---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2025-10-29
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0065M 2025-10-29
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2025-10-29
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0065m_251029.pdf, m0065m_251029sols.pdf)

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: rationell olikhet med teckenschema och ekvation med absolutbelopp
> - Uppgift 2: logaritmekvation och trigonometrisk ekvation via dubbla vinkeln
> - Uppgift 3: tre gränsvärden: dominerande termer, bestämning av en konstant och förlängning med konjugat
> - Uppgift 4: tangenter till en parabel genom en punkt utanför kurvan
> - Uppgift 5: extremvärden och asymptoter för $x^2(x-2)e^{-x}$ och antal lösningar till $f(x) = C$
> - Uppgift 6: maximal area för en triangel under en tangent till $e^{-x}$

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Olikhet och ekvation med absolutbelopp

För vilka $x$ är

(a) olikheten
$$
x + 3 \le \dfrac{4x - 2}{x - 2}
$$
uppfylld? *(3p)*

(b) ekvationen
$$
|2x + 2| - |x - 1| = x + 3
$$
uppfylld? *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är en rationell olikhet som löses med teckenschema ([[Polynom och faktorisering]]); (b) är en ekvation med absolutbelopp som delas upp i fall ([[Funktioner]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Multiplicera inte med $x - 2$, eftersom tecknet är okänt. Flytta allt till ena sidan och skriv på gemensamt bråkstreck. (b) Beloppen byter uttryck vid $x = -1$ och $x = 1$, så undersök tre intervall.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $x + 3 - \dfrac{4x - 2}{x - 2} = \dfrac{x^2 - 3x - 4}{x - 2} = \dfrac{(x + 1)(x - 4)}{x - 2}$. (b) För $x\ge 1$ blir vänsterledet $x + 3$ identiskt.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $x\ne 2$. Allt på ena sidan och gemensam nämnare:
> $$
> \dfrac{(x + 3)(x - 2) - (4x - 2)}{x - 2} = \dfrac{x^2 - 3x - 4}{x - 2} = \dfrac{(x + 1)(x - 4)}{x - 2}\le 0
> $$
> Teckenschema med brytpunkterna $-1$, $2$ och $4$:
>
> | | $x < -1$ | $-1$ | $-1 < x < 2$ | $2$ | $2 < x < 4$ | $4$ | $x > 4$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $x + 1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 2$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 4$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | kvot | $-$ | $0$ | $+$ | odef. | $-$ | $0$ | $+$ |
>
> $$
> \boxed{x\le -1 \ \text{ eller } \ 2 < x\le 4}
> $$
>
> **(b)** $|2x + 2| = 2x + 2$ för $x\ge -1$ och $-2x - 2$ annars; $|x - 1| = x - 1$ för $x\ge 1$ och $1 - x$ annars.
>
> - $x\ge 1$: $(2x + 2) - (x - 1) = x + 3$, vilket gäller för alla $x$ i intervallet.
> - $-1\le x < 1$: $(2x + 2) - (1 - x) = 3x + 1 = x + 3 \iff x = 1$, som inte ligger i intervallet.
> - $x < -1$: $(-2x - 2) - (1 - x) = -x - 3 = x + 3 \iff x = -3$, som ligger i intervallet.
>
> $$
> \boxed{x = -3 \ \text{ eller } \ x\ge 1}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Logaritmekvation och trigonometrisk ekvation

Finn alla lösningar $x$ till ekvationerna

(a)
$$
\log_2(x - 5) + \log_2(x + 2) - \log_2(x - 4) = 2
$$
*Anmärkning:* $\log_2 t = {}^2\!\log t$. *(2p)*

(b)
$$
\cos 2x = 3\cos x + 1
$$
*(3p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är en ekvation med [[Exponentialfunktioner och logaritmer|logaritmer]]; (b) är en [[Trigonometriska ekvationer|trigonometrisk ekvation]] som blir en andragradsekvation.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Bestäm först var vänsterledet är definierat, slå sedan ihop med logaritmlagarna. (b) Skriv $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ ([[Trigonometri]]) och sätt $t = \cos x$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $\dfrac{(x - 5)(x + 2)}{x - 4} = 4$ med villkoret $x > 5$. (b) $2t^2 - 3t - 2 = 0$, och kom ihåg att $-1\le t\le 1$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Alla tre logaritmerna är definierade om $x > 5$. Då är
> $$
> \log_2\dfrac{(x - 5)(x + 2)}{x - 4} = 2 \iff (x - 5)(x + 2) = 4(x - 4) \iff x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) = 0
> $$
> Bara $x = 6$ uppfyller $x > 5$:
> $$
> \boxed{x = 6}
> $$
>
> **(b)** Med $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ och $t = \cos x$:
> $$
> 2t^2 - 1 = 3t + 1 \iff 2t^2 - 3t - 2 = 0 \iff t = \dfrac34\pm\dfrac54
> $$
> alltså $t = 2$ eller $t = -\dfrac12$. Eftersom $|\cos x|\le 1$ återstår $\cos x = -\dfrac12$:
> $$
> \boxed{x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^4 - 2^x}{x^2 - 4^x}
$$
*(1p)*

(b) Bestäm konstanten $a$ så att gränsvärdet existerar och är ändligt. Beräkna sedan gränsvärdet.
$$
\lim_{x\to 2}\left(\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{5x - a}{x^2 - 4}\right)
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{10 - 3x} - \sqrt{x + 2}}{x - 2}
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är ett [[Oegentliga gränsvärden|gränsvärde mot oändligheten]] där exponentialfunktioner dominerar potenser; (b) och (c) är [[Gränsvärden|gränsvärden]] av typen $\tfrac00$ som ska förenklas.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Bryt ut den snabbast växande termen, $4^x$, i täljare och nämnare. (b) Skriv på gemensam nämnare $(x - 2)(x + 2)$. (c) Förläng med konjugatet $\sqrt{10 - 3x} + \sqrt{x + 2}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (b) Täljaren blir $4 + a - 3x$; för ett ändligt gränsvärde måste den vara noll i $x = 2$. (c) Täljaren blir $(10 - 3x) - (x + 2) = -4(x - 2)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Division med $4^x$:
> $$
> \dfrac{x^4 - 2^x}{x^2 - 4^x} = \dfrac{\dfrac{x^4}{4^x} - \left(\dfrac12\right)^x}{\dfrac{x^2}{4^x} - 1}\to\dfrac{0 - 0}{0 - 1} = \boxed{0}
> $$
> eftersom en potens domineras av en exponentialfunktion.
>
> **(b)** Gemensam nämnare:
> $$
> \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{5x - a}{x^2 - 4} = \dfrac{2(x + 2) - (5x - a)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{4 + a - 3x}{(x - 2)(x + 2)}
> $$
> Nämnaren går mot $0$ när $x\to 2$. Gränsvärdet kan bara bli ändligt om täljaren också går mot $0$, alltså $4 + a - 6 = 0$, dvs. $a = 2$. Då är täljaren $6 - 3x = -3(x - 2)$ och
> $$
> \lim_{x\to 2}\dfrac{-3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x\to 2}\dfrac{-3}{x + 2} = -\dfrac34
> $$
> $$
> \boxed{a = 2, \quad \text{gränsvärdet} = -\dfrac34}
> $$
>
> **(c)** Förlängning med konjugatet:
> $$
> \dfrac{\sqrt{10 - 3x} - \sqrt{x + 2}}{x - 2} = \dfrac{(10 - 3x) - (x + 2)}{(x - 2)\left(\sqrt{10 - 3x} + \sqrt{x + 2}\right)} = \dfrac{-4}{\sqrt{10 - 3x} + \sqrt{x + 2}}
> $$
> $$
> \to\dfrac{-4}{\sqrt4 + \sqrt4} = \boxed{-1}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Tangenter genom en punkt utanför parabeln

Finn alla tangenter till kurvan
$$
y = f(x) = 3 + 4x - x^2
$$
som går genom punkten $(1, 10)$. **Ledning:** ligger punkten på kurvan?

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Tangentens ekvation med [[Derivata|derivatan]] som lutning, men tangeringspunkten är okänd.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $f(1) = 6\ne 10$, så punkten ligger inte på kurvan. Låt tangeringspunkten vara $(a, f(a))$; tangenten är $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Kräv att $(1, 10)$ ligger på tangenten. Det ger en andragradsekvation i $a$: $a^2 - 2a - 3 = 0$.

> [!note]- Lösning
> $f(1) = 3 + 4 - 1 = 6\ne 10$, så $(1, 10)$ är ingen tangeringspunkt. Låt tangeringspunkten vara $(a, f(a))$. Då är $f'(a) = 4 - 2a$ och enpunktsformeln ger
> $$
> y = (3 + 4a - a^2) + (4 - 2a)(x - a) = (4 - 2a)x + a^2 + 3
> $$
> Tangenten ska gå genom $(1, 10)$:
> $$
> 10 = (4 - 2a) + a^2 + 3 \iff a^2 - 2a - 3 = (a + 1)(a - 3) = 0
> $$
> $a = -1$ (tangeringspunkt $(-1, -2)$) och $a = 3$ (tangeringspunkt $(3, 6)$) ger
> $$
> \boxed{y = 6x + 4 \quad\text{och}\quad y = 12 - 2x}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $x^2(x-2)e^{-x}$

Definiera funktionen
$$
y = f(x) = x^2(x - 2)e^{-x}.
$$

(a) Bestäm lokala extremvärden och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentligt teckenschema. Skissera kurvan. Konvexitet behöver ej beaktas. *(4p)*

(b) Bestäm hur många olika lösningar ekvationen
$$
x^2(x - 2)e^{-x} = C
$$
har för alla värden på talet $C\in\mathbb{R}$. Motivera! *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: gränsvärden i $\pm\infty$, derivata och teckenschema för [[Extremvärden|extremvärden]]. (b) räknar skärningar med en vågrät linje ([[Ekvationslösning med derivata]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $f$ är definierad på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter. Undersök $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$ och, åt vänster, $\lim f(x)/x$. Derivera $f = (x^3 - 2x^2)e^{-x}$ med produktregeln.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = -x(x - 1)(x - 4)e^{-x}$. Jämför $C$ med de lokala extremvärdena $f(0) = 0$, $f(1) = -1/e$ och $f(4) = 32/e^4$.

> [!note]- Lösning
> **(a) Asymptoter.** $f$ är kontinuerlig på $\mathbb{R}$, så lodräta asymptoter saknas.
> $$
> \lim_{x\to\infty}x^2(x - 2)e^{-x} = \lim_{x\to\infty}\left(1 - \dfrac2x\right)\dfrac{x^3}{e^x} = 0
> $$
> eftersom exponentialfunktionen dominerar. Alltså är $y = 0$ vågrät asymptot åt höger. Åt vänster gäller $f(x)\to -\infty$ och
> $$
> \lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to -\infty}x(x - 2)e^{-x} = +\infty
> $$
> så där finns ingen sned asymptot.
>
> **Derivata.**
> $$
> f'(x) = (3x^2 - 4x)e^{-x} - (x^3 - 2x^2)e^{-x} = (-x^3 + 5x^2 - 4x)e^{-x} = -x(x - 1)(x - 4)e^{-x}
> $$
> Kritiska punkter: $x = 0$, $1$ och $4$.
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < 1$ | $1$ | $1 < x < 4$ | $4$ | $x > 4$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $-x$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
> | $x - 1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 4$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $e^{-x}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ |
>
> $$
> \boxed{\text{lok. max } f(0) = 0 \text{ och } f(4) = \dfrac{32}{e^4}, \quad \text{lok. min } f(1) = -\dfrac1e}
> $$
> $$
> \boxed{\text{asymptot } y = 0 \text{ då } x\to\infty; \text{ inga andra asymptoter}}
> $$
> $f(4) = 32/e^4$ är globalt maximum; globalt minimum saknas eftersom $f\to -\infty$ åt vänster. Nollställena är $x = 0$ och $x = 2$, och $f(x) > 0$ bara för $x > 2$.
>
> **(b)** Antalet lösningar är antalet skärningar mellan kurvan och linjen $y = C$. Ur teckenschemat och gränsvärdena ($-\dfrac1e < 0 < \dfrac{32}{e^4}$):
> $$
> \boxed{\begin{array}{ll}
> C > \dfrac{32}{e^4}: & \text{ingen lösning}\\[4pt]
> C = \dfrac{32}{e^4}: & \text{en lösning } (x = 4)\\[4pt]
> 0\le C < \dfrac{32}{e^4}: & \text{två lösningar}\\[4pt]
> -\dfrac1e < C < 0: & \text{tre lösningar}\\[4pt]
> C = -\dfrac1e: & \text{två lösningar}\\[4pt]
> C < -\dfrac1e: & \text{en lösning}
> \end{array}}
> $$
> För $C = 0$ är lösningarna $x = 0$ och $x = 2$; för $0 < C < 32/e^4$ en i $(2, 4)$ och en i $(4, \infty)$. För $-1/e < C < 0$ finns en lösning i vardera $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ och $(1, 2)$.
>
> **Skiss.**
>
> ![[tenta251029-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Största triangeln under en tangent till $e^{-x}$

Betrakta funktionen
$$
f(x) = e^{-x}, \quad x\ge 0.
$$

(a) Låt $P = (a, f(a))$ vara en punkt på grafen till $y = f(x)$. Finn ett uttryck för tangenten till kurvan $y = f(x)$ genom $P$. *(1p)*

(b) Ställ upp ett uttryck för arean $A$ (som funktion av $a$) av triangeln som begränsas av koordinataxlarna och tangenten till kurvan $f$ genom punkten $P$. *(1p)*

![[tenta251029-uppgift6-triangel.png|520]]

*Figuren är omritad efter originalet (här med $a=1$).*

(c) Finn det värde $a\in[0, \infty)$ för vilket arean $A$ av triangeln ovan är maximal. *(3p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> En optimeringsuppgift: tangent med [[Derivata|derivatan]] och sedan [[Extremvärden|största värde]] på ett intervall.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Tangenten är $y = e^{-a} - e^{-a}(x - a)$. Triangelns kateter är tangentens skärningar med axlarna, och arean är halva produkten.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $A(a) = \dfrac{(a + 1)^2e^{-a}}{2}$. Jämför kritiska punkter i intervallet med $A(0)$ och $\lim_{a\to\infty}A(a)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $f'(x) = -e^{-x}$, så lutningen i $P = (a, e^{-a})$ är $-e^{-a}$ och
> $$
> y - e^{-a} = -e^{-a}(x - a) \iff \boxed{y = (a + 1 - x)e^{-a}}
> $$
>
> **(b)** Tangenten skär $x$-axeln i $x_0 = a + 1$ och $y$-axeln i $y_0 = (a + 1)e^{-a}$. Triangelns area är
> $$
> \boxed{A(a) = \dfrac{x_0y_0}{2} = \dfrac{(a + 1)^2e^{-a}}{2}}
> $$
>
> **(c)** Derivatan:
> $$
> A'(a) = \dfrac12\left(2(a + 1) - (a + 1)^2\right)e^{-a} = \dfrac{(1 + a)(1 - a)}{2}e^{-a}
> $$
> Den enda kritiska punkten i $[0, \infty)$ är $a = 1$; $A' > 0$ för $0\le a < 1$ och $A' < 0$ för $a > 1$. Jämför med ändpunkterna:
> $$
> A(0) = \dfrac12, \qquad A(1) = \dfrac{4e^{-1}}{2} = \dfrac2e, \qquad \lim_{a\to\infty}A(a) = 0
> $$
> Eftersom $e < 4$ är $\dfrac2e > \dfrac24 = \dfrac12$, så maximum antas i $a = 1$:
> $$
> \boxed{a = 1, \quad A_{\max} = \dfrac2e}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Polynom och faktorisering]]
- [[Exponentialfunktioner och logaritmer]]
- [[Trigonometriska ekvationer]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Derivata]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Ekvationslösning med derivata]]