---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2023-05-25
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2023-05-25
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2023-05-25
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_230525gen.pdf, m0047m_230525sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: induktionsbevis för en sluten formel för den rekursiva talföljden $a_{n+1} = \dfrac{3a_n + 2}{a_n + 2}$ och följdens gränsvärde
> - Uppgift 2: tre gränsvärden: $\ln\sin x - \ln x$, $\dfrac{e^{4x} - 1}{e^x - 1}$ och en rationell funktion av typen $\left[\frac00\right]$
> - Uppgift 3: tangenten till Descartes folium $2(x^3 + y^3) = 9xy$ i punkten $(1, 2)$
> - Uppgift 4: gemensamma tangenter till kurvorna $y = x^2$ och $y = x^4$
> - Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter för $x^4 - \frac{28}{3}x^3 + 20x^2$
> - Uppgift 6: optimering, den kortaste stegen över en mur

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. En rekursiv talföljd och induktion

Låt
$$
f(x) = \dfrac{3x + 2}{x + 2}, \quad x > -1.
$$
Definiera talföljden $\{a_n\}$ rekursivt genom
$$
\begin{cases} a_0 = 1,\\ a_{n+1} = f(a_n) = \dfrac{3a_n + 2}{a_n + 2}.\end{cases}
$$

(a) Visa med induktion att
$$
a_n = \dfrac{4\cdot 4^n - 1}{2\cdot 4^n + 1}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots.
$$
*(4p)*

(b) **(M0047M)** Man kan visa (behövs ej) att talföljden $\{a_n\}$ konvergerar mot ett gränsvärde $a$ när $n\to\infty$. Ge förslag på MATLAB-kod/kommandon som kan visa vad detta gränsvärde är. *(1p)*

(b) **(M0029M/M0057M)** Man kan visa (behövs ej) att talföljden $\{a_n\}$ konvergerar mot ett gränsvärde $a$ när $n\to\infty$. Bestäm $a$. *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett bevis med [[Matematisk induktion|induktion]] för en rekursivt definierad [[Talföljder och summor|talföljd]], och sedan ett gränsvärde av en talföljd.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Basfallet är $n = 0$. Anta att formeln gäller för $n = p$, sätt in den i $a_{p+1} = \dfrac{3a_p + 2}{a_p + 2}$ och visa att resultatet är formeln med $p + 1$ i stället för $p$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Förläng bråket med $2\cdot 4^p + 1$. Täljaren blir $16\cdot 4^p - 1$ och nämnaren $8\cdot 4^p + 1$, och $16\cdot 4^p = 4\cdot 4^{p+1}$. För gränsvärdet: dela täljare och nämnare med $4^n$.

> [!note]- Lösning
> **(a) Basfall.** För $n = 0$ ger formeln
> $$
> \dfrac{4\cdot 4^0 - 1}{2\cdot 4^0 + 1} = \dfrac{4 - 1}{2 + 1} = \dfrac33 = 1 = a_0
> $$
>
> **Induktionssteg.** Anta att formeln gäller för något $n = p\ge 0$, dvs. att
> $$
> a_p = \dfrac{4\cdot 4^p - 1}{2\cdot 4^p + 1} \quad\text{(induktionsantagandet)}
> $$
> Då är $a_p > 0$, så $a_p + 2\ne 0$. Insättning i rekursionen och förlängning med $2\cdot 4^p + 1$ ger
> $$
> \begin{aligned}
> a_{p+1} &= \dfrac{3a_p + 2}{a_p + 2} = \dfrac{3\cdot\dfrac{4\cdot 4^p - 1}{2\cdot 4^p + 1} + 2}{\dfrac{4\cdot 4^p - 1}{2\cdot 4^p + 1} + 2} = \dfrac{3(4\cdot 4^p - 1) + 2(2\cdot 4^p + 1)}{(4\cdot 4^p - 1) + 2(2\cdot 4^p + 1)}\\
> &= \dfrac{12\cdot 4^p - 3 + 4\cdot 4^p + 2}{4\cdot 4^p - 1 + 4\cdot 4^p + 2} = \dfrac{16\cdot 4^p - 1}{8\cdot 4^p + 1} = \dfrac{4\cdot 4^{p+1} - 1}{2\cdot 4^{p+1} + 1}
> \end{aligned}
> $$
> vilket är formeln för $n = p + 1$. Enligt induktionsprincipen gäller
> $$
> \boxed{a_n = \dfrac{4\cdot 4^n - 1}{2\cdot 4^n + 1} \text{ för alla } n = 0, 1, 2, \ldots}
> $$
> (Kontroll: rekursionen ger $a_1 = \dfrac53$, $a_2 = \dfrac{21}{11}$, $a_3 = \dfrac{85}{43}$, och formeln ger samma värden.)
>
> **(b) (M0047M)** Exempelvis beräknas och plottas följdens första termer med formeln från (a):
> ```matlab
> nmax = 10;
> n = 0:nmax;
> an = (4*4.^n - 1)./(2*4.^n + 1);   % OBS: punktvisa operationer
> plot(n, an, '*')                   % termerna planar ut mot gränsvärdet
> an(end)                            % skriver ut 2.0000
> ```
> Man ser att termerna närmar sig $\boxed{a = 2}$. (Lärarens kod ritar dessutom ut den vågräta linjen $y = a_{10}$ och skriver värdet i en legend.)
>
> **(b) (M0029M/M0057M)** Dela täljare och nämnare med $4^n$; eftersom $\dfrac{1}{4^n}\to 0$ blir
> $$
> a = \lim_{n\to\infty}\dfrac{4\cdot 4^n - 1}{2\cdot 4^n + 1} = \lim_{n\to\infty}\dfrac{4 - \dfrac{1}{4^n}}{2 + \dfrac{1}{4^n}} = \dfrac42 = \boxed{2}
> $$
> *Alternativt:* $f$ är kontinuerlig, så gränsvärdet uppfyller $a = \dfrac{3a + 2}{a + 2}$, dvs. $a^2 - a - 2 = (a + 1)(a - 2) = 0$. Alla $a_n > 0$, så $a = 2$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to 0^+}(\ln\sin x - \ln x).
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{4x} - 1}{e^x - 1}.
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to 2}\dfrac{x^3 - 8x + 8}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}.
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Gränsvärden]] med standardgränsvärden, [[Exponentialfunktioner och logaritmer|logaritm- och potenslagar]] och [[Polynom och faktorisering|faktorisering]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Slå ihop logaritmerna och använd att $\ln$ är kontinuerlig. (b) Skriv $e^{4x} = (e^x)^4$ och faktorisera med konjugatregeln. (c) $x = 2$ är nollställe till både täljare och nämnare, så båda innehåller faktorn $x - 2$ (faktorsatsen).
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $\ln\sin x - \ln x = \ln\dfrac{\sin x}{x}$. (b) $(e^x)^4 - 1 = (e^{2x} + 1)(e^x + 1)(e^x - 1)$. (c) $x^3 - 8x + 8 = (x - 2)(x^2 + 2x - 4)$ och $x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = (x - 2)(x^2 + 4)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** För små $x > 0$ är $\sin x > 0$, så logaritmlagen ger $\ln\sin x - \ln x = \ln\dfrac{\sin x}{x}$. Eftersom $\ln$ är kontinuerlig och $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$ (standardgränsvärde):
> $$
> \lim_{x\to 0^+}(\ln\sin x - \ln x) = \ln\left(\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x}\right) = \ln 1 = \boxed{0}
> $$
>
> **(b)** Gränsvärdet är av typen $\left[\frac00\right]$. Med $e^{4x} = (e^x)^4$ och konjugatregeln två gånger:
> $$
> \dfrac{e^{4x} - 1}{e^x - 1} = \dfrac{\left((e^x)^2 + 1\right)\left((e^x)^2 - 1\right)}{e^x - 1} = \dfrac{(e^{2x} + 1)(e^x + 1)(e^x - 1)}{e^x - 1} = (e^{2x} + 1)(e^x + 1)
> $$
> för $x\ne 0$. Alltså
> $$
> \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{4x} - 1}{e^x - 1} = (1 + 1)(1 + 1) = \boxed{4}
> $$
> *Alternativt:* geometrisk summa, $\dfrac{(e^x)^4 - 1}{e^x - 1} = 1 + e^x + e^{2x} + e^{3x}\to 4$.
>
> **(c)** Både täljare och nämnare är $0$ i $x = 2$ ($8 - 16 + 8 = 0$ och $8 - 8 + 8 - 8 = 0$). Polynomdivision ger täljaren
> $$
> x^3 - 8x + 8 = (x - 2)(x^2 + 2x - 4)
> $$
> och nämnaren faktoriseras genom gruppering:
> $$
> x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 4)
> $$
> Efter förkortning med $x - 2$:
> $$
> \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2 + 2x - 4}{x^2 + 4} = \dfrac{4 + 4 - 4}{4 + 4} = \boxed{\dfrac12}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Tangent till Descartes folium

Bestäm tangenten till *Descartes folium*
$$
2\left(x^3 + y^3\right) = 9xy
$$
i punkten $(1, 2)$. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> En tangent till en kurva som ges av en ekvation i $x$ och $y$: [[Implicit derivering]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Kontrollera att punkten ligger på kurvan. Betrakta $y = y(x)$ och derivera båda leden med avseende på $x$ (kedjeregeln för $y^3$, produktregeln för $xy$). Lös ut $y'$ och använd enpunktsformeln.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Deriveringen ger $6x^2 + 6y^2y' = 9y + 9xy'$, alltså $y' = \dfrac{3y - 2x^2}{2y^2 - 3x}$.

> [!note]- Lösning
> Punkten ligger på kurvan: $2(1^3 + 2^3) = 18 = 9\cdot 1\cdot 2$.
>
> Låt $y = y(x)$ och derivera implicit med avseende på $x$:
> $$
> \dfrac{d}{dx}\left(2(x^3 + y^3)\right) = \dfrac{d}{dx}(9xy) \iff 6x^2 + 6y^2y' = 9y + 9xy'
> $$
> Samla $y'$:
> $$
> y'(6y^2 - 9x) = 9y - 6x^2 \iff y' = \dfrac{3y - 2x^2}{2y^2 - 3x}
> $$
> I punkten $(1, 2)$ är lutningen
> $$
> k = \dfrac{3\cdot 2 - 2\cdot 1^2}{2\cdot 2^2 - 3\cdot 1} = \dfrac{6 - 2}{8 - 3} = \dfrac45
> $$
> Enpunktsformeln ger
> $$
> y - 2 = \dfrac45(x - 1) \iff 5y - 10 = 4x - 4
> $$
> $$
> \boxed{y = \dfrac{4x + 6}{5}} \quad(\text{dvs. } 5y - 4x = 6)
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Gemensamma tangenter till $x^2$ och $x^4$

Kurvorna
$$
\begin{aligned}
y &= f(x) = x^2,\\
y &= g(x) = x^4,
\end{aligned}
$$
har en uppsättning tangentlinjer som är gemensamma för bägge kurvorna. Finn samtliga sådana tangentlinjer.

*(I tentan visas en figur med de två kurvorna $y = x^2$ och $y = x^4$ för $-1{,}5\le x\le 1{,}5$; de skär varandra i $x = -1$, $0$ och $1$.)*

**Ledning:** antag att $y = f(x)$ tangeras i punkten $(a, f(a))$ och att $y = g(x)$ tangeras i $(b, g(b))$ av den gemensamma tangenten. Vilka samband måste då gälla mellan $a$ och $b$? *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Tangentens ekvation via [[Derivata|derivatan]]: två räta linjer är samma linje om de har samma lutning och samma $m$-värde.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Tangenten till $y = x^2$ i $x = a$ är $y = 2ax - a^2$, och tangenten till $y = x^4$ i $x = b$ är $y = 4b^3x - 3b^4$. Jämför koefficienterna.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Systemet $2a = 4b^3$, $a^2 = 3b^4$. Sätt in $a = 2b^3$ i den andra ekvationen: $b^4(4b^2 - 3) = 0$.

> [!note]- Lösning
> Tangenten till $y = x^2$ i punkten $(a, a^2)$ är
> $$
> y - a^2 = 2a(x - a) \iff y = 2ax - a^2
> $$
> och tangenten till $y = x^4$ i punkten $(b, b^4)$ är
> $$
> y - b^4 = 4b^3(x - b) \iff y = 4b^3x - 3b^4
> $$
> Två icke-lodräta linjer $y = k_1x + m_1$ och $y = k_2x + m_2$ är samma linje om och endast om $k_1 = k_2$ och $m_1 = m_2$:
> $$
> \begin{cases} 2a = 4b^3,\\ a^2 = 3b^4.\end{cases}
> $$
> Första ekvationen ger $a = 2b^3$, alltså $a^2 = 4b^6$. Insatt i den andra:
> $$
> 4b^6 - 3b^4 = b^4(4b^2 - 3) = 0 \iff b = 0 \ \text{eller}\ b = \pm\dfrac{\sqrt3}{2}
> $$
> - $b = 0$ ger $a = 0$ och tangenten $y = 0$ genom origo.
> - $b = \dfrac{\sqrt3}{2}$ ger $a = 2b^3 = 2\cdot\dfrac{3\sqrt3}{8} = \dfrac{3\sqrt3}{4}$ och $a^2 = \dfrac{27}{16}$. Tangeringspunkterna är $\left(\dfrac{3\sqrt3}{4}, \dfrac{27}{16}\right)$ på $y = x^2$ och $\left(\dfrac{\sqrt3}{2}, \dfrac{9}{16}\right)$ på $y = x^4$.
> - $b = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ ger symmetriskt $a = -\dfrac{3\sqrt3}{4}$, $a^2 = \dfrac{27}{16}$.
>
> De gemensamma tangenterna är alltså
> $$
> \boxed{y = 0, \qquad y = \dfrac{3\sqrt3}{2}x - \dfrac{27}{16}, \qquad y = -\dfrac{3\sqrt3}{2}x - \dfrac{27}{16}}
> $$
> *Kontroll:* $4b^3 = 4\cdot\dfrac{3\sqrt3}{8} = \dfrac{3\sqrt3}{2} = 2a$ och $3b^4 = 3\cdot\dfrac{9}{16} = \dfrac{27}{16} = a^2$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $x^4 - \frac{28}{3}x^3 + 20x^2$

Definiera funktionen
$$
y = f(x) = x^4 - \dfrac{28}{3}x^3 + 20x^2.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentligt teckenschema över derivatan. Skissera kurvan. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]] av ett polynom: [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivatan]] för inflexionspunkter.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Ett polynom är definierat och kontinuerligt på hela $\mathbb{R}$, så lodräta asymptoter finns inte. Undersök $\dfrac{f(x)}{x}$ när $x\to\pm\infty$ för sneda asymptoter. Faktorisera $f'$ och lös $f''(x) = 0$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = 4x(x - 2)(x - 5)$ och $f''(x) = 12x^2 - 56x + 40$, med nollställena $x = \dfrac{7\pm\sqrt{19}}{3}$.

> [!note]- Lösning
> **Nollställen och asymptoter.** $f(x) = x^2\left(x^2 - \dfrac{28}{3}x + 20\right) = \dfrac13x^2(x - 6)(3x - 10)$, så kurvan skär $x$-axeln i $x = 0$, $x = \dfrac{10}{3}$ och $x = 6$. $f$ är ett polynom, definierat på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter. Vidare är
> $$
> \lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \lim_{x\to\pm\infty}x^4\left(1 - \dfrac{28}{3x} + \dfrac{20}{x^2}\right) = +\infty, \qquad \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\pm\infty}x^3\left(1 - \dfrac{28}{3x} + \dfrac{20}{x^2}\right) = \pm\infty
> $$
> så det finns varken vågräta eller sneda asymptoter:
> $$
> \boxed{\text{kurvan saknar asymptoter}}
> $$
>
> **Derivata.**
> $$
> f'(x) = 4x^3 - 28x^2 + 40x = 4x(x^2 - 7x + 10) = 4x(x - 2)(x - 5)
> $$
> Kritiska punkter: $x = 0$, $x = 2$ och $x = 5$.
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < 2$ | $2$ | $2 < x < 5$ | $5$ | $x > 5$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $4x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 2$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 5$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ |
>
> Funktionsvärdena är
> $$
> f(0) = 0, \qquad f(2) = 16 - \dfrac{224}{3} + 80 = \dfrac{64}{3}, \qquad f(5) = 625 - \dfrac{3500}{3} + 500 = -\dfrac{125}{3}
> $$
> $$
> \boxed{\text{lok. min } f(0) = 0 \text{ och } f(5) = -\dfrac{125}{3}, \quad \text{lok. max } f(2) = \dfrac{64}{3}}
> $$
> Minimet $-\dfrac{125}{3}$ är också globalt; globalt maximum saknas.
>
> **Andraderivata.**
> $$
> f''(x) = 12x^2 - 56x + 40 = 12\left(x^2 - \dfrac{14}{3}x + \dfrac{10}{3}\right) = 0 \iff x = \dfrac73\pm\sqrt{\dfrac{49}{9} - \dfrac{30}{9}} = \dfrac{7\pm\sqrt{19}}{3}
> $$
> Kalla rötterna $r_1 = \dfrac{7 - \sqrt{19}}{3}\approx 0{,}88$ och $r_2 = \dfrac{7 + \sqrt{19}}{3}\approx 3{,}79$. Eftersom $f''$ är en andragradsfunktion med positiv ledande koefficient är $f'' > 0$ (konvex) för $x < r_1$ och $x > r_2$, och $f'' < 0$ (konkav) för $r_1 < x < r_2$. Andraderivatan byter tecken i båda punkterna:
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkter i } x = \dfrac{7\pm\sqrt{19}}{3}}
> $$
> med funktionsvärdena $f(r_1) = \dfrac{224\sqrt{19} - 188}{81}\approx 9{,}73$ och $f(r_2) = -\dfrac{224\sqrt{19} + 188}{81}\approx -14{,}38$. ($4 < \sqrt{19} < 5$ ger $\dfrac23 < r_1 < 1$ och $\dfrac{11}{3} < r_2 < 4$.)
>
> **Skiss.** Kurvan kommer från $+\infty$ till vänster, är konvex och sjunker till minimum i origo där den tangerar $x$-axeln, stiger genom inflexionspunkten vid $x\approx 0{,}88$ till maximum $\left(2, \dfrac{64}{3}\right)$, sjunker genom nollstället $x = \dfrac{10}{3}$ och inflexionspunkten vid $x\approx 3{,}79$ ned till det globala minimet $\left(5, -\dfrac{125}{3}\right)$ och växer sedan genom $x = 6$ mot $+\infty$.
>
> ![[tenta230525-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning skriver $f(3)$ där det ska stå $f(2)$ och anger i teckenschemat för $y''$ rötterna som $\dfrac{7\mp\sqrt{19}}{2}$; båda är skrivfel, uträkningarna och texten ger $f(2) = \dfrac{64}{3}$ och $x = \dfrac{7\pm\sqrt{19}}{3}$. Inflexionspunkternas $y$-värden anges inte i facit; de är tillagda här.*

---

## 6. Den kortaste stegen över en mur

En meter framför ett hus står en $2\sqrt2$ meter hög mur. En brandman ska resa en stege mot huset över muren. Vilken är den kortaste möjliga stege $l$ brandmannen kan använda för att den ska luta mot huset? *(5p)*

*(I tentan visas en figur: husväggen är lodrät, muren med höjden $2\sqrt2$ står på avståndet $1$ från husväggen, och stegen med längden $l$ går från marken utanför muren, vilar på murens krön och når husväggen. Enhet: meter.)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett optimeringsproblem: [[Extremvärden|minimera]] en funktion av en variabel på ett öppet intervall.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Låt $x$ vara avståndet från muren till stegens fot och $y$ höjden där stegen når huset. Likformiga trianglar ger $\dfrac{2\sqrt2}{x} = \dfrac{y}{x + 1}$. Minimera $l^2 = (x + 1)^2 + y^2$ i stället för $l$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $l^2 = f(x) = (x + 1)^2\left(1 + \dfrac{8}{x^2}\right)$ och $f'(x) = 2(x + 1)\left(1 - \dfrac{8}{x^3}\right)$.

> [!note]- Lösning
> Låt $x > 0$ vara avståndet från muren till stegens fot och $y$ höjden där stegen når husväggen. Stegens fot ligger då på avståndet $x + 1$ från huset, och Pythagoras sats ger
> $$
> l^2 = (x + 1)^2 + y^2
> $$
> Stegen bildar samma vinkel $\theta$ med marken vid muren och vid huset, så likformiga trianglar ger
> $$
> \tan\theta = \dfrac{2\sqrt2}{x} = \dfrac{y}{x + 1} \iff y = \dfrac{2\sqrt2}{x}(x + 1)
> $$
> Det räcker att minimera $l^2$, dvs.
> $$
> f(x) = (x + 1)^2 + \dfrac{8}{x^2}(x + 1)^2 = (x + 1)^2\left(1 + \dfrac{8}{x^2}\right), \quad 0 < x < \infty
> $$
> Både $\lim_{x\to 0^+}f(x) = \infty$ och $\lim_{x\to\infty}f(x) = \infty$, så minimum antas i en inre punkt. $f$ är deriverbar för $x > 0$:
> $$
> f'(x) = 2(x + 1)\left(1 + \dfrac{8}{x^2}\right) + (x + 1)^2\left(-\dfrac{16}{x^3}\right) = 2(x + 1)\left(1 + \dfrac{8}{x^2} - \dfrac{8(x + 1)}{x^3}\right) = 2(x + 1)\left(1 - \dfrac{8}{x^3}\right)
> $$
> För $x > 0$ är $x + 1 > 0$, så $f'(x) = 0$ precis då $x^3 = 8$, dvs. $x = 2$ (och $f' < 0$ för $0 < x < 2$, $f' > 0$ för $x > 2$). Minimum:
> $$
> f(2) = 3^2\left(1 + \dfrac84\right) = 27 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{l_{\min} = \sqrt{27} = 3\sqrt3 \approx 5{,}2 \text{ m}}
> $$
> Stegens fot står då 2 m från muren och stegen når husväggen på höjden $y = \dfrac{2\sqrt2}{2}\cdot 3 = 3\sqrt2$ m.
>
> *Alternativt* kan man minimera $g(\theta) = \dfrac{2\sqrt2}{\sin\theta} + \dfrac{1}{\cos\theta}$, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$; $g'(\theta) = 0$ ger $\tan^3\theta = (\sqrt2)^3$, alltså $\tan\theta = \sqrt2$ och samma svar $2\sqrt3 + \sqrt3 = 3\sqrt3$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Talföljder och summor]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Exponentialfunktioner och logaritmer]]
- [[Polynom och faktorisering]]
- [[Implicit derivering]]
- [[Derivata]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]