Trigonometriska ekvationer

Kurs: M0065M Förkunskaper: Trigonometri

---

På grund av periodiciteten har trigonometriska ekvationer i regel oändligt många lösningar.

Idén

Varje trigonometrisk ekvation reduceras till ett av tre grundfall. I grundfallet ger enhetscirkeln de lösningar som ligger inom ett varv — för sinus och cosinus oftast två punkter, symmetriska kring en axel — och periodiciteten lägger till $2\pi n$. Nästan alla fel handlar om att tappa den andra punkten eller glömma perioden.

---

1. Grundfall

$$\boxed{\sin x=a⟺x=\arcsin a+2\pi n\vee x=\pi -\arcsin a+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}$$ $$\boxed{\cos x=a⟺x=\pm \arccos a+2\pi n}$$ $$\boxed{\tan x=a⟺x=\arctan a+\pi n}$$

För sinus och cosinus krävs $-1\le a\le 1$; annars saknar ekvationen lösning. Tangens antar alla reella värden och har period $\pi$, så där räcker en familj. Uttrycken $\arcsin a$, $\arccos a$ och $\arctan a$ är arcusfunktionerna, alltså den vinkel i huvudintervallet som har rätt funktionsvärde.

$\sin \theta =1/2$ har två lösningar per varv: linjen $y=1/2$ skär enhetscirkeln vid $\pi /6$ och $5\pi /6$.

Ofta är högerledet självt en trigonometrisk funktion. Då använder vi samma symmetrier direkt:

$$\sin x=\sin y⟺x=y+2\pi n\vee x=\pi -y+2\pi n$$ $$\cos x=\cos y⟺x=\pm y+2\pi n,\tan x=\tan y⟺x=y+\pi n$$

Härledning från enhetscirkeln

$\sin x=\sin y$ betyder att punkterna för $x$ och $y$ har samma $y$-koordinat. Den vågräta linjen genom punkten för $y$ skär enhetscirkeln i två punkter, som är spegelbilder i $y$-axeln: vinklarna $y$ och $\pi -y$. Alla vinklar som hamnar i någon av punkterna fås genom att lägga till hela varv, $2\pi n$.

$\cos x=\cos y$ betyder samma $x$-koordinat. Den lodräta linjen skär cirkeln i punkterna för $y$ och $-y$, spegelbilder i $x$-axeln.

För tangens: $\tan (v+\pi )=\frac{\sin v\cos \pi +\cos v\sin \pi }{\cos v\cos \pi -\sin v\sin \pi }=\frac{-\sin v}{-\cos v}=\tan v$, och $\tan$ är strängt växande på $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, så inom en period finns bara en lösning.

• $\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ger $t=\frac{\pi }{4}+2\pi n$ eller $t=\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi n=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$.
• $\cos t=\frac{1}{2}$ ger $t=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$.
• $\tan v=\tan 4v$ ger $v=4v+\pi n$, alltså $v=-\frac{\pi n}{3}$, vilket är samma mängd som $v=\frac{\pi n}{3}$, $n\in \mathbb{Z}$.

---

2. Teknik

• Faktorisera (t.ex. $\sin x\cos x=0\Rightarrow \sin x=0$ eller $\cos x=0$).
• Använd identiteter för att samla till en trig-funktion.
• Dubbla/halva vinkelns formler.
• Byt sinus mot cosinus med $\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$ när ekvationen blandar dem med olika argument.
• Är argumentet $kx+c$: lös först för hela argumentet, sedan för $x$. Perioden $2\pi n$ blir då $\frac{2\pi n}{k}$.

Exempel — $\sin 2x=\sin x$

Vi löser ekvationen $\sin 2x=\sin x$.

Lösning

Faktorisera. Dubbla vinkeln ger

$$\sin 2x=\sin x⟺2\sin x\cos x-\sin x=0⟺\sin x(2\cos x-1)=0$$

Vi dividerar alltså inte med $\sin x$ — det skulle tappa lösningarna där $\sin x=0$.

Första faktorn. $\sin x=0⟺x=\pi n$.

Andra faktorn. $\cos x=\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$.

$$\boxed{x=\pi n\vee x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}$$

Andra vägen. Grundfallet $\sin 2x=\sin x$ ger $2x=x+2\pi n$, alltså $x=2\pi n$, eller $2x=\pi -x+2\pi n$, alltså $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$. Den andra familjen innehåller $\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}$ per varv, och tillsammans med $2\pi n$ blir det samma mängd som ovan.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

---

3. Hjälpvinkelsatsen

En ekvation $a\cos x+b\sin x=c$ blandar sinus och cosinus med samma argument. Idén är att skriva vänsterledet som en enda sinusvåg med amplitud $A$ och fasvinkel $\phi$:

$$\boxed{a\cos x+b\sin x=A\sin (x+\phi ),A=\sqrt{a^2+b^2},A\cos \phi =b,A\sin \phi =a}$$

Därefter är ekvationen ett grundfall, $\sin (x+\phi )=\frac{c}{A}$, och den har lösning precis när $|c|\le A$.

Härledning

Additionsformeln ger $A\sin (x+\phi )=A\sin x\cos \phi +A\cos x\sin \phi$. Likheten med $a\cos x+b\sin x$ för alla $x$ är ekvivalent med

$$(A\cos \phi -b)\sin x+(A\sin \phi -a)\cos x=0\text{fo¨r alla }x$$

vilket uppfylls om $A\cos \phi =b$ och $A\sin \phi =a$. Kvadrera och addera: $a^2+b^2=A^2({\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi )=A^2$. Vinkeln $\phi$ bestäms av punkten $(\cos \phi ,\sin \phi )=(\frac{b}{A},\frac{a}{A})$ på enhetscirkeln — rita den, så att kvadranten blir rätt.

Vanliga fel

• Tappa den andra familjen. $\sin x=a$ har lösningarna $\arcsin a$ och $\pi -\arcsin a$ (plus $2\pi n$); $\cos x=a$ har $\pm \arccos a$.
• Dividera med en faktor som kan vara noll. $\sin x\cos x=\sin x$ delat med $\sin x$ tappar $x=\pi n$. Faktorisera i stället.
• Fel period. Tangens har period $\pi$, inte $2\pi$. Och i $\sin 3x=a$ blir perioden för $x$ lika med $\frac{2\pi }{3}$: dela $2\pi n$ med $3$ också.
• Fasvinkel i fel kvadrant. $\tan \phi =\frac{a}{b}$ räcker inte för att bestämma $\phi$ i hjälpvinkelsatsen — tecknen på $\cos \phi$ och $\sin \phi$ avgör.

---

4. Lösta övningar

Föreläsning 10, exempel 4 — $\cos 2x={\cos }^{2}x+3\sin x$

Vi löser ekvationen $\cos 2x={\cos }^{2}x+3\sin x$.

Lösning

Samla till en funktion. Med $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ blir ekvationen

$${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x+3\sin x⟺{\sin }^{2}x+3\sin x=0⟺\sin x(\sin x+3)=0$$

Faktorerna. $\sin x=-3$ saknar lösning, eftersom $|\sin x|\le 1$. Kvar är $\sin x=0$:

$$\boxed{x=\pi n,n\in \mathbb{Z}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 10, exempel 5 — sinus och cosinus med olika argument

Vi löser ekvationen

$$\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$$

Lösning

Skriv om sinus som cosinus. Med $\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$ blir ekvationen

$$\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)⟺\frac{\pi }{2}-2x-\frac{\pi }{3}=\pm \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+2\pi n$$

Plustecknet. $3x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}-2\pi n=\frac{5\pi }{12}-2\pi n$, så $x=\frac{5\pi }{36}+\frac{2\pi m}{3}$ ($m=-n$ genomlöper också $\mathbb{Z}$).

Minustecknet. $\frac{\pi }{2}-2x-\frac{\pi }{3}=-x+\frac{\pi }{4}+2\pi n$ ger $x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}-2\pi n=-\frac{\pi }{12}+2\pi m$.

$$\boxed{x=\frac{5\pi }{36}+\frac{2\pi m}{3}\vee x=-\frac{\pi }{12}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}}$$

Rimlighetskoll. På $[0,2\pi ]$ ger det fyra lösningar, $\approx 0,436;2,531;4,625;6,021$, och differensen mellan leden byter tecken precis där.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 10, exempel 6 — $\tan \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$

Vi löser ekvationen $\tan \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$.

Lösning

Grundfallet. $\tan \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$, och tangens har period $\pi$, så

$$3x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+\pi n⟺3x=\frac{2\pi }{3}+\pi n$$

Lös ut $x$ — perioden delas också med $3$:

$$\boxed{x=\frac{2\pi }{9}+\frac{\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 10, exempel 8 — hjälpvinkel: $\cos 2x-\sin 2x=1$

Vi löser ekvationen $\cos 2x-\sin 2x=1$.

Lösning

Hjälpvinkel. Här är $a=1$, $b=-1$ och argumentet $2x$. Då är $A=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$ och

$$\sqrt{2}\cos \phi =-1,\sqrt{2}\sin \phi =1\Rightarrow \phi =\frac{3\pi }{4}$$

(andra kvadranten: cosinus negativ, sinus positiv). Ekvationen blir

$$\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{3\pi }{4}\right)=1⟺\sin \left(2x+\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Första familjen. $2x+\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi n⟺2x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n⟺x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$.

Andra familjen. $2x+\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi n=\frac{3\pi }{4}+2\pi n⟺x=\pi n$.

$$\boxed{x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\vee x=\pi n,n\in \mathbb{Z}}$$

Rimlighetskoll. $x=0$: $\cos 0-\sin 0=1$. $x=-\frac{\pi }{4}$: $\cos (-\frac{\pi }{2})-\sin (-\frac{\pi }{2})=0+1=1$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Läsning

• P.7 The Trigonometric Functions

Se även

• Trigonometri
• Arcusfunktioner