och rotekvation (1)
> - logaritmekvation och trigonometrisk ekvation (2)
> - tre gränsvärden utan l'Hôpital (3)
> - tangent till en implicit given kurva (4)
> - kurvundersökning av $((\ln x)^2 - 1)/x$ (5)
> - oljefläckens tjocklek, sammanhängande förändringshastigheter (6)

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Polynomekvation och rotekvation

För vilka $x \in \mathbb{R}$ är

(a) ekvationen
$$
x^3 + 2x^2 - 2x - 4 = 0
$$
uppfylld? *Ledning:* gissa en rot på lämpligt sätt. (3p)

(b) ekvationen
$$
\sqrt{2x + 5} - \sqrt{3x - 2} = 1
$$
uppfylld? (2p)

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är en tredjegradsekvation: hitta en rot och [[Polynom och faktorisering|faktorisera]]. (b) är en rotekvation som löses genom kvadrering.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) En heltalsrot måste dela konstanttermen $-4$: prova $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. (b) Flytta över en rot, kvadrera, isolera den kvarvarande roten och kvadrera igen. Pröva alltid rötterna i den ursprungliga ekvationen.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $x = -2$ är en rot, så $x + 2$ är en faktor. (b) Efter första kvadreringen får du $6 - x = 2\sqrt{3x - 2}$, vilket kräver $x \le 6$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Insättning av $x = -2$ ger $-8 + 8 + 4 - 4 = 0$, så $x + 2$ är en faktor:
> $$
> x^3 + 2x^2 - 2x - 4 = x^2(x + 2) - 2(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 2)
> $$
> $$
> \boxed{x = -2 \quad\text{eller}\quad x = \pm\sqrt{2}}
> $$
>
> **(b)** Villkor: $x \ge 2/3$. Skriv $\sqrt{2x + 5} = 1 + \sqrt{3x - 2}$ och kvadrera:
> $$
> 2x + 5 = 1 + 2\sqrt{3x - 2} + 3x - 2 \iff 6 - x = 2\sqrt{3x - 2}
> $$
> Kvadrera igen:
> $$
> 36 - 12x + x^2 = 12x - 8 \iff x^2 - 24x + 44 = 0 \iff x = 2 \ \text{eller}\ x = 22
> $$
> Prövning: $x = 2$ ger $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$, som stämmer. $x = 22$ ger $\sqrt{49} - \sqrt{64} = -1 \ne 1$ och är en falsk rot (där är $6 - x < 0$).
> $$
> \boxed{x = 2}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Logaritmekvation och trigonometrisk ekvation

Finn alla lösningar $x$ till ekvationerna

(a)
$$
\dfrac{\lg(6x - 5)}{\lg(2x - 1)} = 2
$$
*Anmärkning:* $\lg t = \log_{10} t = {}^{10}\!\log t$ (2p)

(b)
$$
\cos 3x = \sin 4x
$$
(3p)

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är en [[Exponentialfunktioner och logaritmer|logaritmekvation]], (b) en [[Trigonometriska ekvationer|trigonometrisk ekvation]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Bestäm först definitionsmängden: båda argumenten positiva och nämnaren $\ne 0$. Använd sedan $2\lg a = \lg a^2$. (b) Skriv om sinus som cosinus med $\sin v = \cos\left(\frac{\pi}{2} - v\right)$ ([[Trigonometri]]).
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) Ekvationen blir $6x - 5 = (2x - 1)^2$, men $x = 1$ ger $\lg 1 = 0$ i nämnaren. (b) $\cos u = \cos v \iff u = \pm v + 2\pi n$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Villkor: $6x - 5 > 0$, $2x - 1 > 0$ och $\lg(2x - 1) \ne 0$, dvs. $x > 5/6$ och $x \ne 1$. Då gäller
> $$
> \lg(6x - 5) = 2\lg(2x - 1) = \lg(2x - 1)^2 \iff 6x - 5 = 4x^2 - 4x + 1
> $$
> $$
> 4x^2 - 10x + 6 = 0 \iff 2x^2 - 5x + 3 = 0 \iff x = 1 \ \text{eller}\ x = \dfrac{3}{2}
> $$
> $x = 1$ är inte tillåten. Kontroll: $x = 3/2$ ger $\lg 4 / \lg 2 = 2$.
> $$
> \boxed{x = \dfrac{3}{2}}
> $$
>
> **(b)** Eftersom $\sin 4x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 4x\right)$ blir ekvationen
> $$
> \cos 3x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 4x\right) \iff 3x = \pm\left(\dfrac{\pi}{2} - 4x\right) + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}
> $$
> Plustecknet: $7x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$, dvs. $x = \dfrac{\pi}{14} + \dfrac{2\pi n}{7}$.
>
> Minustecknet: $3x = -\dfrac{\pi}{2} + 4x + 2\pi n$, dvs. $x = \dfrac{\pi}{2} - 2\pi n$, vilket är samma mängd som $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$.
> $$
> \boxed{x = \dfrac{\pi}{14} + \dfrac{2\pi n}{7} \quad\text{eller}\quad x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning skriver $x = \frac{\pi}{14} - \frac{2\pi n}{7}$ och $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$; eftersom $n$ genomlöper hela $\mathbb{Z}$ är det samma lösningsmängd.*

---

## 3. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x \to 0} \dfrac{3x}{\cos 2x}
$$
(1p)

(b)
$$
\lim_{x \to -\infty} \left(2x + \sqrt{4x^2 + 9x}\right).
$$
(2p)

(c)
$$
\lim_{x \to 2} \dfrac{2x^2 - 8}{x^3 - 8}
$$
(2p)

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) Funktionen är [[Kontinuitet|kontinuerlig]] i $0$. (b) är ett [[Oegentliga gränsvärden|oegentligt gränsvärde]] av typen $-\infty + \infty$. (c) är ett [[Gränsvärden|gränsvärde]] av typen $0/0$.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Sätt in $x = 0$. (b) Förläng med konjugatet $2x - \sqrt{4x^2 + 9x}$. (c) Faktorisera täljare och nämnare; båda har faktorn $x - 2$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (b) För $x < 0$ är $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, så $\sqrt{4x^2 + 9x} = -x\sqrt{4 + 9/x}$. (c) $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Täljare och nämnare är kontinuerliga och $\cos 0 = 1 \ne 0$:
> $$
> \lim_{x \to 0} \dfrac{3x}{\cos 2x} = \dfrac{0}{1} = \boxed{0}
> $$
>
> **(b)** Förläng med konjugatet:
> $$
> 2x + \sqrt{4x^2 + 9x} = \dfrac{4x^2 - (4x^2 + 9x)}{2x - \sqrt{4x^2 + 9x}} = \dfrac{-9x}{2x - \sqrt{4x^2 + 9x}}
> $$
> För $x < 0$ är $\sqrt{4x^2 + 9x} = |x|\sqrt{4 + 9/x} = -x\sqrt{4 + 9/x}$, så nämnaren blir $x\left(2 + \sqrt{4 + 9/x}\right)$ och
> $$
> \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-9x}{x\left(2 + \sqrt{4 + 9/x}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-9}{2 + \sqrt{4 + 9/x}} = \dfrac{-9}{2 + 2} = \boxed{-\dfrac{9}{4}}
> $$
>
> **(c)**
> $$
> \dfrac{2x^2 - 8}{x^3 - 8} = \dfrac{2(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \dfrac{2(x + 2)}{x^2 + 2x + 4} \to \dfrac{2 \cdot 4}{4 + 4 + 4} = \boxed{\dfrac{2}{3}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Tangent till en implicit kurva

Ekvationen
$$
x^4 + 2y^4 = 3\left(x^2 + y^2\right),\quad (x, y) \ne (0, 0),
$$
definierar en sluten slät kurva i planet, se nedanstående figur. Finn ekvationen för tangenten till kurvan i punkten $\left(1, \sqrt{2}\right)$. (5p)

![[tenta251218-uppgift4-kurva.png|520]]

*Figuren är omritad efter originalet; tangenten i $(1,\sqrt 2)$ är inritad och hör till lösningen.*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Kurvan är inte en graf $y = f(x)$ överallt; använd [[Implicit derivering|implicit derivering]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Derivera båda leden med avseende på $x$ och kom ihåg att $\dfrac{d}{dx}\,y^n = n y^{n-1} y'$. Lös ut $y'$. Tangenten är $y - y_0 = k(x - x_0)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $y' = \dfrac{3x - 2x^3}{4y^3 - 3y}$. Sätt in $x = 1$, $y = \sqrt{2}$.

> [!note]- Lösning
> Punkten ligger på kurvan: $1 + 2 \cdot 4 = 9 = 3(1 + 2)$.
>
> Implicit derivering:
> $$
> 4x^3 + 8y^3 y' = 6x + 6y y' \iff y'\left(8y^3 - 6y\right) = 6x - 4x^3 \iff y' = \dfrac{3x - 2x^3}{4y^3 - 3y}
> $$
> I $(1, \sqrt{2})$ är $y^3 = 2\sqrt{2}$:
> $$
> y' = \dfrac{3 - 2}{8\sqrt{2} - 3\sqrt{2}} = \dfrac{1}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10}
> $$
> Tangenten:
> $$
> y = \sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{10}(x - 1) \iff \boxed{y = \dfrac{\sqrt{2}}{10}(x + 9)}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvundersökning av $((\ln x)^2 - 1)/x$

Betrakta funktionen
$$
y = f(x) = \dfrac{(\ln x)^2 - 1}{x},\quad x > 0.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentligt teckenschema över derivatan. Skissera kurvan. (5p)

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> En klassisk [[Grafritning och asymptoter|kurvundersökning]]: asymptoter, [[Extremvärden|extremvärden]] via teckenschema för $f'$ och [[Andraderivata och konvexitet|inflexionspunkter]] via $f''$.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Asymptoter: undersök $x \to 0^+$ och $x \to \infty$ (standardgränsvärdet $(\ln x)^k / x \to 0$). Derivera med [[Deriveringsregler|kvotregeln]] och sätt $t = \ln x$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = -\dfrac{(\ln x)^2 - 2\ln x - 1}{x^2}$ och $f''(x) = \dfrac{2\ln x\,(\ln x - 3)}{x^3}$. Täljarna är andragradsuttryck i $t = \ln x$.

> [!note]- Lösning
> **Asymptoter.** Då $x \to 0^+$ går $(\ln x)^2 - 1 \to +\infty$ och $1/x \to +\infty$, så $f(x) \to +\infty$: **lodrät asymptot $x = 0$**. Då $x \to \infty$ gäller $f(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{x} - \dfrac{1}{x} \to 0$: **vågrät asymptot $y = 0$**. Nollställen: $\ln x = \pm 1$, dvs. $x = 1/e$ och $x = e$.
>
> **Derivata.** Med $t = \ln x$:
> $$
> f'(x) = \dfrac{\dfrac{2\ln x}{x}\cdot x - \left((\ln x)^2 - 1\right)}{x^2} = -\dfrac{t^2 - 2t - 1}{x^2}
> $$
> $f'(x) = 0 \iff t = 1 \pm \sqrt{2}$, dvs. $x_1 = e^{1 - \sqrt{2}}$ och $x_2 = e^{1 + \sqrt{2}}$. Eftersom $t^2 - 2t - 1 = (t - (1 - \sqrt{2}))(t - (1 + \sqrt{2}))$:
>
> | $x$ | $0$ | | $e^{1-\sqrt{2}}$ | | $e^{1+\sqrt{2}}$ | |
> |---|---|---|---|---|---|---|
> | $\ln x - (1 - \sqrt{2})$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ |
> | $\ln x - (1 + \sqrt{2})$ | | $-$ | | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $-1/x^2$ | | $-$ | | $-$ | | $-$ |
> | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $f(x)$ | asy. | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ |
>
> Värdena, med $(1 \pm \sqrt{2})^2 - 1 = 2 \pm 2\sqrt{2}$:
> $$
> \boxed{f\left(e^{1-\sqrt{2}}\right) = 2\left(1 - \sqrt{2}\right)e^{\sqrt{2} - 1} \approx -1{,}25 \ \text{(lokalt min)}}
> $$
> $$
> \boxed{f\left(e^{1+\sqrt{2}}\right) = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)e^{-1-\sqrt{2}} \approx 0{,}43 \ \text{(lokalt max)}}
> $$
>
> **Andraderivata.** Deriverar man $f'(x) = \dfrac{-t^2 + 2t + 1}{x^2}$ igen fås
> $$
> f''(x) = \dfrac{\left(-2t + 2\right)\cdot x - 2x\left(-t^2 + 2t + 1\right)}{x^4} = \dfrac{2t^2 - 6t}{x^3} = \dfrac{2\ln x\,(\ln x - 3)}{x^3}
> $$
>
> | $x$ | $0$ | | $1$ | | $e^3$ | |
> |---|---|---|---|---|---|---|
> | $2\ln x$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ |
> | $\ln x - 3$ | | $-$ | | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $x^3$ | | $+$ | | $+$ | | $+$ |
> | $f''(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | asy. | konvex | infl. | konkav | infl. | konvex |
>
> $f''$ byter tecken i båda punkterna:
> $$
> \boxed{\text{Inflexionspunkter: } (1, -1) \ \text{och}\ \left(e^3, 8e^{-3}\right) \approx (20{,}1;\ 0{,}40)}
> $$
> $$
> \boxed{\text{Asymptoter: } x = 0 \ (f \to +\infty) \ \text{och}\ y = 0 \ \text{då}\ x \to \infty}
> $$
>
> **Skiss.** Kurvan kommer ned från $+\infty$ längs $y$-axeln, skär $x$-axeln i $1/e$, når minimum $\approx -1{,}25$ vid $x \approx 0{,}66$, vänder uppåt genom inflexionspunkten $(1, -1)$, skär $x$-axeln i $e$, når maximum $\approx 0{,}43$ vid $x \approx 11{,}2$ och avtar sedan mot $0$ genom inflexionspunkten vid $x = e^3$.
>
> ![[tenta251218-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Oljefläckens tjocklek

En viss oljefläck på havsytan har cirkulär form och samma tjocklek $d$ över hela sin yta. Olja tillförs fläcken med $11\ \text{m}^3/\text{min}$ från ett läckage på ett sjunket fartyg. Vid en bestämd tidpunkt $t_0$ noteras att fläckens radie är $r = 100$ m och att radien ökar med $3$ m/min samt att tjockleken är $d = 1/4$ cm. Hur snabbt förändras fläckens tjocklek $d$ vid denna tidpunkt? (5p)

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Sammanhängande förändringshastigheter: volym, radie och tjocklek beror alla på tiden, och [[Derivata|derivatan]] är förändringshastigheten.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Fläcken är en tunn cylinder: $V = \pi r^2 d$. Derivera med avseende på $t$ med [[Deriveringsregler|produktregeln]].
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $V' = 2\pi r r' d + \pi r^2 d'$. Använd meter överallt: $d = 0{,}0025$ m.

> [!note]- Lösning
> Volymen är $V(t) = \pi r(t)^2 d(t)$, så
> $$
> V'(t) = 2\pi r r' d + \pi r^2 d'
> $$
> Vid $t_0$ är $V' = 11$, $r = 100$, $r' = 3$ och $d = 0{,}0025$ (meter och minuter):
> $$
> 11 = 2\pi \cdot 100 \cdot 3 \cdot 0{,}0025 + \pi \cdot 100^2 \cdot d' = 1{,}5\pi + 10^4\pi\, d'
> $$
> $$
> d'(t_0) = \dfrac{11 - 1{,}5\pi}{10^4\pi} = \left(\dfrac{11}{\pi} - \dfrac{3}{2}\right)\cdot 10^{-4}\ \text{m/min}
> $$
> Med $\pi \approx 22/7$ blir $11/\pi \approx 3{,}5$ och
> $$
> d'(t_0) \approx 2 \cdot 10^{-4}\ \text{m/min} = \boxed{0{,}2\ \text{mm/min}}
> $$
> Tjockleken **ökar** alltså med ungefär $0{,}2$ mm/min.
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning anger $0{,}2$ mm/min med $\pi \approx 22/7$ (räknare var inte tillåten); det exakta värdet $(11/\pi - 3/2)\cdot 10^{-4}$ m/min är $\approx 0{,}2001$ mm/min.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Polynom och faktorisering]]
- [[Exponentialfunktioner och logaritmer]]
- [[Trigonometri]]
- [[Trigonometriska ekvationer]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Kontinuitet]]
- [[Implicit derivering]]
- [[Derivata]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Extremvärden]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]
- [[Grafritning och asymptoter]]