---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2024-03-21
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2024-03-21
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2024-03-21
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_240321.pdf, m0047m_240321sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: induktionsbevis för formeln för $n$:te derivatan av $\cos x$
> - Uppgift 2: tre gränsvärden: $(3x)^x$ då $x\to 0^+$, en skillnad av rationella uttryck och en kvot av logaritmer
> - Uppgift 3: derivatan av $\arctan x + \arctan\dfrac{x + 1}{x - 1}$ och funktionens konstanta värden
> - Uppgift 4: ett tredjegradspolynoms enda nollställe: satsen om mellanliggande värden, injektivitet och ett steg med Newton–Raphson
> - Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter, asymptoter och värdemängd för $\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 4}$
> - Uppgift 6: relaterade hastigheter, skuggan av en mur från en motorcykels strålkastare

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Derivatorna av $\cos x$ genom induktion

Visa att
$$
\dfrac{d^n}{dx^n}(\cos x) = \cos\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)
$$
för varje heltal $n = 1, 2, 3, \ldots$. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett bevis med [[Matematisk induktion|induktion]]: basfall och induktionssteg, med hjälp av [[Trigonometri|additionsformeln för cosinus]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Basfallet är $n = 1$. Anta att formeln gäller för $n = p$ och derivera en gång till för att få fallet $n = p + 1$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Visa att $-\sin u = \cos\left(u + \dfrac{\pi}{2}\right)$ för alla $u$, med $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ och $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$.

> [!note]- Lösning
> **Hjälpformel.** Additionsformeln ger för alla reella $u$
> $$
> \cos\left(u + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos u\cos\dfrac{\pi}{2} - \sin u\sin\dfrac{\pi}{2} = \cos u\cdot 0 - \sin u\cdot 1 = -\sin u
> $$
>
> **Basfall.** För $n = 1$ är
> $$
> \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)
> $$
> enligt hjälpformeln med $u = x$. Formeln gäller alltså för $n = 1$.
>
> **Induktionssteg.** Anta att formeln gäller för något heltal $p\ge 1$, dvs. att
> $$
> \dfrac{d^p}{dx^p}(\cos x) = \cos\left(x + \dfrac{p\pi}{2}\right) \quad\text{(induktionsantagandet)}
> $$
> Då är, med kedjeregeln och hjälpformeln med $u = x + \dfrac{p\pi}{2}$,
> $$
> \begin{aligned}
> \dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}}(\cos x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^p}{dx^p}(\cos x)\right) = \dfrac{d}{dx}\cos\left(x + \dfrac{p\pi}{2}\right) = -\sin\left(x + \dfrac{p\pi}{2}\right)\\
> &= \cos\left(x + \dfrac{p\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(x + \dfrac{(p + 1)\pi}{2}\right)
> \end{aligned}
> $$
> vilket är formeln för $n = p + 1$.
>
> Enligt induktionsprincipen gäller
> $$
> \boxed{\dfrac{d^n}{dx^n}(\cos x) = \cos\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right) \text{ för alla heltal } n\ge 1}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to 0^+}(3x)^x
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2}{x + 1} - \dfrac{x^2}{x - 1}\right)
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln\left(2^x + x^2\right)}{\ln\left(3^x + x^3\right)}
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Gränsvärden]] och [[Oegentliga gränsvärden]] med standardgränsvärden; skriv potenser med [[Exponentialfunktioner och logaritmer|exponentialfunktionen]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) $(3x)^x = 3^x\cdot e^{x\ln x}$. (b) Sätt på gemensamt bråkstreck. (c) Bryt ut den dominerande termen $2^x$ respektive $3^x$ inuti logaritmerna.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $x\ln x\to 0$ då $x\to 0^+$. (b) Täljaren blir $-2x^2$. (c) $\ln\left(2^x + x^2\right) = x\ln 2 + \ln\left(1 + \dfrac{x^2}{2^x}\right)$ och $\dfrac{x^b}{a^x}\to 0$ då $a > 1$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** För $x > 0$ är $(3x)^x = 3^x\cdot x^x = 3^x\cdot e^{x\ln x}$. Här går $3^x\to 3^0 = 1$, och standardgränsvärdet $x\ln x\to 0$ då $x\to 0^+$ ger tillsammans med kontinuiteten hos $e^t$ att $e^{x\ln x}\to e^0 = 1$. Alltså
> $$
> \boxed{\lim_{x\to 0^+}(3x)^x = 1}
> $$
>
> **(b)** Gemensamt bråkstreck:
> $$
> \dfrac{x^2}{x + 1} - \dfrac{x^2}{x - 1} = \dfrac{x^2(x - 1) - x^2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{-2x^2}{x^2 - 1} = \dfrac{-2}{1 - \dfrac{1}{x^2}}
> $$
> Då $x\to\infty$ går $\dfrac{1}{x^2}\to 0$, så
> $$
> \boxed{\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2}{x + 1} - \dfrac{x^2}{x - 1}\right) = -2}
> $$
>
> **(c)** Bryt ut den dominerande termen:
> $$
> \dfrac{\ln\left(2^x + x^2\right)}{\ln\left(3^x + x^3\right)} = \dfrac{\ln\left(2^x\left(1 + \dfrac{x^2}{2^x}\right)\right)}{\ln\left(3^x\left(1 + \dfrac{x^3}{3^x}\right)\right)} = \dfrac{x\ln 2 + \ln\left(1 + \dfrac{x^2}{2^x}\right)}{x\ln 3 + \ln\left(1 + \dfrac{x^3}{3^x}\right)}
> $$
> För $a > 1$ och $b > 0$ är $\dfrac{x^b}{a^x} = \dfrac{x^b}{e^{x\ln a}}\to 0$ (standardgränsvärde: exponentialfunktionen växer snabbare än varje potens). Alltså går båda logaritmerna $\ln(1 + \ldots)\to\ln 1 = 0$. Dela täljare och nämnare med $x$:
> $$
> \dfrac{\ln 2 + \dfrac1x\ln\left(1 + \dfrac{x^2}{2^x}\right)}{\ln 3 + \dfrac1x\ln\left(1 + \dfrac{x^3}{3^x}\right)}\to\dfrac{\ln 2 + 0}{\ln 3 + 0}
> $$
> $$
> \boxed{\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln\left(2^x + x^2\right)}{\ln\left(3^x + x^3\right)} = \dfrac{\ln 2}{\ln 3}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. En arcustangensidentitet via derivatan

Definiera funktionen
$$
f(x) = \arctan x + \arctan\dfrac{x + 1}{x - 1}, \quad x\ne 1.
$$

(a) Vad är $f'(x)$? Förenkla uttrycket så långt som möjligt. *(2p)*

(b) Visa att
$$
f(x) = -\dfrac{\pi}{4}
$$
för $x < 1$. *(1p)*

(c) Funktionen $f$ har även ett konstant värde för $x > 1$. Bestäm detta värde! **Ledning:** *undersök vad som händer när $x\to\infty$.* *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Derivering av [[Arcusfunktioner]] med kedjeregeln ([[Deriveringsregler]]), och sedan att en funktion med derivatan noll på ett intervall är konstant där ([[Medelvärdessatsen]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $\dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}$. Definitionsmängden består av två intervall; på vart och ett är $f$ konstant, men konstanterna kan vara olika.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $(x - 1)^2 + (x + 1)^2 = 2(x^2 + 1)$. (b) Beräkna $f(0)$. (c) $\arctan x\to\dfrac{\pi}{2}$ och $\dfrac{x + 1}{x - 1}\to 1$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Med kvotregeln är
> $$
> \dfrac{d}{dx}\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{(x - 1) - (x + 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{-2}{(x - 1)^2}
> $$
> så kedjeregeln ger
> $$
> f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)^2}\cdot\dfrac{-2}{(x - 1)^2} = \dfrac{1}{1 + x^2} - \dfrac{2}{(x - 1)^2 + (x + 1)^2}
> $$
> Nämnaren är $x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 2(x^2 + 1)$, så
> $$
> f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} - \dfrac{2}{2(x^2 + 1)} = \boxed{0}, \quad x\ne 1
> $$
>
> **(b)** Intervallet $(-\infty, 1)$ ingår i definitionsmängden och $f' = 0$ där, så enligt medelvärdessatsen är $f$ konstant på intervallet, $f(x) = C_1$. Med $x = 0$:
> $$
> C_1 = f(0) = \arctan 0 + \arctan(-1) = 0 - \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4}
> $$
> Alltså är $\boxed{f(x) = -\dfrac{\pi}{4} \text{ för } x < 1}$.
>
> **(c)** På $(1, \infty)$ är också $f' = 0$, så $f(x) = C_2$ där. Konstanten är lika med gränsvärdet i oändligheten. Eftersom $\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{1 + 1/x}{1 - 1/x}\to 1$ och $\arctan$ är kontinuerlig:
> $$
> C_2 = \lim_{x\to\infty}\left(\arctan x + \arctan\dfrac{x + 1}{x - 1}\right) = \dfrac{\pi}{2} + \arctan 1 = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}
> $$
> $$
> \boxed{f(x) = \dfrac{3\pi}{4} \text{ för } x > 1}
> $$
> *Anmärkning:* med $x = 2$ följer identiteten $\arctan 2 + \arctan 3 = \dfrac{3\pi}{4}$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Ett tredjegradspolynoms nollställe

Låt
$$
y = p(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 12, \quad x\in\mathbb{R}.
$$
Använd verktyg och begrepp som gränsvärde, injektiv funktion, derivata och satsen om mellanliggande värden för att motivera svaren till nedanstående uppgifter.

(a) Polynomet $p$ har enbart ett reellt nollställe. Förklara varför! *(2p)*

(b) Lokalisera nollstället i uppgift 4.(a) genom att ange i vilket intervall $(n, n + 1)$ (där $n$ är heltal) nollstället ligger. Motivera! *(1p)*

(c) Finn en approximation $x_1$ till detta nollställe genom att göra en iteration med Newton-Raphsons metod
$$
x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
$$
Använd någon av intervallgränserna du funnit i uppgift 4.(b) som startvärde $x_0$. *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Ekvationslösning med derivata]]: existens via satsen om mellanliggande värden ([[Kontinuitet]]), entydighet via monotonitet ([[Funktioner och invers|injektivitet]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Undersök $p(x)$ då $x\to\pm\infty$ och tecknet på $p'(x)$. (b) Beräkna $p$ i några heltal och leta efter ett teckenbyte. (c) Sätt in $x_0$ i Newtons formel med $f = p$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Kvadratkomplettera: $p'(x) = 3\left((x - 2)^2 + 1\right)$. Jämför $p(1)$ och $p(2)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** *Existens.* $p$ är ett polynom och därför kontinuerligt på hela $\mathbb{R}$. Vidare är
> $$
> p(x) = x^3\left(1 - \dfrac{6}{x} + \dfrac{15}{x^2} - \dfrac{12}{x^3}\right)
> $$
> där parentesen går mot $1$, så $p(x)\to -\infty$ då $x\to -\infty$ och $p(x)\to\infty$ då $x\to\infty$. Det finns alltså $a$ med $p(a) < 0$ och $b$ med $p(b) > 0$, och satsen om mellanliggande värden ger ett nollställe mellan dem.
>
> *Entydighet.*
> $$
> p'(x) = 3x^2 - 12x + 15 = 3\left(x^2 - 4x + 5\right) = 3\left((x - 2)^2 + 1\right)\ge 3 > 0
> $$
> så $p$ är strängt växande och därmed injektiv på $\mathbb{R}$. Värdet $0$ antas alltså högst en gång. Tillsammans:
> $$
> \boxed{p \text{ har exakt ett reellt nollställe}}
> $$
>
> **(b)** Några funktionsvärden:
> $$
> p(0) = -12, \quad p(1) = 1 - 6 + 15 - 12 = -2 < 0, \quad p(2) = 8 - 24 + 30 - 12 = 2 > 0
> $$
> Teckenbytet mellan $1$ och $2$ ger enligt satsen om mellanliggande värden ett nollställe där, och enligt (a) är det det enda:
> $$
> \boxed{\text{nollstället ligger i } (1, 2)}
> $$
> (Med $p\left(\frac32\right) = \frac38 > 0$ ligger det till och med i $\left(1, \frac32\right)$.)
>
> **(c)** Med $p(1) = -2$ och $p'(1) = 3 - 12 + 15 = 6$ ger startvärdet $x_0 = 1$
> $$
> x_1 = 1 - \dfrac{p(1)}{p'(1)} = 1 - \dfrac{-2}{6} = \dfrac43
> $$
> Startvärdet $x_0 = 2$ ger samma sak, eftersom $p(2) = 2$ och $p'(2) = 3$:
> $$
> x_1 = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac43
> $$
> $$
> \boxed{x_1 = \dfrac43}
> $$
> *Anmärkning:* ytterligare en iteration ger $x_2 = \dfrac{164}{117}\approx 1{,}402$. Det exakta nollstället är $2 + \sqrt[3]{\sqrt2 - 1} - \sqrt[3]{\sqrt2 + 1}\approx 1{,}404$ (substitutionen $x = t + 2$ ger $t^3 + 3t + 2 = 0$, som löses med Cardanos formel).
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 4}$

Betrakta funktionen
$$
y = f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 4}.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Ange funktionens värdemängd $R(f)$. Skissera kurvan. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: asymptoter, [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivatan]] för inflexionspunkter.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Skriv om $f(x) = 1 - \dfrac{5x}{x^2 + 4}$; det förenklar både gränsvärdena och deriveringen. Nämnaren är aldrig noll.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = \dfrac{5(x - 2)(x + 2)}{(x^2 + 4)^2}$ och $f''(x) = \dfrac{-10x\left(x^2 - 12\right)}{(x^2 + 4)^3}$.

> [!note]- Lösning
> **Omskrivning.** $f(x) = \dfrac{(x^2 + 4) - 5x}{x^2 + 4} = 1 - \dfrac{5x}{x^2 + 4}$. Eftersom $f(x) - 1$ är udda är grafen symmetrisk kring punkten $(0, 1)$. Täljaren är $(x - 1)(x - 4)$, så kurvan skär $x$-axeln i $x = 1$ och $x = 4$, och $y$-axeln i $f(0) = 1$.
>
> **Asymptoter.** Nämnaren $x^2 + 4\ge 4 > 0$, så $f$ är definierad och kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$: ingen lodrät asymptot. Vidare är
> $$
> \lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\left(1 - \dfrac{5/x}{1 + 4/x^2}\right) = 1
> $$
> så $y = 1$ är vågrät asymptot åt båda hållen, och därmed finns ingen sned asymptot:
> $$
> \boxed{\text{vågrät asymptot } y = 1 \text{ då } x\to\pm\infty}
> $$
>
> **Derivata.**
> $$
> f'(x) = -\dfrac{5(x^2 + 4) - 5x\cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \dfrac{5x^2 - 20}{(x^2 + 4)^2} = \dfrac{5(x - 2)(x + 2)}{(x^2 + 4)^2}
> $$
> Kritiska punkter: $x = \pm 2$.
>
> | | $x < -2$ | $-2$ | $-2 < x < 2$ | $2$ | $x > 2$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $x + 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 2$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ |
>
> $$
> f(-2) = \dfrac{4 + 10 + 4}{8} = \dfrac94, \qquad f(2) = \dfrac{4 - 10 + 4}{8} = -\dfrac14
> $$
> $$
> \boxed{\text{lok. max } f(-2) = \dfrac94, \quad \text{lok. min } f(2) = -\dfrac14}
> $$
>
> **Andraderivata.** Derivera $f'(x) = \dfrac{5x^2 - 20}{(x^2 + 4)^2}$ med kvotregeln och förkorta med $x^2 + 4$:
> $$
> f''(x) = \dfrac{10x(x^2 + 4) - (5x^2 - 20)\cdot 4x}{(x^2 + 4)^3} = \dfrac{-10x^3 + 120x}{(x^2 + 4)^3} = \dfrac{-10x\left(x - 2\sqrt3\right)\left(x + 2\sqrt3\right)}{(x^2 + 4)^3}
> $$
>
> | | $x < -2\sqrt3$ | $-2\sqrt3$ | $-2\sqrt3 < x < 0$ | $0$ | $0 < x < 2\sqrt3$ | $2\sqrt3$ | $x > 2\sqrt3$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $-10x$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ |
> | $x + 2\sqrt3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 2\sqrt3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f''(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $f(x)$ | konvex | infl. | konkav | infl. | konvex | infl. | konkav |
>
> $f''$ byter tecken i alla tre punkterna. Med $f(x) = 1 - \dfrac{5x}{x^2 + 4}$ och $x^2 + 4 = 16$ i $x = \pm 2\sqrt3$:
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkter } (0, 1), \quad \left(-2\sqrt3,\ 1 + \dfrac{5\sqrt3}{8}\right), \quad \left(2\sqrt3,\ 1 - \dfrac{5\sqrt3}{8}\right)}
> $$
>
> **Värdemängd.** På $(-\infty, -2]$ växer $f$ från gränsvärdet $1$ till $\dfrac94$, på $[-2, 2]$ avtar $f$ från $\dfrac94$ till $-\dfrac14$, och på $[2, \infty)$ växer $f$ från $-\dfrac14$ mot $1$. De lokala extremvärdena är alltså globala, och eftersom $f$ är kontinuerlig antas alla värden däremellan:
> $$
> \boxed{R(f) = \left[-\dfrac14,\ \dfrac94\right]}
> $$
>
> **Skiss.** Kurvan kommer in ovanför asymptoten $y = 1$ från vänster, når maximum $\left(-2, \frac94\right)$, sjunker genom $(0, 1)$ och nollstället $x = 1$ ned till minimum $\left(2, -\frac14\right)$, passerar nollstället $x = 4$ och närmar sig $y = 1$ underifrån då $x\to\infty$.
>
> ![[tenta240321-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning anger inflexionspunkternas $x$-värden men inte deras $y$-värden; de är tillagda här.*

---

## 6. Skuggan av en mur

En 3 m hög mur står 2 m från ett högt hus. En motorcykel med strålkastaren på kör i mörkret mot muren och på husväggen ses då skuggan av muren. Motorcykeln kör vinkelrätt mot muren/huset och har sin strålkastare 1 m över marken. Muren kan anses ha försumbar tjocklek.

(a) Härled ett samband mellan skuggans höjd $y$ över marken på väggen och motorcykelns avstånd $x$ från muren. Rita figur! *(2p)*

(b) Med vilken hastighet rör sig motorcykeln mot muren vid det tillfälle när skuggans överkant är 6 m över marken och rör sig uppåt med en hastighet av 10 m/s? *(3p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Likformiga trianglar och relaterade hastigheter: [[Implicit derivering]] av sambandet med avseende på tiden.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Ljusstrålen från strålkastaren (höjd 1) över murens krön (höjd 3) träffar husväggen i skuggans överkant. Strålens lutning är densamma fram till muren och fram till väggen.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $\dfrac{3 - 1}{x} = \dfrac{y - 1}{x + 2}$, vilket ger $y = 3 + \dfrac{4}{x}$. Derivera med avseende på $t$ och bestäm $x$ ur $y = 6$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Lägg strålkastaren i höjden $1$ på avståndet $x$ från muren. Muren står på avståndet $x$ och huset på avståndet $x + 2$. Ljusstrålen som precis passerar murens krön (höjd $3$) bestämmer skuggans överkant $y$ på väggen. Strålen stiger $3 - 1 = 2$ m på sträckan $x$ och $y - 1$ m på sträckan $x + 2$, så likformighet (samma lutning $\tan\alpha$) ger
> $$
> \tan\alpha = \dfrac{2}{x} = \dfrac{y - 1}{x + 2} \iff y = 1 + \dfrac{2(x + 2)}{x}
> $$
> $$
> \boxed{y = 3 + \dfrac{4}{x}, \quad x > 0}
> $$
>
> **(b)** Nu är $x = x(t)$ och $y = y(t)$. Derivering med avseende på $t$ ger
> $$
> y'(t) = -\dfrac{4x'(t)}{x(t)^2} \iff x'(t) = -\dfrac{x(t)^2\,y'(t)}{4}
> $$
> Vid tidpunkten $t_0$ är $y(t_0) = 6$, så $6 = 3 + \dfrac{4}{x(t_0)}$ ger $x(t_0) = \dfrac43$ m. Med $y'(t_0) = 10$ m/s:
> $$
> x'(t_0) = -\dfrac{\left(\frac43\right)^2\cdot 10}{4} = -\dfrac{16}{9}\cdot\dfrac{10}{4} = -\dfrac{40}{9} \text{ m/s}
> $$
> Minustecknet betyder att avståndet till muren minskar:
> $$
> \boxed{\text{motorcykeln närmar sig muren med } \dfrac{40}{9}\text{ m/s} = 16 \text{ km/h}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Trigonometri]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Exponentialfunktioner och logaritmer]]
- [[Arcusfunktioner]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Medelvärdessatsen]]
- [[Ekvationslösning med derivata]]
- [[Kontinuitet]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]
- [[Implicit derivering]]