Ekvationslösning med derivata

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata, Extremvärden

1. Antal rötter via monotoni

Om $f^{'} (x) > 0$ på ett intervall är $f$ strängt växande där och ekvationen $f (x) = c$ har som mest en lösning där.

Kombinera med satsen om mellanvärde för att visa att exakt en rot finns.

För att approximera en rot till $f (x) = 0$ iterera:

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}

Geometriskt: rita tangenten i $x_{n}$ och ta dess skärning med $x$ -axeln.

Example

För $f (x) = x^{2} - 2$ med $x_{0} = 1, 5$ : $x_{1} = 1, 5 - \frac{0 , 25}{3} \approx 1, 4167$ (approximerar $2$ ).