---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - matematik
  - analys
  - envariabelanalys
  - derivata
förkunskaper:
  - "[[Derivata]]"
  - "[[Extremvärden]]"
status: true
aliases:
  - Newtons metod
---
> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** [[Derivata]], [[Extremvärden]]

---

## 1. Antal rötter via monotoni

Om $f'(x)>0$ på ett intervall är $f$ strängt växande där och ekvationen $f(x)=c$ har som mest en lösning där.

Kombinera med **satsen om mellanvärde** för att visa att exakt en rot finns.

## 2. Newtons metod

För att approximera en rot till $f(x)=0$ iterera:

$$
\boxed{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}
$$

Geometriskt: rita tangenten i $x_n$ och ta dess skärning med $x$-axeln.

> [!example]-
> För $f(x)=x^2-2$ med $x_0=1{,}5$: $x_1=1{,}5-\frac{0{,}25}{3}\approx 1{,}4167$ (approximerar $\sqrt{2}$).

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=244|4.2 Finding Roots of Equations]]

## Se även

- [[Derivata]]
- [[Medelvärdessatsen]]

## Resurser

- [3Blue1Brown: Newton's fractal](https://youtu.be/-RdOwhmqP5s)