Arcusfunktioner

Kurs: M0065M Förkunskaper: Trigonometri, Funktioner och invers

1. Idé

Arcusfunktionerna är inverserna till de trigonometriska funktionerna, definierade på intervall där originalet är strängt monotont.

De svarar på frågan vilken vinkel har det här sinus-, cosinus- eller tangensvärdet? Eftersom sinus antar varje värde oändligt många gånger har frågan inget entydigt svar förrän vi väljer ut ett intervall där funktionen är injektiv (1–1). Arcusfunktionen ger alltid vinkeln i just det intervallet, huvudintervallet — de andra lösningarna hittar vi med periodiciteten, se Trigonometriska ekvationer.

Sinus: $(sin x)^{'} = cos x > 0$ på $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , så sinus är strängt växande på $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .
Cosinus: $cos x = sin (\frac{π}{2} - x)$ , och $\frac{π}{2} - x$ ligger i $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ precis när $x \in [0, π]$ . Där är cosinus strängt avtagande.
Tangens: $(tan x)^{'} = 1 + tan^{2} x \geq 1$ , så tangens är strängt växande på $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

2. Definitioner

arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

Sinus begränsad till $[- π /2, π /2]$ och dess invers $arcsin$ , speglade i $y = x$ .

arccos : [- 1, 1] \to [0, π]

arctan : R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

Som för varje invers byter $x$ och $y$ roll:

y = arcsin x y = arccos x y = arctan x ⟺ x = sin y, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} ⟺ x = cos y, 0 \leq y \leq π ⟺ x = tan y, - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}

Kancelleringslagarna gäller bara när argumentet ligger i rätt mängd:

arcsin (sin x) = x, x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], sin (arcsin x) = x, x \in [- 1, 1]

arccos (cos x) = x, x \in [0, π], arctan (tan x) = x, x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), tan (arctan x) = x, x \in R

Några värden, avlästa i tabellen för exakta värden i Trigonometri:

$arctan 1 = π /4$ , $arcsin (1/2) = π /6$ .
$arcsin \frac{3}{2} = \frac{π}{3}$ , $arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$ (andra kvadranten, tillåten för arccos), $arctan (- 1) = - \frac{π}{4}$ .

Föreläsning 11, exempel 6 och 7 — när kancelleringen inte gäller

Vi beräknar $arctan (tan \frac{2 π}{3})$ och $arccos (sin (- 0, 2))$ .

Lösning

a) $\frac{2 π}{3}$ ligger inte i $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , så svaret är inte $\frac{2 π}{3}$ . Beräkna det inre först:
$arctan (tan \frac{2 π}{3}) = arctan (- 3) = - \frac{π}{3}$
Det är samma sak som att flytta vinkeln en period $π$ in i huvudintervallet: $\frac{2 π}{3} - π = - \frac{π}{3}$ .

b) Med sambandet $arccos t = \frac{π}{2} - arcsin t$ (avsnitt 3), och eftersom $- 0, 2 \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ :
$arccos (sin (- 0, 2)) = \frac{π}{2} - arcsin (sin (- 0, 2)) = \frac{π}{2} - (- 0, 2) = \frac{π}{2} + 0, 2 \approx 1, 771$
Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

3. Samband och förenklingar

Summan av arcsin och arccos. Om $y = arccos x$ är $x = cos y = sin (\frac{π}{2} - y)$ med $\frac{π}{2} - y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , alltså $arcsin x = \frac{π}{2} - y$ :

arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}, x \in [- 1, 1]

Trigonometrisk funktion av en arcusfunktion. Sätt $θ$ lika med arcusuttrycket, rita en rätvinklig triangel och bestäm tecknet ur huvudintervallet:

sin (arccos x) = cos (arcsin x) = 1 - x^{2}, cos (arctan x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

Härledning med triangeln

$sin (arccos x)$ . Sätt $θ = arccos x$ , så att $cos θ = x$ och $0 \leq θ \leq π$ . En rätvinklig triangel med hypotenusa $1$ och närliggande katet $x$ har motstående katet $1 - x^{2}$ , så $sin θ = \pm 1 - x^{2}$ . På $[0, π]$ är $sin θ \geq 0$ , alltså plustecknet. Samma resonemang ger $cos (arcsin x) = 1 - x^{2}$ , eftersom $cos θ \geq 0$ på $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$cos (arctan x)$ . Sätt $θ = arctan x$ , så att $tan θ = \frac{x}{1}$ och $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ . Kateterna är $x$ och $1$ , hypotenusan $1 + x^{2}$ , och $cos θ > 0$ på intervallet. Alltså $cos θ = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .

Till exempel är $cos (arcsin 0, 7) = 1 - 0, 49 = 0, 51$ , medan $sin (arcsin 0, 7) = 0, 7$ direkt ur kancelleringslagen.

$arctan x$ är definierad för alla $x$ och har de vågräta asymptoterna $y = \pm π /2$ .

4. Derivator

(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}, (arccos x)^{'} = - \frac{1}{1 - x ^{2}}, (arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

Derivatorna av arcsin och arccos gäller för $- 1 < x < 1$ ; i ändpunkterna har graferna lodräta tangenter. Att $arctan$ har en rationell derivata gör den central i integrationen: $\int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan x + C$ .

Härledning

arcsin. $y = arcsin x ⟺ x = sin y$ med $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$ . Implicit derivering med avseende på $x$ ger $1 = cos y \cdot y^{'}$ , alltså $y^{'} = \frac{1}{cos y}$ . På intervallet är $cos y \geq 0$ , så $cos y = 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$ . Detta är specialfallet $f = sin$ av regeln för Inversa funktioners derivata.

arctan. $y = arctan x ⟺ x = tan y$ . Deriveringen ger $1 = (1 + tan^{2} y) y^{'} = (1 + x^{2}) y^{'}$ .

arccos. Ur $arccos x = \frac{π}{2} - arcsin x$ följer $(arccos x)^{'} = - (arcsin x)^{'}$ .

Vanliga fel

Kancellera utanför huvudintervallet. $arcsin (sin x) = x$ bara för $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ; till exempel är $arcsin (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$ .

Fel värdemängd för arccos. $arccos$ ger vinklar i $[0, π]$ , inte $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ : $arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$ , inte $- \frac{π}{3}$ .

Tolka $arcsin x$ som $1/ sin x$ . Beteckningen $sin^{- 1} x$ på räknaren betyder invers, inte reciprok.

Tappa tecknet i triangelmetoden. $sin (arccos x)$ är alltid $\geq 0$ ; resonera med huvudintervallet i stället för att skriva $\pm$ .

5. Lösta övningar

Föreläsning 11, exempel 10 — $arctan x + arctan \frac{1}{x}$

Vi visar att $arctan x + arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}$ för $x > 0$ .

Lösning

Derivera. Låt $f (x) = arctan x + arctan \frac{1}{x}$ . Med kedjeregeln är
$f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} \cdot (- \frac{1}{x ^{2}}) = \frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{x ^{2} + 1} = 0$
Konstant. En funktion med derivatan noll på ett intervall är konstant där, så $f (x) = C$ för $x > 0$ . Värdet i $x = 1$ ger konstanten:
$C = f (1) = arctan 1 + arctan 1 = \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$
Anmärkning. $x = 0$ ligger inte i definitionsmängden, så för $x < 0$ gäller en annan konstant. Eftersom $arctan$ är udda blir den $- \frac{π}{2}$ .

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 11, exempel 11 — $arcsin \frac{1}{3} + arcsin \frac{2}{6}$

Vi beräknar exakt $arcsin \frac{1}{3} + arcsin \frac{2}{6}$ .

Lösning

Namnge vinklarna. Sätt $u = arcsin \frac{1}{3}$ och $v = arcsin \frac{2}{6}$ . Argumenten är positiva, så $0 < u, v < \frac{π}{2}$ och cosinus är positiv:
$cos u = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, cos v = 1 - \frac{4}{6} = \frac{1}{3}$
Additionsformeln.
$cos (u + v) = cos u cos v - sin u sin v = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3 2} = 0$
Välj rätt vinkel. $cos (u + v) = 0$ ger $u + v = \pm \frac{π}{2} + 2 πn$ , men $0 < u + v < π$ , så
$arcsin \frac{1}{3} + arcsin \frac{2}{6} = \frac{π}{2}$
Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 11, exempel 12 — $2 arctan \frac{1}{3} + arctan \frac{1}{7}$

Vi förenklar $2 arctan \frac{1}{3} + arctan \frac{1}{7}$ .

Lösning

Namnge vinklarna. $u = arctan \frac{1}{3}$ och $v = arctan \frac{1}{7}$ , med $0 < u, v < \frac{π}{2}$ .

Tangens för dubbla vinkeln. Additionsformeln för tangens med $u = v$ :
$tan 2 u = \frac{2 tan u}{1 - tan ^{2} u} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac{3}{4}$
En gång till.
$tan (2 u + v) = \frac{tan 2 u + tan v}{1 - tan 2 u tan v} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{3}{28}} = \frac{21 + 4}{28 - 3} = 1$
Välj rätt vinkel. $tan (2 u + v) = 1$ ger $2 u + v = \frac{π}{4} + πn$ . Grovt är $0 < 2 u + v < \frac{3 π}{2}$ , och de enda kandidaterna där är $\frac{π}{4}$ och $\frac{5 π}{4}$ . Men $tan 2 u = \frac{3}{4} > 0$ med $0 < 2 u < π$ betyder $2 u < \frac{π}{2}$ , och $v < \frac{π}{4}$ eftersom $\frac{1}{7} < 1$ ; alltså $2 u + v < \frac{3 π}{4}$ och
$2 arctan \frac{1}{3} + arctan \frac{1}{7} = \frac{π}{4}$
Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Pelles Moln

Utforskare

1. Idé

2. Definitioner

3. Samband och förenklingar

4. Derivator

5. Lösta övningar

Läsning

Se även

Resurser

Innehåll

Grafvy

Bakåtlänkar