M0065M-ovningstenta

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: — (övningstenta, odaterad) Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0065m_ovntenta.pdf, m0065m_ovntentasols.pdf)

Översikt

• Uppgift 1: olikhet med absolutbelopp och rationell ekvation
• Uppgift 2: exponentialekvation via hjälpvariabel och trigonometrisk ekvation via hjälpvinkel
• Uppgift 3: tre gränsvärden: $\tan$-kvot, absolutbelopp och exponentialfunktioner
• Uppgift 4: bestäm $k$ så att $e^x$ och $\sqrt{x+k}$ tangerar varandra, och den gemensamma tangenten
• Uppgift 5: kurvundersökning av $\frac{x^3-2x^2}{(x+1{)}^2}$ med extremvärden, inflexionspunkt, asymptoter och värdemängd
• Uppgift 6: invers, taylorpolynom för $\ln \frac{1+x}{1-x}$ och en approximation av $\ln 2$

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. Olikhet med absolutbelopp och rationell ekvation

För vilka $x$ är

(a) olikheten

$$x+|x-3|\ge |x+1|+1$$

uppfylld? (3p)

(b) ekvationen

$$\frac{x^2+4x+5}{x^2-1}-\frac{x+3}{x-1}=x-\frac{x+2}{x+1}$$

uppfylld? (2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) är en olikhet med absolutbelopp som delas upp i fall (Funktioner); (b) är en rationell ekvation som skrivs på gemensamt bråkstreck och faktoriseras (Polynom och faktorisering).

Ledtråd 2

(a) Beloppen byter uttryck vid $x=-1$ och $x=3$, så undersök tre intervall. (b) Notera att $x\ne \pm 1$, flytta allt till ena sidan och använd den gemensamma nämnaren $(x-1)(x+1)$.

Ledtråd 3

(a) För $-1\le x<3$ blir olikheten $3\ge x+2$. (b) Täljaren blir $-x^3+x^2+2x=-x(x+1)(x-2)$.

Lösning

(a) $|x-3|=x-3$ för $x\ge 3$ och $3-x$ annars; $|x+1|=x+1$ för $x\ge -1$ och $-x-1$ annars.

• $x\ge 3$: $x+(x-3)\ge (x+1)+1⟺2x-3\ge x+2⟺x\ge 5$.
• $-1\le x<3$: $x+(3-x)\ge (x+1)+1⟺3\ge x+2⟺x\le 1$, alltså $-1\le x\le 1$.
• $x<-1$: $x+(3-x)\ge (-x-1)+1⟺3\ge -x⟺x\ge -3$, alltså $-3\le x<-1$.

$$\boxed{-3\le x\le 1\text{ eller }x\ge 5}$$

(b) Uttrycket är odefinierat för $x=\pm 1$. Allt på ena sidan och gemensam nämnare $(x-1)(x+1)$:

$$\frac{(x^2+4x+5)-(x+3)(x+1)+(x+2)(x-1)-x(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=0$$

Täljaren är

$$x^2+4x+5-(x^2+4x+3)+(x^2+x-2)-(x^3-x)=-x^3+x^2+2x=-x(x+1)(x-2)$$

Den är noll för $x=0$, $x=-1$ och $x=2$, men $x=-1$ är förbjudet:

$$\boxed{x=0\text{ eller }x=2}$$

Kontrollerat mot facit.

---

2. Exponentialekvation och trigonometrisk ekvation

Finn alla lösningar $x$ till ekvationerna

(a)

$$2^{x+1}-2^{5-x}=12.$$

(2p)

(b)

$$2\sin 2x+\sqrt{12}\cos 2x=2.$$

(3p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) är en ekvation med exponentialfunktioner som blir en andragradsekvation; (b) är en trigonometrisk ekvation där $\sin$ och $\cos$ slås ihop till en enda sinusfunktion.

Ledtråd 2

(a) Skriv $2^{x+1}=2\cdot 2^x$ och $2^{5-x}=\frac{32}{2^x}$, och sätt $t=2^x>0$. (b) Dela med $2$ och skriv $\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=A\sin (2x+\phi )$ med additionsformeln (Trigonometri).

Ledtråd 3

(a) $t^2-6t-16=0$. (b) $A=2$ och $\phi =\frac{\pi }{3}$, så ekvationen blir $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.

Lösning

(a) Med $t=2^x>0$:

$$2t-\frac{32}{t}=12⟺2t^2-12t-32=0⟺t^2-6t-16=(t+2)(t-8)=0$$

Eftersom $t>0$ återstår $t=8=2^3$:

$$\boxed{x=3}$$

(b) Division med $2$ ger $\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=1$. Sök $A$ och $\phi$ med

$$A\sin (2x+\phi )=(A\cos \phi )\sin 2x+(A\sin \phi )\cos 2x$$

alltså $A\cos \phi =1$ och $A\sin \phi =\sqrt{3}$. Kvadrering och addition ger $A^2=4$, så $A=2$, $\cos \phi =\frac{1}{2}$ och $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, dvs. $\phi =\frac{\pi }{3}$. Ekvationen blir

$$\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}⟺2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{ eller }2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$$

dvs. $2x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ eller $2x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$:

$$\boxed{x=-\frac{\pi }{12}+\pi n\text{ eller }x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

3. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l’Hôpitals regler):

(a)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{\tan 2x}.$$

(1p)

(b)

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{|3x+1|-|2x-6|}{x-1}.$$

(2p)

(c)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6^x-3^x}{4^x-1}.$$

(2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Alla tre är gränsvärden av typen $\frac{0}{0}$ som ska förenklas algebraiskt.

Ledtråd 2

(a) Skriv $\tan =\frac{\sin }{\cos }$ och använd $\sin 2x=2\sin x\cos x$ (Trigonometri). (b) Nära $x=1$ är $3x+1>0$ och $2x-6<0$, så beloppen kan tas bort. (c) Skriv $6^x=2^x\cdot 3^x$ och $4^x=(2^x{)}^2$ (Exponentialfunktioner och logaritmer).

Ledtråd 3

(a) Kvoten blir $\frac{\cos 2x}{2{\cos }^{2}x}$. (b) Täljaren blir $5(x-1)$. (c) Faktorn $2^x-1$ finns i både täljare och nämnare.

Lösning

(a)

$$\frac{\tan x}{\tan 2x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}=\frac{\cos 2x}{2{\cos }^{2}x}\to \frac{1}{2}$$ $$\boxed{\frac{1}{2}}$$

(b) För $-\frac{1}{3}<x<3$ är $|3x+1|=3x+1$ och $|2x-6|=6-2x$. Eftersom $x\to 1$ ligger $x$ i det intervallet:

$$\frac{(3x+1)-(6-2x)}{x-1}=\frac{5(x-1)}{x-1}=5$$ $$\boxed{5}$$

(c)

$$\frac{6^x-3^x}{4^x-1}=\frac{2^x\cdot 3^x-3^x}{(2^x{)}^2-1}=\frac{(2^x-1)\cdot 3^x}{(2^x-1)(2^x+1)}=\frac{3^x}{2^x+1}\to \frac{3^0}{2^0+1}=\frac{1}{2}$$ $$\boxed{\frac{1}{2}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

4. Tangerande kurvor $e^x$ och $\sqrt{x+k}$

Låt $k>0$ och definiera

$$f(x)=e^x,g(x)=\sqrt{x+k},\text{ fo¨r }x\ge -k.$$

(a) Finn det $k$ som gör att funktionerna $f$ och $g$ tangerar varandra i en punkt. (4p) Ledning: två funktioner tangerar varandra om de i en skärningspunkt $x=a$ har samma tangent.

(b) Bestäm funktionernas gemensamma tangent för detta värde på $k$. (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Två kurvor tangerar varandra när både funktionsvärdena och derivatorna är lika i samma punkt (Elementära funktioners derivator).

Ledtråd 2

Ställ upp systemet $f(a)=g(a)$ och $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$, dvs. $e^a=\sqrt{a+k}$ och $e^a=\frac{1}{2\sqrt{a+k}}$. Att $f$ är konvex och $g$ konkav (Andraderivata och konvexitet) gör att det finns precis ett sådant $k$.

Ledtråd 3

Sätt de två högerleden lika: $\sqrt{a+k}=\frac{1}{2\sqrt{a+k}}$ ger $a+k=\frac{1}{2}$.

Lösning

(a) $f^{\prime }(x)=e^x>0$, $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$, $g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+k}}>0$ och $g^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4(x+k{)}^{3/2}}<0$. Båda är växande, $f$ är konvex och $g$ konkav, så det finns precis ett $k$ där kurvorna tangerar varandra.

Tangering i $x=a$ kräver $f(a)=g(a)$ och $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$:

$$e^a=\sqrt{a+k},e^a=\frac{1}{2\sqrt{a+k}}$$

Alltså $\sqrt{a+k}=\frac{1}{2\sqrt{a+k}}$, dvs. $a+k=\frac{1}{2}$. Då är $e^a=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, så

$$a=\ln \frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\ln 2}{2},k=\frac{1}{2}-a=\frac{1+\ln 2}{2}$$ $$\boxed{k=\frac{1+\ln 2}{2}}$$

Tangeringspunkten är $\left(-\frac{\ln 2}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

(b) Lutningen är $f^{\prime }(a)=e^a=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Enpunktsformeln ger

$$y-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+\frac{\ln 2}{2}\right)⟺\boxed{y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+1+\frac{\ln 2}{2}\right)}$$

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvundersökning av en rationell funktion

Betrakta funktionen

$$y=f(x)=\frac{x^3-2x^2}{(x+1{)}^2},x\ne -1.$$

Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Ange funktionens värdemängd $V_f$. Skissera kurvan. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvundersökning: asymptoter, extremvärden med teckenschema för $f^{\prime }$ och inflexionspunkter med teckenschema för $f^{\prime \prime }$ (Andraderivata och konvexitet).

Ledtråd 2

Polynomdivision ger den sneda asymptoten. Nämnaren är noll i $x=-1$, vilket ger en lodrät asymptot. Derivera med kvotregeln och förkorta med $x+1$.

Ledtråd 3

$f(x)=x-4+\frac{7x+4}{(x+1{)}^2}$, $f^{\prime }(x)=\frac{x(x+4)(x-1)}{(x+1{)}^3}$ och $f^{\prime \prime }(x)=\frac{14x-4}{(x+1{)}^4}$.

Lösning

Asymptoter. Polynomdivision ger

$$f(x)=\frac{x^3-2x^2}{x^2+2x+1}=x-4+\frac{7x+4}{(x+1{)}^2}$$

och $\frac{7x+4}{(x+1{)}^2}\to 0$ då $x\to \pm \infty$. Alltså är $y=x-4$ sned asymptot åt båda hållen. I $x=-1$ går täljaren mot $-3$ och nämnaren mot $0^{+}$, så

$$\underset{x\to -1^{\pm }}{\lim }f(x)=-\infty$$

och $x=-1$ är lodrät asymptot. Vågrät asymptot saknas.

Derivata. Kvotregeln och förkortning med $x+1$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{(3x^2-4x)(x+1)-2(x^3-2x^2)}{(x+1{)}^3}=\frac{x^3+3x^2-4x}{(x+1{)}^3}=\frac{x(x+4)(x-1)}{(x+1{)}^3}$$

Kritiska punkter: $x=-4$, $0$ och $1$.

	$x<-4$	$-4$	$-4<x<-1$	$-1$	$-1<x<0$	$0$	$0<x<1$	$1$	$x>1$
$x$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x+4$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x+1{)}^3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	odef.	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	asymptot	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$

$$f(-4)=\frac{-64-32}{9}=-\frac{32}{3},f(0)=0,f(1)=\frac{1-2}{4}=-\frac{1}{4}$$

Andraderivata.

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{(3x^2+6x-4)(x+1)-3(x^3+3x^2-4x)}{(x+1{)}^4}=\frac{14x-4}{(x+1{)}^4}=\frac{14\left(x-\frac{2}{7}\right)}{(x+1{)}^4}$$

	$x<-1$	$-1$	$-1<x<\frac{2}{7}$	$\frac{2}{7}$	$x>\frac{2}{7}$
$14\left(x-\frac{2}{7}\right)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x+1{)}^4$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime \prime }(x)$	$-$	odef.	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	konkav	asymptot	konkav	infl.	konvex

$f\left(\frac{2}{7}\right)=-\frac{16}{189}$.

Värdemängd. $f$ är kontinuerlig på $(-1,\infty )$ med $f\to -\infty$ då $x\to -1^{+}$ och $f\to \infty$ då $x\to \infty$, så redan där antas alla reella värden.

$$\boxed{\begin{array}{l}\text{lok. max }f(-4)=-\frac{32}{3}\text{ och }f(0)=0,\text{lok. min }f(1)=-\frac{1}{4}\\ \text{inflexionspunkt }\left(\frac{2}{7},-\frac{16}{189}\right)\\ \text{asymptoter }x=-1\text{ och }y=x-4\\ V_f=\mathbb{R}\end{array}}$$

Skiss.

Kontrollerat mot facit.

---

6. Taylorpolynom och en approximation av $\ln 2$

Sätt $x\in (-1,1)$ och definiera

$$f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}.$$

(a) Vad är

$$f^{-1}(\ln 2)?$$

(1p)

(b) Finn tredje ordningens taylorpolynom $P_3(x)$ till $f(x)$ kring punkten $0$. Lagranges restterm behöver ej bestämmas. (3p)

(c) Använd taylorpolynomet $P_3$ du funnit ovan i lämplig punkt för att finna ett approximativt värde av $\ln 2$. Ledning: Uppgift 6.(a). (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) handlar om inversen; (b) och (c) är Taylors formel.

Ledtråd 2

(a) $y=f^{-1}(\ln 2)$ betyder $f(y)=\ln 2$. (b) Beräkna $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$ och $f^{\prime \prime \prime }$ i $0$ och sätt in i $P_3(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3$.

Ledtråd 3

(a) $\frac{1+y}{1-y}=2$. (b) $f^{\prime }(x)=\frac{2}{1-x^2}$, vilket gör de högre derivatorna enkla. (c) $\ln 2=f\left(\frac{1}{3}\right)$.

Lösning

(a) $y=f^{-1}(\ln 2)$ betyder

$$\ln \frac{1+y}{1-y}=\ln 2⟺1+y=2(1-y)⟺y=\frac{1}{3}$$ $$\boxed{f^{-1}(\ln 2)=\frac{1}{3}}$$

(b) Med $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{1-x^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{4x}{(1-x^2{)}^2},f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{4(1+3x^2)}{(1-x^2{)}^3}$$

I $x=0$: $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=2$, $f^{\prime \prime }(0)=0$ och $f^{\prime \prime \prime }(0)=4$. Alltså

$$P_3(x)=0+2x+\frac{0}{2}{x}^2+\frac{4}{6}{x}^3⟹\boxed{P_3(x)=2x+\frac{2}{3}{x}^3}$$

(c) Enligt (a) är $\ln 2=f\left(\frac{1}{3}\right)$, och $\frac{1}{3}$ ligger nära $0$:

$$\ln 2\approx P_3\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{27}=\frac{54+2}{81}$$ $$\boxed{\ln 2\approx \frac{56}{81}}$$

Anmärkning: Lagranges restterm med $f^{(4)}(x)=\frac{48x(1+x^2)}{(1-x^2{)}^4}$, som är växande på $[0,1)$, ger felet högst $\frac{f^{(4)}(1/3)}{4!\cdot 3^4}=\frac{15}{2^{10}}\approx 0,015$. Det verkliga felet är ungefär $0,0018$.

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• M0065M
• Funktioner
• Polynom och faktorisering
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Trigonometri
• Trigonometriska ekvationer
• Gränsvärden
• Derivata
• Elementära funktioners derivator
• Extremvärden
• Andraderivata och konvexitet
• Grafritning och asymptoter
• Funktioner och invers
• Taylors formel