M0065M-2025-10-29

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: 2025-10-29 Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0065m_251029.pdf, m0065m_251029sols.pdf)

Översikt

• Uppgift 1: rationell olikhet med teckenschema och ekvation med absolutbelopp
• Uppgift 2: logaritmekvation och trigonometrisk ekvation via dubbla vinkeln
• Uppgift 3: tre gränsvärden: dominerande termer, bestämning av en konstant och förlängning med konjugat
• Uppgift 4: tangenter till en parabel genom en punkt utanför kurvan
• Uppgift 5: extremvärden och asymptoter för $x^2(x-2)e^{-x}$ och antal lösningar till $f(x)=C$
• Uppgift 6: maximal area för en triangel under en tangent till $e^{-x}$

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. Olikhet och ekvation med absolutbelopp

För vilka $x$ är

(a) olikheten

$$x+3\le \frac{4x-2}{x-2}$$

uppfylld? (3p)

(b) ekvationen

$$|2x+2|-|x-1|=x+3$$

uppfylld? (2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) är en rationell olikhet som löses med teckenschema (Polynom och faktorisering); (b) är en ekvation med absolutbelopp som delas upp i fall (Funktioner).

Ledtråd 2

(a) Multiplicera inte med $x-2$, eftersom tecknet är okänt. Flytta allt till ena sidan och skriv på gemensamt bråkstreck. (b) Beloppen byter uttryck vid $x=-1$ och $x=1$, så undersök tre intervall.

Ledtråd 3

(a) $x+3-\frac{4x-2}{x-2}=\frac{x^2-3x-4}{x-2}=\frac{(x+1)(x-4)}{x-2}$. (b) För $x\ge 1$ blir vänsterledet $x+3$ identiskt.

Lösning

(a) $x\ne 2$. Allt på ena sidan och gemensam nämnare:

$$\frac{(x+3)(x-2)-(4x-2)}{x-2}=\frac{x^2-3x-4}{x-2}=\frac{(x+1)(x-4)}{x-2}\le 0$$

Teckenschema med brytpunkterna $-1$, $2$ och $4$:

	$x<-1$	$-1$	$-1<x<2$	$2$	$2<x<4$	$4$	$x>4$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
kvot	$-$	$0$	$+$	odef.	$-$	$0$	$+$

$$\boxed{x\le -1\text{ eller }2<x\le 4}$$

(b) $|2x+2|=2x+2$ för $x\ge -1$ och $-2x-2$ annars; $|x-1|=x-1$ för $x\ge 1$ och $1-x$ annars.

• $x\ge 1$: $(2x+2)-(x-1)=x+3$, vilket gäller för alla $x$ i intervallet.
• $-1\le x<1$: $(2x+2)-(1-x)=3x+1=x+3⟺x=1$, som inte ligger i intervallet.
• $x<-1$: $(-2x-2)-(1-x)=-x-3=x+3⟺x=-3$, som ligger i intervallet.

$$\boxed{x=-3\text{ eller }x\ge 1}$$

Kontrollerat mot facit.

---

2. Logaritmekvation och trigonometrisk ekvation

Finn alla lösningar $x$ till ekvationerna

(a)

$${\log }_2(x-5)+{\log }_2(x+2)-{\log }_2(x-4)=2$$

Anmärkning: ${\log }_{2}t={}^2\log t$. (2p)

(b)

$$\cos 2x=3\cos x+1$$

(3p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) är en ekvation med logaritmer; (b) är en trigonometrisk ekvation som blir en andragradsekvation.

Ledtråd 2

(a) Bestäm först var vänsterledet är definierat, slå sedan ihop med logaritmlagarna. (b) Skriv $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ (Trigonometri) och sätt $t=\cos x$.

Ledtråd 3

(a) $\frac{(x-5)(x+2)}{x-4}=4$ med villkoret $x>5$. (b) $2t^2-3t-2=0$, och kom ihåg att $-1\le t\le 1$.

Lösning

(a) Alla tre logaritmerna är definierade om $x>5$. Då är

$${\log }_2\frac{(x-5)(x+2)}{x-4}=2⟺(x-5)(x+2)=4(x-4)⟺x^2-7x+6=(x-1)(x-6)=0$$

Bara $x=6$ uppfyller $x>5$:

$$\boxed{x=6}$$

(b) Med $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ och $t=\cos x$:

$$2t^2-1=3t+1⟺2t^2-3t-2=0⟺t=\frac{3}{4}\pm \frac{5}{4}$$

alltså $t=2$ eller $t=-\frac{1}{2}$. Eftersom $|\cos x|\le 1$ återstår $\cos x=-\frac{1}{2}$:

$$\boxed{x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

3. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l’Hôpitals regler):

(a)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^4-2^x}{x^2-4^x}$$

(1p)

(b) Bestäm konstanten $a$ så att gränsvärdet existerar och är ändligt. Beräkna sedan gränsvärdet.

$$\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{2}{x-2}-\frac{5x-a}{x^2-4}\right)$$

(2p)

(c)

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{10-3x}-\sqrt{x+2}}{x-2}$$

(2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) är ett gränsvärde mot oändligheten där exponentialfunktioner dominerar potenser; (b) och (c) är gränsvärden av typen $\frac{0}{0}$ som ska förenklas.

Ledtråd 2

(a) Bryt ut den snabbast växande termen, $4^x$, i täljare och nämnare. (b) Skriv på gemensam nämnare $(x-2)(x+2)$. (c) Förläng med konjugatet $\sqrt{10-3x}+\sqrt{x+2}$.

Ledtråd 3

(b) Täljaren blir $4+a-3x$; för ett ändligt gränsvärde måste den vara noll i $x=2$. (c) Täljaren blir $(10-3x)-(x+2)=-4(x-2)$.

Lösning

(a) Division med $4^x$:

$$\frac{x^4-2^x}{x^2-4^x}=\frac{\frac{x^4}{4^x}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}{\frac{x^2}{4^x}-1}\to \frac{0-0}{0-1}=\boxed{0}$$

eftersom en potens domineras av en exponentialfunktion.

(b) Gemensam nämnare:

$$\frac{2}{x-2}-\frac{5x-a}{x^2-4}=\frac{2(x+2)-(5x-a)}{(x-2)(x+2)}=\frac{4+a-3x}{(x-2)(x+2)}$$

Nämnaren går mot $0$ när $x\to 2$. Gränsvärdet kan bara bli ändligt om täljaren också går mot $0$, alltså $4+a-6=0$, dvs. $a=2$. Då är täljaren $6-3x=-3(x-2)$ och

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-3(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-3}{x+2}=-\frac{3}{4}$$ $$\boxed{a=2,\text{gra¨nsva¨rdet}=-\frac{3}{4}}$$

(c) Förlängning med konjugatet:

$$\frac{\sqrt{10-3x}-\sqrt{x+2}}{x-2}=\frac{(10-3x)-(x+2)}{(x-2)\left(\sqrt{10-3x}+\sqrt{x+2}\right)}=\frac{-4}{\sqrt{10-3x}+\sqrt{x+2}}$$ $$\to \frac{-4}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\boxed{-1}$$

Kontrollerat mot facit.

---

4. Tangenter genom en punkt utanför parabeln

Finn alla tangenter till kurvan

$$y=f(x)=3+4x-x^2$$

som går genom punkten $(1,10)$. Ledning: ligger punkten på kurvan?

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Tangentens ekvation med derivatan som lutning, men tangeringspunkten är okänd.

Ledtråd 2

$f(1)=6\ne 10$, så punkten ligger inte på kurvan. Låt tangeringspunkten vara $(a,f(a))$; tangenten är $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$.

Ledtråd 3

Kräv att $(1,10)$ ligger på tangenten. Det ger en andragradsekvation i $a$: $a^2-2a-3=0$.

Lösning

$f(1)=3+4-1=6\ne 10$, så $(1,10)$ är ingen tangeringspunkt. Låt tangeringspunkten vara $(a,f(a))$. Då är $f^{\prime }(a)=4-2a$ och enpunktsformeln ger

$$y=(3+4a-a^2)+(4-2a)(x-a)=(4-2a)x+a^2+3$$

Tangenten ska gå genom $(1,10)$:

$$10=(4-2a)+a^2+3⟺a^2-2a-3=(a+1)(a-3)=0$$

$a=-1$ (tangeringspunkt $(-1,-2)$) och $a=3$ (tangeringspunkt $(3,6)$) ger

$$\boxed{y=6x+4\text{och}y=12-2x}$$

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvan $x^2(x-2)e^{-x}$

Definiera funktionen

$$y=f(x)=x^2(x-2)e^{-x}.$$

(a) Bestäm lokala extremvärden och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentligt teckenschema. Skissera kurvan. Konvexitet behöver ej beaktas. (4p)

(b) Bestäm hur många olika lösningar ekvationen

$$x^2(x-2)e^{-x}=C$$

har för alla värden på talet $C\in \mathbb{R}$. Motivera! (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvundersökning: gränsvärden i $\pm \infty$, derivata och teckenschema för extremvärden. (b) räknar skärningar med en vågrät linje (Ekvationslösning med derivata).

Ledtråd 2

$f$ är definierad på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter. Undersök ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)$ och, åt vänster, $\lim f(x)/x$. Derivera $f=(x^3-2x^2)e^{-x}$ med produktregeln.

Ledtråd 3

$f^{\prime }(x)=-x(x-1)(x-4)e^{-x}$. Jämför $C$ med de lokala extremvärdena $f(0)=0$, $f(1)=-1/e$ och $f(4)=32/e^4$.

Lösning

(a) Asymptoter. $f$ är kontinuerlig på $\mathbb{R}$, så lodräta asymptoter saknas.

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2(x-2)e^{-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{2}{x}\right)\frac{x^3}{e^x}=0$$

eftersom exponentialfunktionen dominerar. Alltså är $y=0$ vågrät asymptot åt höger. Åt vänster gäller $f(x)\to -\infty$ och

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }x(x-2)e^{-x}=+\infty$$

så där finns ingen sned asymptot.

Derivata.

$$f^{\prime }(x)=(3x^2-4x)e^{-x}-(x^3-2x^2)e^{-x}=(-x^3+5x^2-4x)e^{-x}=-x(x-1)(x-4)e^{-x}$$

Kritiska punkter: $x=0$, $1$ och $4$.

	$x<0$	$0$	$0<x<1$	$1$	$1<x<4$	$4$	$x>4$
$-x$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$e^{-x}$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$

$$\boxed{\text{lok. max }f(0)=0\text{ och }f(4)=\frac{32}{e^4},\text{lok. min }f(1)=-\frac{1}{e}}$$ $$\boxed{\text{asymptot }y=0\text{ da˚ }x\to \infty ;\text{ inga andra asymptoter}}$$

$f(4)=32/e^4$ är globalt maximum; globalt minimum saknas eftersom $f\to -\infty$ åt vänster. Nollställena är $x=0$ och $x=2$, och $f(x)>0$ bara för $x>2$.

(b) Antalet lösningar är antalet skärningar mellan kurvan och linjen $y=C$. Ur teckenschemat och gränsvärdena ($-\frac{1}{e}<0<\frac{32}{e^4}$):

$$\boxed{\begin{array}{ll}C>\frac{32}{e^4}:& \text{ingen lo¨sning}\\ C=\frac{32}{e^4}:& \text{en lo¨sning }(x=4)\\ 0\le C<\frac{32}{e^4}:& \text{tva˚ lo¨sningar}\\ -\frac{1}{e}<C<0:& \text{tre lo¨sningar}\\ C=-\frac{1}{e}:& \text{tva˚ lo¨sningar}\\ C<-\frac{1}{e}:& \text{en lo¨sning}\end{array}}$$

För $C=0$ är lösningarna $x=0$ och $x=2$; för $0<C<32/e^4$ en i $(2,4)$ och en i $(4,\infty )$. För $-1/e<C<0$ finns en lösning i vardera $(-\infty ,0)$, $(0,1)$ och $(1,2)$.

Skiss.

Kontrollerat mot facit.

---

6. Största triangeln under en tangent till $e^{-x}$

Betrakta funktionen

$$f(x)=e^{-x},x\ge 0.$$

(a) Låt $P=(a,f(a))$ vara en punkt på grafen till $y=f(x)$. Finn ett uttryck för tangenten till kurvan $y=f(x)$ genom $P$. (1p)

(b) Ställ upp ett uttryck för arean $A$ (som funktion av $a$) av triangeln som begränsas av koordinataxlarna och tangenten till kurvan $f$ genom punkten $P$. (1p)

Figuren är omritad efter originalet (här med $a=1$).

(c) Finn det värde $a\in [0,\infty )$ för vilket arean $A$ av triangeln ovan är maximal. (3p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

En optimeringsuppgift: tangent med derivatan och sedan största värde på ett intervall.

Ledtråd 2

Tangenten är $y=e^{-a}-e^{-a}(x-a)$. Triangelns kateter är tangentens skärningar med axlarna, och arean är halva produkten.

Ledtråd 3

$A(a)=\frac{(a+1{)}^2{e}^{-a}}{2}$. Jämför kritiska punkter i intervallet med $A(0)$ och ${\lim }_{a\to \infty }A(a)$.

Lösning

(a) $f^{\prime }(x)=-e^{-x}$, så lutningen i $P=(a,e^{-a})$ är $-e^{-a}$ och

$$y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a)⟺\boxed{y=(a+1-x)e^{-a}}$$

(b) Tangenten skär $x$-axeln i $x_0=a+1$ och $y$-axeln i $y_0=(a+1)e^{-a}$. Triangelns area är

$$\boxed{A(a)=\frac{x_0{y}_0}{2}=\frac{(a+1{)}^2{e}^{-a}}{2}}$$

(c) Derivatan:

$$A^{\prime }(a)=\frac{1}{2}\left(2(a+1)-(a+1{)}^2\right)e^{-a}=\frac{(1+a)(1-a)}{2}{e}^{-a}$$

Den enda kritiska punkten i $[0,\infty )$ är $a=1$; $A^{\prime }>0$ för $0\le a<1$ och $A^{\prime }<0$ för $a>1$. Jämför med ändpunkterna:

$$A(0)=\frac{1}{2},A(1)=\frac{4e^{-1}}{2}=\frac{2}{e},\underset{a\to \infty }{\lim }A(a)=0$$

Eftersom $e<4$ är $\frac{2}{e}>\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, så maximum antas i $a=1$:

$$\boxed{a=1,A_{\max }=\frac{2}{e}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• M0065M
• Polynom och faktorisering
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Trigonometriska ekvationer
• Gränsvärden
• Oegentliga gränsvärden
• Derivata
• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter
• Ekvationslösning med derivata