Ekvationslösning med derivata

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata, Extremvärden

---

De flesta ekvationer, som $\cos x=x^2$, går inte att lösa exakt. Derivatan hjälper oss ändå på två sätt: den avgör hur många lösningar som finns och var de ligger, och den ger en metod för att räkna fram dem med godtycklig noggrannhet.

Idén

Kontinuitet ger existens: byter $f$ tecken måste grafen korsa $x$-axeln. Monotoni ger entydighet: en strängt växande funktion kan bara korsa en gång. Tangenten ger approximation: nära roten liknar grafen sin tangent, och tangentens nollställe är lätt att räkna ut.

---

1. Antal rötter via monotoni

Om $f^{\prime }(x)>0$ på ett intervall är $f$ strängt växande där och ekvationen $f(x)=c$ har som mest en lösning där.

Kombinera med satsen om mellanliggande värden för att visa att exakt en rot finns.

Satsen om mellanliggande värden

Om $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$ och $s$ ligger mellan $f(a)$ och $f(b)$, så finns ett $c\in [a,b]$ med $f(c)=s$. Se Kontinuitet.

Halverar vi intervallet och undersöker tecknet i mittpunkten får vi ett hälften så långt intervall som fortfarande innehåller roten. Det är intervallhalveringsmetoden.

Exempel — Ett nollställe till $x^3+x-1$

Vi visar att $f(x)=x^3+x-1$ har ett nollställe mellan $x=0$ och $x=1$.

Lösning

Existens. $f(0)=-1<0$ och $f(1)=1>0$. $f$ är kontinuerlig, så satsen om mellanliggande värden ger ett $x_0\in [0,1]$ med $f(x_0)=0$.

Intervallhalvering. $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{8}<0$, så nollstället ligger i $\left[\frac{1}{2},1\right]$.

Entydighet. $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ för alla $x$, så $f$ är strängt växande och nollstället är det enda på hela $\mathbb{R}$. Numeriskt är $x_0\approx 0,682$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget (föreläsning 26); entydigheten har vi lagt till.

---

2. Antal lösningar med teckentabell

När $f$ inte är monoton delar vi upp tallinjen i intervall där den är det.

Metod

1. Gör en teckentabell för $f^{\prime }$ och dela upp $D_f$ i intervall där $f$ är strängt monoton.
2. Beräkna $f$ i de lokala extrempunkterna och gränsvärdena i ändarna.
3. På varje monotont intervall finns en lösning till $f(x)=c$ om $c$ ligger strikt mellan värdena i ändarna, annars ingen.

Metoden svarar även på frågan hur antalet lösningar till $f(x)=C$ beror på konstanten $C$: det ändras precis när $C$ passerar ett lokalt extremvärde.

---

3. Newtons metod

För att approximera en rot till $f(x)=0$ iterera:

$$\boxed{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}}$$

Geometriskt: rita tangenten i $x_n$ och ta dess skärning med $x$-axeln.

Två steg med Newtons metod för $x^2-3=0$ från $x_0=2$: varje tangent skär $x$-axeln närmare $\sqrt{3}$.

Härledning

Tangenten till $y=f(x)$ i $x=x_n$ är

$$y-f(x_n)=f^{\prime }(x_n)(x-x_n).$$

Nästa approximation $x_{n+1}$ är där tangenten skär $x$-axeln, dvs punkten $(x_{n+1},0)$ ligger på tangenten:

$$0-f(x_n)=f^{\prime }(x_n)(x_{n+1}-x_n)⟺x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}.$$

Exempel — $\sqrt{2}$

För $f(x)=x^2-2$ med $x_0=1,5$: $x_1=1,5-\frac{0,25}{3}\approx 1,4167$ (approximerar $\sqrt{2}$).

Metoden kan misslyckas

Newtons metod konvergerar oftast mycket snabbt om startvärdet ligger nära roten. Ligger det långt bort, eller är $f^{\prime }(x_n)$ nära noll, kan tangenten skicka iterationen åt fel håll och följden divergera eller hoppa mellan värden. Välj därför startvärdet med hjälp av en teckentabell eller intervallhalvering.

---

4. Vanliga fel

Vanliga fel

• Existens utan entydighet. Teckenbyte visar att minst en rot finns. För “exakt en” behövs också monotoni.
• Glömma kontinuiteten. $f(x)=1/x$ byter tecken mellan $-1$ och $1$ men har inget nollställe; satsen kräver kontinuitet på hela intervallet.
• Fel tecken i Newtons formel. Det är $x_n-f/f^{\prime }$, inte $x_n+f/f^{\prime }$. Kontrollera att $x_1$ hamnar närmare roten.
• Radianer. För trigonometriska ekvationer ska räknaren stå i radianer.

---

5. Lösta övningar

Föreläsning 26, sidan 2 — Antal nollställen till ett tredjegradspolynom

Låt $p(x)=x^3-3x^2-9x+3$.

a) Bestäm värdemängden för $p$.

b) Hur många nollställen har $p$?

c) Lokalisera nollställena till intervall $(n,n+1)$, $n\in \mathbb{Z}$.

d) Hur många lösningar har $p(x)=C$ för olika $C\in \mathbb{R}$?

Lösning

a) $p$ är kontinuerlig och $p(x)=x^3\left(1-\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right)\to \pm \infty$ då $x\to \pm \infty$. Värdemängden är

$$\boxed{V_p=\mathbb{R}}$$

b) $p^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$.

$x$		$-1$		$3$
$p^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$p(x)$	$\nearrow$	lok. max $8$	$\searrow$	lok. min $-24$	$\nearrow$

$p$ växer från $-\infty$ till $8>0$, avtar till $-24<0$ och växer mot $\infty$. Det ger ett teckenbyte på vart och ett av de tre monotona intervallen:

$$\boxed{3\text{ nollsta¨llen}}$$

c) Tabell: $p(-3)=-24$, $p(-2)=1$, $p(0)=3$, $p(1)=-8$, $p(4)=-17$, $p(5)=8$. Nollställena ligger i

$$\boxed{(-3,-2),(0,1),(4,5)}$$

d) Antalet ändras när $C$ passerar extremvärdena $8$ och $-24$:

$$\boxed{\begin{array}{ll}1\text{ lo¨sning}& C>8\text{ eller }C<-24\\ 2\text{ lo¨sningar}& C=8\text{ eller }C=-24\\ 3\text{ lo¨sningar}& -24<C<8\end{array}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 26, sidan 6 — Rationell approximation av $\sqrt{3}$

Vi använder Newtons metod på $x^2-3=0$ med startvärdet $x_0=2$ för att hitta en rationell approximation av $\sqrt{3}$.

Lösning

Iterationsformel. $f(x)=x^2-3$ och $f^{\prime }(x)=2x$ ger

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-3}{2x_n}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{3}{x_n}\right).$$

Iterationer.

$$x_1=\frac{1}{2}\left(2+\frac{3}{2}\right)=\frac{7}{4}=1,75,x_2=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{4}+\frac{12}{7}\right)=\frac{97}{56}\approx 1,7321$$ $$\boxed{\sqrt{3}\approx \frac{97}{56}}$$

Jämfört med $\sqrt{3}=1,73205\dots$ är felet redan efter två steg ungefär $9\cdot 10^{-5}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Övning — Newtons metod för $\cos x=x^2$

Ekvationen $\cos x=x^2$ har en positiv rot. Vi bestämmer den med tre decimaler med Newtons metod och startvärdet $x_0=1$.

Lösning

Omskrivning. $f(x)=x^2-\cos x$ och $f^{\prime }(x)=2x+\sin x$. Eftersom $f(0)=-1<0$, $f(1)=1-\cos 1>0$ och $f^{\prime }(x)>0$ för $x>0$ finns exakt en positiv rot, och den ligger i $(0,1)$.

Iterationer (radianer).

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-\cos x_n}{2x_n+\sin x_n}$$

$n$	$x_n$
$0$	$1$
$1$	$0,83822$
$2$	$0,82424$
$3$	$0,82413$

De två sista värdena stämmer på tre decimaler:

$$\boxed{x\approx 0,824}$$

Kontroll: $\cos (0,824)\approx 0,6792$ och $0,824^2\approx 0,6790$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

---

Läsning

• 4.2 Finding Roots of Equations

Se även

• Derivata
• Medelvärdessatsen
• Kontinuitet
• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter

Resurser

• 3Blue1Brown: Newton’s fractal