---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
typ: tenta
aliases:
  - Övningstenta M0065M
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** — (övningstenta, odaterad)
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0065m_ovntenta.pdf, m0065m_ovntentasols.pdf)

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: olikhet med absolutbelopp och rationell ekvation
> - Uppgift 2: exponentialekvation via hjälpvariabel och trigonometrisk ekvation via hjälpvinkel
> - Uppgift 3: tre gränsvärden: $\tan$-kvot, absolutbelopp och exponentialfunktioner
> - Uppgift 4: bestäm $k$ så att $e^x$ och $\sqrt{x + k}$ tangerar varandra, och den gemensamma tangenten
> - Uppgift 5: kurvundersökning av $\dfrac{x^3 - 2x^2}{(x + 1)^2}$ med extremvärden, inflexionspunkt, asymptoter och värdemängd
> - Uppgift 6: invers, taylorpolynom för $\ln\dfrac{1 + x}{1 - x}$ och en approximation av $\ln 2$

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Olikhet med absolutbelopp och rationell ekvation

För vilka $x$ är

(a) olikheten
$$
x + |x - 3| \ge |x + 1| + 1
$$
uppfylld? *(3p)*

(b) ekvationen
$$
\dfrac{x^2 + 4x + 5}{x^2 - 1} - \dfrac{x + 3}{x - 1} = x - \dfrac{x + 2}{x + 1}
$$
uppfylld? *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är en olikhet med absolutbelopp som delas upp i fall ([[Funktioner]]); (b) är en rationell ekvation som skrivs på gemensamt bråkstreck och faktoriseras ([[Polynom och faktorisering]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Beloppen byter uttryck vid $x = -1$ och $x = 3$, så undersök tre intervall. (b) Notera att $x\ne\pm 1$, flytta allt till ena sidan och använd den gemensamma nämnaren $(x - 1)(x + 1)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) För $-1\le x < 3$ blir olikheten $3\ge x + 2$. (b) Täljaren blir $-x^3 + x^2 + 2x = -x(x + 1)(x - 2)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $|x - 3| = x - 3$ för $x\ge 3$ och $3 - x$ annars; $|x + 1| = x + 1$ för $x\ge -1$ och $-x - 1$ annars.
>
> - $x\ge 3$: $x + (x - 3)\ge (x + 1) + 1 \iff 2x - 3\ge x + 2 \iff x\ge 5$.
> - $-1\le x < 3$: $x + (3 - x)\ge (x + 1) + 1 \iff 3\ge x + 2 \iff x\le 1$, alltså $-1\le x\le 1$.
> - $x < -1$: $x + (3 - x)\ge (-x - 1) + 1 \iff 3\ge -x \iff x\ge -3$, alltså $-3\le x < -1$.
>
> $$
> \boxed{-3\le x\le 1 \ \text{ eller } \ x\ge 5}
> $$
>
> **(b)** Uttrycket är odefinierat för $x = \pm 1$. Allt på ena sidan och gemensam nämnare $(x - 1)(x + 1)$:
> $$
> \dfrac{(x^2 + 4x + 5) - (x + 3)(x + 1) + (x + 2)(x - 1) - x(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0
> $$
> Täljaren är
> $$
> x^2 + 4x + 5 - (x^2 + 4x + 3) + (x^2 + x - 2) - (x^3 - x) = -x^3 + x^2 + 2x = -x(x + 1)(x - 2)
> $$
> Den är noll för $x = 0$, $x = -1$ och $x = 2$, men $x = -1$ är förbjudet:
> $$
> \boxed{x = 0 \ \text{ eller } \ x = 2}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Exponentialekvation och trigonometrisk ekvation

Finn alla lösningar $x$ till ekvationerna

(a)
$$
2^{x + 1} - 2^{5 - x} = 12.
$$
*(2p)*

(b)
$$
2\sin 2x + \sqrt{12}\cos 2x = 2.
$$
*(3p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är en ekvation med [[Exponentialfunktioner och logaritmer|exponentialfunktioner]] som blir en andragradsekvation; (b) är en [[Trigonometriska ekvationer|trigonometrisk ekvation]] där $\sin$ och $\cos$ slås ihop till en enda sinusfunktion.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Skriv $2^{x + 1} = 2\cdot 2^x$ och $2^{5 - x} = \dfrac{32}{2^x}$, och sätt $t = 2^x > 0$. (b) Dela med $2$ och skriv $\sin 2x + \sqrt3\cos 2x = A\sin(2x + \varphi)$ med additionsformeln ([[Trigonometri]]).
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $t^2 - 6t - 16 = 0$. (b) $A = 2$ och $\varphi = \dfrac{\pi}{3}$, så ekvationen blir $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac12$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Med $t = 2^x > 0$:
> $$
> 2t - \dfrac{32}{t} = 12 \iff 2t^2 - 12t - 32 = 0 \iff t^2 - 6t - 16 = (t + 2)(t - 8) = 0
> $$
> Eftersom $t > 0$ återstår $t = 8 = 2^3$:
> $$
> \boxed{x = 3}
> $$
>
> **(b)** Division med $2$ ger $\sin 2x + \sqrt3\cos 2x = 1$. Sök $A$ och $\varphi$ med
> $$
> A\sin(2x + \varphi) = (A\cos\varphi)\sin 2x + (A\sin\varphi)\cos 2x
> $$
> alltså $A\cos\varphi = 1$ och $A\sin\varphi = \sqrt3$. Kvadrering och addition ger $A^2 = 4$, så $A = 2$, $\cos\varphi = \dfrac12$ och $\sin\varphi = \dfrac{\sqrt3}{2}$, dvs. $\varphi = \dfrac{\pi}{3}$. Ekvationen blir
> $$
> \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac12 \iff 2x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n \ \text{ eller } \ 2x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n
> $$
> dvs. $2x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $2x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$:
> $$
> \boxed{x = -\dfrac{\pi}{12} + \pi n \ \text{ eller } \ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, \quad n\in\mathbb{Z}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{\tan 2x}.
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to 1}\dfrac{|3x + 1| - |2x - 6|}{x - 1}.
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{6^x - 3^x}{4^x - 1}.
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Alla tre är [[Gränsvärden|gränsvärden]] av typen $\tfrac00$ som ska förenklas algebraiskt.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Skriv $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$ och använd $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ ([[Trigonometri]]). (b) Nära $x = 1$ är $3x + 1 > 0$ och $2x - 6 < 0$, så beloppen kan tas bort. (c) Skriv $6^x = 2^x\cdot 3^x$ och $4^x = (2^x)^2$ ([[Exponentialfunktioner och logaritmer]]).
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) Kvoten blir $\dfrac{\cos 2x}{2\cos^2 x}$. (b) Täljaren blir $5(x - 1)$. (c) Faktorn $2^x - 1$ finns i både täljare och nämnare.

> [!note]- Lösning
> **(a)**
> $$
> \dfrac{\tan x}{\tan 2x} = \dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x} = \dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\cos 2x}{2\sin x\cos x} = \dfrac{\cos 2x}{2\cos^2 x}\to\dfrac{1}{2}
> $$
> $$
> \boxed{\dfrac12}
> $$
>
> **(b)** För $-\dfrac13 < x < 3$ är $|3x + 1| = 3x + 1$ och $|2x - 6| = 6 - 2x$. Eftersom $x\to 1$ ligger $x$ i det intervallet:
> $$
> \dfrac{(3x + 1) - (6 - 2x)}{x - 1} = \dfrac{5(x - 1)}{x - 1} = 5
> $$
> $$
> \boxed{5}
> $$
>
> **(c)**
> $$
> \dfrac{6^x - 3^x}{4^x - 1} = \dfrac{2^x\cdot 3^x - 3^x}{(2^x)^2 - 1} = \dfrac{(2^x - 1)\cdot 3^x}{(2^x - 1)(2^x + 1)} = \dfrac{3^x}{2^x + 1}\to\dfrac{3^0}{2^0 + 1} = \dfrac12
> $$
> $$
> \boxed{\dfrac12}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Tangerande kurvor $e^x$ och $\sqrt{x + k}$

Låt $k > 0$ och definiera
$$
f(x) = e^x, \qquad g(x) = \sqrt{x + k}, \ \text{ för } x\ge -k.
$$

(a) Finn det $k$ som gör att funktionerna $f$ och $g$ tangerar varandra i en punkt. *(4p)*
**Ledning:** två funktioner tangerar varandra om de i en skärningspunkt $x = a$ har samma tangent.

(b) Bestäm funktionernas gemensamma tangent för detta värde på $k$. *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Två kurvor tangerar varandra när både funktionsvärdena och [[Derivata|derivatorna]] är lika i samma punkt ([[Elementära funktioners derivator]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Ställ upp systemet $f(a) = g(a)$ och $f'(a) = g'(a)$, dvs. $e^a = \sqrt{a + k}$ och $e^a = \dfrac{1}{2\sqrt{a + k}}$. Att $f$ är konvex och $g$ konkav ([[Andraderivata och konvexitet]]) gör att det finns precis ett sådant $k$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Sätt de två högerleden lika: $\sqrt{a + k} = \dfrac{1}{2\sqrt{a + k}}$ ger $a + k = \dfrac12$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $f'(x) = e^x > 0$, $f''(x) = e^x > 0$, $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x + k}} > 0$ och $g''(x) = -\dfrac{1}{4(x + k)^{3/2}} < 0$. Båda är växande, $f$ är konvex och $g$ konkav, så det finns precis ett $k$ där kurvorna tangerar varandra.
>
> Tangering i $x = a$ kräver $f(a) = g(a)$ och $f'(a) = g'(a)$:
> $$
> e^a = \sqrt{a + k}, \qquad e^a = \dfrac{1}{2\sqrt{a + k}}
> $$
> Alltså $\sqrt{a + k} = \dfrac{1}{2\sqrt{a + k}}$, dvs. $a + k = \dfrac12$. Då är $e^a = \sqrt{\dfrac12} = \dfrac{1}{\sqrt2}$, så
> $$
> a = \ln\dfrac{1}{\sqrt2} = -\dfrac{\ln 2}{2}, \qquad k = \dfrac12 - a = \dfrac{1 + \ln 2}{2}
> $$
> $$
> \boxed{k = \dfrac{1 + \ln 2}{2}}
> $$
> Tangeringspunkten är $\left(-\dfrac{\ln 2}{2}, \dfrac{1}{\sqrt2}\right)$.
>
> **(b)** Lutningen är $f'(a) = e^a = \dfrac{1}{\sqrt2}$. Enpunktsformeln ger
> $$
> y - \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}\left(x + \dfrac{\ln 2}{2}\right) \iff \boxed{y = \dfrac{1}{\sqrt2}\left(x + 1 + \dfrac{\ln 2}{2}\right)}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvundersökning av en rationell funktion

Betrakta funktionen
$$
y = f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2}{(x + 1)^2}, \quad x\ne -1.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Ange funktionens värdemängd $V_f$. Skissera kurvan. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: asymptoter, [[Extremvärden|extremvärden]] med teckenschema för $f'$ och inflexionspunkter med teckenschema för $f''$ ([[Andraderivata och konvexitet]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Polynomdivision ger den sneda asymptoten. Nämnaren är noll i $x = -1$, vilket ger en lodrät asymptot. Derivera med kvotregeln och förkorta med $x + 1$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f(x) = x - 4 + \dfrac{7x + 4}{(x + 1)^2}$, $f'(x) = \dfrac{x(x + 4)(x - 1)}{(x + 1)^3}$ och $f''(x) = \dfrac{14x - 4}{(x + 1)^4}$.

> [!note]- Lösning
> **Asymptoter.** Polynomdivision ger
> $$
> f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2}{x^2 + 2x + 1} = x - 4 + \dfrac{7x + 4}{(x + 1)^2}
> $$
> och $\dfrac{7x + 4}{(x + 1)^2}\to 0$ då $x\to\pm\infty$. Alltså är $y = x - 4$ sned asymptot åt båda hållen. I $x = -1$ går täljaren mot $-3$ och nämnaren mot $0^+$, så
> $$
> \lim_{x\to -1^\pm}f(x) = -\infty
> $$
> och $x = -1$ är lodrät asymptot. Vågrät asymptot saknas.
>
> **Derivata.** Kvotregeln och förkortning med $x + 1$:
> $$
> f'(x) = \dfrac{(3x^2 - 4x)(x + 1) - 2(x^3 - 2x^2)}{(x + 1)^3} = \dfrac{x^3 + 3x^2 - 4x}{(x + 1)^3} = \dfrac{x(x + 4)(x - 1)}{(x + 1)^3}
> $$
> Kritiska punkter: $x = -4$, $0$ och $1$.
>
> | | $x < -4$ | $-4$ | $-4 < x < -1$ | $-1$ | $-1 < x < 0$ | $0$ | $0 < x < 1$ | $1$ | $x > 1$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $x$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x + 4$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $(x + 1)^3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | odef. | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ | asymptot | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ |
>
> $$
> f(-4) = \dfrac{-64 - 32}{9} = -\dfrac{32}{3}, \qquad f(0) = 0, \qquad f(1) = \dfrac{1 - 2}{4} = -\dfrac14
> $$
>
> **Andraderivata.**
> $$
> f''(x) = \dfrac{(3x^2 + 6x - 4)(x + 1) - 3(x^3 + 3x^2 - 4x)}{(x + 1)^4} = \dfrac{14x - 4}{(x + 1)^4} = \dfrac{14\left(x - \dfrac27\right)}{(x + 1)^4}
> $$
>
> | | $x < -1$ | $-1$ | $-1 < x < \dfrac27$ | $\dfrac27$ | $x > \dfrac27$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $14\left(x - \dfrac27\right)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $(x + 1)^4$ | $+$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f''(x)$ | $-$ | odef. | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | konkav | asymptot | konkav | infl. | konvex |
>
> $f\left(\dfrac27\right) = -\dfrac{16}{189}$.
>
> **Värdemängd.** $f$ är kontinuerlig på $(-1, \infty)$ med $f\to -\infty$ då $x\to -1^+$ och $f\to\infty$ då $x\to\infty$, så redan där antas alla reella värden.
>
> $$
> \boxed{\begin{array}{l}
> \text{lok. max } f(-4) = -\dfrac{32}{3} \text{ och } f(0) = 0, \quad \text{lok. min } f(1) = -\dfrac14\\[4pt]
> \text{inflexionspunkt } \left(\dfrac27, -\dfrac{16}{189}\right)\\[4pt]
> \text{asymptoter } x = -1 \text{ och } y = x - 4\\[4pt]
> V_f = \mathbb{R}
> \end{array}}
> $$
>
> **Skiss.**
>
> ![[tentaovn065-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Taylorpolynom och en approximation av $\ln 2$

Sätt $x\in(-1, 1)$ och definiera
$$
f(x) = \ln\dfrac{1 + x}{1 - x}.
$$

(a) Vad är
$$
f^{-1}(\ln 2)?
$$
*(1p)*

(b) Finn tredje ordningens taylorpolynom $P_3(x)$ till $f(x)$ kring punkten $0$. Lagranges restterm behöver ej bestämmas. *(3p)*

(c) Använd taylorpolynomet $P_3$ du funnit ovan i lämplig punkt för att finna ett approximativt värde av $\ln 2$. **Ledning:** Uppgift 6.(a). *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) handlar om [[Funktioner och invers|inversen]]; (b) och (c) är [[Taylors formel]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) $y = f^{-1}(\ln 2)$ betyder $f(y) = \ln 2$. (b) Beräkna $f'$, $f''$ och $f'''$ i $0$ och sätt in i $P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $\dfrac{1 + y}{1 - y} = 2$. (b) $f'(x) = \dfrac{2}{1 - x^2}$, vilket gör de högre derivatorna enkla. (c) $\ln 2 = f\left(\dfrac13\right)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $y = f^{-1}(\ln 2)$ betyder
> $$
> \ln\dfrac{1 + y}{1 - y} = \ln 2 \iff 1 + y = 2(1 - y) \iff y = \dfrac13
> $$
> $$
> \boxed{f^{-1}(\ln 2) = \dfrac13}
> $$
>
> **(b)** Med $f(x) = \ln(1 + x) - \ln(1 - x)$:
> $$
> f'(x) = \dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 - x} = \dfrac{2}{1 - x^2}, \qquad f''(x) = \dfrac{4x}{(1 - x^2)^2}, \qquad f'''(x) = \dfrac{4(1 + 3x^2)}{(1 - x^2)^3}
> $$
> I $x = 0$: $f(0) = 0$, $f'(0) = 2$, $f''(0) = 0$ och $f'''(0) = 4$. Alltså
> $$
> P_3(x) = 0 + 2x + \dfrac{0}{2}x^2 + \dfrac{4}{6}x^3 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_3(x) = 2x + \dfrac23x^3}
> $$
>
> **(c)** Enligt (a) är $\ln 2 = f\left(\dfrac13\right)$, och $\dfrac13$ ligger nära $0$:
> $$
> \ln 2\approx P_3\left(\dfrac13\right) = \dfrac23 + \dfrac23\cdot\dfrac{1}{27} = \dfrac{54 + 2}{81}
> $$
> $$
> \boxed{\ln 2\approx\dfrac{56}{81}}
> $$
> *Anmärkning:* Lagranges restterm med $f^{(4)}(x) = \dfrac{48x(1 + x^2)}{(1 - x^2)^4}$, som är växande på $[0, 1)$, ger felet högst $\dfrac{f^{(4)}(1/3)}{4!\cdot 3^4} = \dfrac{15}{2^{10}}\approx 0{,}015$. Det verkliga felet är ungefär $0{,}0018$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Funktioner]]
- [[Polynom och faktorisering]]
- [[Exponentialfunktioner och logaritmer]]
- [[Trigonometri]]
- [[Trigonometriska ekvationer]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Derivata]]
- [[Elementära funktioners derivator]]
- [[Extremvärden]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Funktioner och invers]]
- [[Taylors formel]]