M0047M-2024-03-21

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: 2024-03-21 Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_240321.pdf, m0047m_240321sols.pdf) M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.

Översikt

• Uppgift 1: induktionsbevis för formeln för $n$:te derivatan av $\cos x$
• Uppgift 2: tre gränsvärden: $(3x{)}^x$ då $x\to 0^{+}$, en skillnad av rationella uttryck och en kvot av logaritmer
• Uppgift 3: derivatan av $\arctan x+\arctan \frac{x+1}{x-1}$ och funktionens konstanta värden
• Uppgift 4: ett tredjegradspolynoms enda nollställe: satsen om mellanliggande värden, injektivitet och ett steg med Newton–Raphson
• Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter, asymptoter och värdemängd för $\frac{x^2-5x+4}{x^2+4}$
• Uppgift 6: relaterade hastigheter, skuggan av en mur från en motorcykels strålkastare

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. Derivatorna av $\cos x$ genom induktion

Visa att

$$\frac{d^n}{d{x}^n}(\cos x)=\cos \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$$

för varje heltal $n=1,2,3,\dots$. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ett bevis med induktion: basfall och induktionssteg, med hjälp av additionsformeln för cosinus.

Ledtråd 2

Basfallet är $n=1$. Anta att formeln gäller för $n=p$ och derivera en gång till för att få fallet $n=p+1$.

Ledtråd 3

Visa att $-\sin u=\cos \left(u+\frac{\pi }{2}\right)$ för alla $u$, med $\cos \frac{\pi }{2}=0$ och $\sin \frac{\pi }{2}=1$.

Lösning

Hjälpformel. Additionsformeln ger för alla reella $u$

$$\cos \left(u+\frac{\pi }{2}\right)=\cos u\cos \frac{\pi }{2}-\sin u\sin \frac{\pi }{2}=\cos u\cdot 0-\sin u\cdot 1=-\sin u$$

Basfall. För $n=1$ är

$$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$

enligt hjälpformeln med $u=x$. Formeln gäller alltså för $n=1$.

Induktionssteg. Anta att formeln gäller för något heltal $p\ge 1$, dvs. att

$$\frac{d^p}{d{x}^p}(\cos x)=\cos \left(x+\frac{p\pi }{2}\right)\text{(induktionsantagandet)}$$

Då är, med kedjeregeln och hjälpformeln med $u=x+\frac{p\pi }{2}$,

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{p+1}}{d{x}^{p+1}}(\cos x)& =\frac{d}{dx}\left(\frac{d^p}{d{x}^p}(\cos x)\right)=\frac{d}{dx}\cos \left(x+\frac{p\pi }{2}\right)=-\sin \left(x+\frac{p\pi }{2}\right)\\ & =\cos \left(x+\frac{p\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(x+\frac{(p+1)\pi }{2}\right)\end{array}$$

vilket är formeln för $n=p+1$.

Enligt induktionsprincipen gäller

$$\boxed{\frac{d^n}{d{x}^n}(\cos x)=\cos \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)\text{ fo¨r alla heltal }n\ge 1}$$

Kontrollerat mot facit.

---

2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l’Hôpitals regler):

(a)

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(3x{)}^x$$

(1p)

(b)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2}{x+1}-\frac{x^2}{x-1}\right)$$

(2p)

(c)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left(2^x+x^2\right)}{\ln \left(3^x+x^3\right)}$$

(2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Gränsvärden och Oegentliga gränsvärden med standardgränsvärden; skriv potenser med exponentialfunktionen.

Ledtråd 2

(a) $(3x{)}^x=3^x\cdot e^{x\ln x}$. (b) Sätt på gemensamt bråkstreck. (c) Bryt ut den dominerande termen $2^x$ respektive $3^x$ inuti logaritmerna.

Ledtråd 3

(a) $x\ln x\to 0$ då $x\to 0^{+}$. (b) Täljaren blir $-2x^2$. (c) $\ln \left(2^x+x^2\right)=x\ln 2+\ln \left(1+\frac{x^2}{2^x}\right)$ och $\frac{x^b}{a^x}\to 0$ då $a>1$.

Lösning

(a) För $x>0$ är $(3x{)}^x=3^x\cdot x^x=3^x\cdot e^{x\ln x}$. Här går $3^x\to 3^0=1$, och standardgränsvärdet $x\ln x\to 0$ då $x\to 0^{+}$ ger tillsammans med kontinuiteten hos $e^t$ att $e^{x\ln x}\to e^0=1$. Alltså

$$\boxed{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(3x{)}^x=1}$$

(b) Gemensamt bråkstreck:

$$\frac{x^2}{x+1}-\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2(x-1)-x^2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{-2x^2}{x^2-1}=\frac{-2}{1-\frac{1}{x^2}}$$

Då $x\to \infty$ går $\frac{1}{x^2}\to 0$, så

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2}{x+1}-\frac{x^2}{x-1}\right)=-2}$$

(c) Bryt ut den dominerande termen:

$$\frac{\ln \left(2^x+x^2\right)}{\ln \left(3^x+x^3\right)}=\frac{\ln \left(2^x\left(1+\frac{x^2}{2^x}\right)\right)}{\ln \left(3^x\left(1+\frac{x^3}{3^x}\right)\right)}=\frac{x\ln 2+\ln \left(1+\frac{x^2}{2^x}\right)}{x\ln 3+\ln \left(1+\frac{x^3}{3^x}\right)}$$

För $a>1$ och $b>0$ är $\frac{x^b}{a^x}=\frac{x^b}{e^{x\ln a}}\to 0$ (standardgränsvärde: exponentialfunktionen växer snabbare än varje potens). Alltså går båda logaritmerna $\ln (1+\dots )\to \ln 1=0$. Dela täljare och nämnare med $x$:

$$\frac{\ln 2+\frac{1}{x}\ln \left(1+\frac{x^2}{2^x}\right)}{\ln 3+\frac{1}{x}\ln \left(1+\frac{x^3}{3^x}\right)}\to \frac{\ln 2+0}{\ln 3+0}$$ $$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left(2^x+x^2\right)}{\ln \left(3^x+x^3\right)}=\frac{\ln 2}{\ln 3}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

3. En arcustangensidentitet via derivatan

Definiera funktionen

$$f(x)=\arctan x+\arctan \frac{x+1}{x-1},x\ne 1.$$

(a) Vad är $f^{\prime }(x)$? Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (2p)

(b) Visa att

$$f(x)=-\frac{\pi }{4}$$

för $x<1$. (1p)

(c) Funktionen $f$ har även ett konstant värde för $x>1$. Bestäm detta värde! Ledning: undersök vad som händer när $x\to \infty$. (2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Derivering av Arcusfunktioner med kedjeregeln (Deriveringsregler), och sedan att en funktion med derivatan noll på ett intervall är konstant där (Medelvärdessatsen).

Ledtråd 2

$\frac{d}{dx}\arctan u=\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$. Definitionsmängden består av två intervall; på vart och ett är $f$ konstant, men konstanterna kan vara olika.

Ledtråd 3

$(x-1{)}^2+(x+1{)}^2=2(x^2+1)$. (b) Beräkna $f(0)$. (c) $\arctan x\to \frac{\pi }{2}$ och $\frac{x+1}{x-1}\to 1$.

Lösning

(a) Med kvotregeln är

$$\frac{d}{dx}\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$$

så kedjeregeln ger

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^2}\cdot \frac{-2}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{2}{(x-1{)}^2+(x+1{)}^2}$$

Nämnaren är $x^2-2x+1+x^2+2x+1=2(x^2+1)$, så

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{2}{2(x^2+1)}=\boxed{0},x\ne 1$$

(b) Intervallet $(-\infty ,1)$ ingår i definitionsmängden och $f^{\prime }=0$ där, så enligt medelvärdessatsen är $f$ konstant på intervallet, $f(x)=C_1$. Med $x=0$:

$$C_1=f(0)=\arctan 0+\arctan (-1)=0-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$$

Alltså är $\boxed{f(x)=-\frac{\pi }{4}\text{ fo¨r }x<1}$.

(c) På $(1,\infty )$ är också $f^{\prime }=0$, så $f(x)=C_2$ där. Konstanten är lika med gränsvärdet i oändligheten. Eftersom $\frac{x+1}{x-1}=\frac{1+1/x}{1-1/x}\to 1$ och $\arctan$ är kontinuerlig:

$$C_2=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\arctan x+\arctan \frac{x+1}{x-1}\right)=\frac{\pi }{2}+\arctan 1=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$$ $$\boxed{f(x)=\frac{3\pi }{4}\text{ fo¨r }x>1}$$

Anmärkning: med $x=2$ följer identiteten $\arctan 2+\arctan 3=\frac{3\pi }{4}$.

Kontrollerat mot facit.

---

4. Ett tredjegradspolynoms nollställe

Låt

$$y=p(x)=x^3-6x^2+15x-12,x\in \mathbb{R}.$$

Använd verktyg och begrepp som gränsvärde, injektiv funktion, derivata och satsen om mellanliggande värden för att motivera svaren till nedanstående uppgifter.

(a) Polynomet $p$ har enbart ett reellt nollställe. Förklara varför! (2p)

(b) Lokalisera nollstället i uppgift 4.(a) genom att ange i vilket intervall $(n,n+1)$ (där $n$ är heltal) nollstället ligger. Motivera! (1p)

(c) Finn en approximation $x_1$ till detta nollställe genom att göra en iteration med Newton-Raphsons metod

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}.$$

Använd någon av intervallgränserna du funnit i uppgift 4.(b) som startvärde $x_0$. (2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ekvationslösning med derivata: existens via satsen om mellanliggande värden (Kontinuitet), entydighet via monotonitet (injektivitet).

Ledtråd 2

(a) Undersök $p(x)$ då $x\to \pm \infty$ och tecknet på $p^{\prime }(x)$. (b) Beräkna $p$ i några heltal och leta efter ett teckenbyte. (c) Sätt in $x_0$ i Newtons formel med $f=p$.

Ledtråd 3

Kvadratkomplettera: $p^{\prime }(x)=3\left((x-2{)}^2+1\right)$. Jämför $p(1)$ och $p(2)$.

Lösning

(a) Existens. $p$ är ett polynom och därför kontinuerligt på hela $\mathbb{R}$. Vidare är

$$p(x)=x^3\left(1-\frac{6}{x}+\frac{15}{x^2}-\frac{12}{x^3}\right)$$

där parentesen går mot $1$, så $p(x)\to -\infty$ då $x\to -\infty$ och $p(x)\to \infty$ då $x\to \infty$. Det finns alltså $a$ med $p(a)<0$ och $b$ med $p(b)>0$, och satsen om mellanliggande värden ger ett nollställe mellan dem.

Entydighet.

$$p^{\prime }(x)=3x^2-12x+15=3\left(x^2-4x+5\right)=3\left((x-2{)}^2+1\right)\ge 3>0$$

så $p$ är strängt växande och därmed injektiv på $\mathbb{R}$. Värdet $0$ antas alltså högst en gång. Tillsammans:

$$\boxed{p\text{ har exakt ett reellt nollsta¨lle}}$$

(b) Några funktionsvärden:

$$p(0)=-12,p(1)=1-6+15-12=-2<0,p(2)=8-24+30-12=2>0$$

Teckenbytet mellan $1$ och $2$ ger enligt satsen om mellanliggande värden ett nollställe där, och enligt (a) är det det enda:

$$\boxed{\text{nollsta¨llet ligger i }(1,2)}$$

(Med $p\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{8}>0$ ligger det till och med i $\left(1,\frac{3}{2}\right)$.)

(c) Med $p(1)=-2$ och $p^{\prime }(1)=3-12+15=6$ ger startvärdet $x_0=1$

$$x_1=1-\frac{p(1)}{p^{\prime }(1)}=1-\frac{-2}{6}=\frac{4}{3}$$

Startvärdet $x_0=2$ ger samma sak, eftersom $p(2)=2$ och $p^{\prime }(2)=3$:

$$x_1=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$ $$\boxed{x_1=\frac{4}{3}}$$

Anmärkning: ytterligare en iteration ger $x_2=\frac{164}{117}\approx 1,402$. Det exakta nollstället är $2+\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}-\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}\approx 1,404$ (substitutionen $x=t+2$ ger $t^3+3t+2=0$, som löses med Cardanos formel).

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvan $\frac{x^2-5x+4}{x^2+4}$

Betrakta funktionen

$$y=f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x^2+4}.$$

Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Ange funktionens värdemängd $R(f)$. Skissera kurvan. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvundersökning: asymptoter, teckenschema för derivatan och andraderivatan för inflexionspunkter.

Ledtråd 2

Skriv om $f(x)=1-\frac{5x}{x^2+4}$; det förenklar både gränsvärdena och deriveringen. Nämnaren är aldrig noll.

Ledtråd 3

$f^{\prime }(x)=\frac{5(x-2)(x+2)}{(x^2+4{)}^2}$ och $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-10x\left(x^2-12\right)}{(x^2+4{)}^3}$.

Lösning

Omskrivning. $f(x)=\frac{(x^2+4)-5x}{x^2+4}=1-\frac{5x}{x^2+4}$. Eftersom $f(x)-1$ är udda är grafen symmetrisk kring punkten $(0,1)$. Täljaren är $(x-1)(x-4)$, så kurvan skär $x$-axeln i $x=1$ och $x=4$, och $y$-axeln i $f(0)=1$.

Asymptoter. Nämnaren $x^2+4\ge 4>0$, så $f$ är definierad och kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$: ingen lodrät asymptot. Vidare är

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(1-\frac{5/x}{1+4/x^2}\right)=1$$

så $y=1$ är vågrät asymptot åt båda hållen, och därmed finns ingen sned asymptot:

$$\boxed{\text{va˚gra¨t asymptot }y=1\text{ da˚ }x\to \pm \infty }$$

Derivata.

$$f^{\prime }(x)=-\frac{5(x^2+4)-5x\cdot 2x}{(x^2+4{)}^2}=\frac{5x^2-20}{(x^2+4{)}^2}=\frac{5(x-2)(x+2)}{(x^2+4{)}^2}$$

Kritiska punkter: $x=\pm 2$.

	$x<-2$	$-2$	$-2<x<2$	$2$	$x>2$
$x+2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$

$$f(-2)=\frac{4+10+4}{8}=\frac{9}{4},f(2)=\frac{4-10+4}{8}=-\frac{1}{4}$$ $$\boxed{\text{lok. max }f(-2)=\frac{9}{4},\text{lok. min }f(2)=-\frac{1}{4}}$$

Andraderivata. Derivera $f^{\prime }(x)=\frac{5x^2-20}{(x^2+4{)}^2}$ med kvotregeln och förkorta med $x^2+4$:

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{10x(x^2+4)-(5x^2-20)\cdot 4x}{(x^2+4{)}^3}=\frac{-10x^3+120x}{(x^2+4{)}^3}=\frac{-10x\left(x-2\sqrt{3}\right)\left(x+2\sqrt{3}\right)}{(x^2+4{)}^3}$$

	$x<-2\sqrt{3}$	$-2\sqrt{3}$	$-2\sqrt{3}<x<0$	$0$	$0<x<2\sqrt{3}$	$2\sqrt{3}$	$x>2\sqrt{3}$
$-10x$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$x+2\sqrt{3}$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-2\sqrt{3}$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f^{\prime \prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	konvex	infl.	konkav	infl.	konvex	infl.	konkav

$f^{\prime \prime }$ byter tecken i alla tre punkterna. Med $f(x)=1-\frac{5x}{x^2+4}$ och $x^2+4=16$ i $x=\pm 2\sqrt{3}$:

$$\boxed{\text{inflexionspunkter }(0,1),\left(-2\sqrt{3},1+\frac{5\sqrt{3}}{8}\right),\left(2\sqrt{3},1-\frac{5\sqrt{3}}{8}\right)}$$

Värdemängd. På $(-\infty ,-2]$ växer $f$ från gränsvärdet $1$ till $\frac{9}{4}$, på $[-2,2]$ avtar $f$ från $\frac{9}{4}$ till $-\frac{1}{4}$, och på $[2,\infty )$ växer $f$ från $-\frac{1}{4}$ mot $1$. De lokala extremvärdena är alltså globala, och eftersom $f$ är kontinuerlig antas alla värden däremellan:

$$\boxed{R(f)=\left[-\frac{1}{4},\frac{9}{4}\right]}$$

Skiss. Kurvan kommer in ovanför asymptoten $y=1$ från vänster, når maximum $\left(-2,\frac{9}{4}\right)$, sjunker genom $(0,1)$ och nollstället $x=1$ ned till minimum $\left(2,-\frac{1}{4}\right)$, passerar nollstället $x=4$ och närmar sig $y=1$ underifrån då $x\to \infty$.

Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning anger inflexionspunkternas $x$-värden men inte deras $y$-värden; de är tillagda här.

---

6. Skuggan av en mur

En 3 m hög mur står 2 m från ett högt hus. En motorcykel med strålkastaren på kör i mörkret mot muren och på husväggen ses då skuggan av muren. Motorcykeln kör vinkelrätt mot muren/huset och har sin strålkastare 1 m över marken. Muren kan anses ha försumbar tjocklek.

(a) Härled ett samband mellan skuggans höjd $y$ över marken på väggen och motorcykelns avstånd $x$ från muren. Rita figur! (2p)

(b) Med vilken hastighet rör sig motorcykeln mot muren vid det tillfälle när skuggans överkant är 6 m över marken och rör sig uppåt med en hastighet av 10 m/s? (3p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Likformiga trianglar och relaterade hastigheter: Implicit derivering av sambandet med avseende på tiden.

Ledtråd 2

Ljusstrålen från strålkastaren (höjd 1) över murens krön (höjd 3) träffar husväggen i skuggans överkant. Strålens lutning är densamma fram till muren och fram till väggen.

Ledtråd 3

$\frac{3-1}{x}=\frac{y-1}{x+2}$, vilket ger $y=3+\frac{4}{x}$. Derivera med avseende på $t$ och bestäm $x$ ur $y=6$.

Lösning

(a) Lägg strålkastaren i höjden $1$ på avståndet $x$ från muren. Muren står på avståndet $x$ och huset på avståndet $x+2$. Ljusstrålen som precis passerar murens krön (höjd $3$) bestämmer skuggans överkant $y$ på väggen. Strålen stiger $3-1=2$ m på sträckan $x$ och $y-1$ m på sträckan $x+2$, så likformighet (samma lutning $\tan \alpha$) ger

$$\tan \alpha =\frac{2}{x}=\frac{y-1}{x+2}⟺y=1+\frac{2(x+2)}{x}$$ $$\boxed{y=3+\frac{4}{x},x>0}$$

(b) Nu är $x=x(t)$ och $y=y(t)$. Derivering med avseende på $t$ ger

$$y^{\prime }(t)=-\frac{4x^{\prime }(t)}{x(t{)}^2}⟺x^{\prime }(t)=-\frac{x(t{)}^2{y}^{\prime }(t)}{4}$$

Vid tidpunkten $t_0$ är $y(t_0)=6$, så $6=3+\frac{4}{x(t_0)}$ ger $x(t_0)=\frac{4}{3}$ m. Med $y^{\prime }(t_0)=10$ m/s:

$$x^{\prime }(t_0)=-\frac{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2\cdot 10}{4}=-\frac{16}{9}\cdot \frac{10}{4}=-\frac{40}{9}\text{ m/s}$$

Minustecknet betyder att avståndet till muren minskar:

$$\boxed{\text{motorcykeln na¨rmar sig muren med }\frac{40}{9}\text{ m/s}=16\text{ km/h}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• M0065M
• Matematisk induktion
• Trigonometri
• Gränsvärden
• Oegentliga gränsvärden
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Arcusfunktioner
• Deriveringsregler
• Medelvärdessatsen
• Ekvationslösning med derivata
• Kontinuitet
• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter
• Andraderivata och konvexitet
• Implicit derivering