---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2021-05-27
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2021-05-27
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2021-05-27
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_210527.pdf, m0047m_210527sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: induktionsbevis för att $3^{2n} - 1$ är delbart med 8
> - Uppgift 2: gränsvärdena $e^{\cos\ln x}$ då $x\to 1$, $\dfrac{2^n}{n!}$ då $n\to\infty$ och $x^{\ln x}$ då $x\to 0^+$
> - Uppgift 3: Lamberts W-funktion som invers till $xe^x$: definitionsmängd, derivata och tangent i $x = e$
> - Uppgift 4: derivator och andra ordningens Taylorpolynom för den relativistiska kinetiska energin
> - Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter för $\dfrac{x^3}{x - 2}$
> - Uppgift 6: optimering, vattenränna med största tvärsnittsarea

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Delbarhet med 8 genom induktion

Bevisa, exempelvis med induktion, att det för alla positiva heltal $n\ge 1$ gäller att talet
$$
c_n = 3^{2n} - 1
$$
är delbart med 8. **Ledning:** *ett heltal $c$ är delbart med ett annat heltal $d$ om det finns ett heltal $k$ så att $c = kd$.* *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett bevis med [[Matematisk induktion|induktion]]: basfall och induktionssteg.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Basfallet är $n = 1$. Anta att $3^{2p} - 1 = 8k$ för något heltal $k$ och visa att $3^{2(p+1)} - 1 = 8l$ för något heltal $l$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $3^{2(p+1)} = 9\cdot 3^{2p}$, så $3^{2(p+1)} - 1 = 9\left(3^{2p} - 1\right) + 8$.

> [!note]- Lösning
> **Basfall.** För $n = 1$ är $c_1 = 3^2 - 1 = 8 = 8\cdot 1$, som är delbart med 8.
>
> **Induktionssteg.** Anta att $c_p = 3^{2p} - 1$ är delbart med 8 för något heltal $p\ge 1$, dvs. att $3^{2p} - 1 = 8k$ för något heltal $k$ (induktionsantagandet). Då är
> $$
> \begin{aligned}
> c_{p+1} &= 3^{2(p+1)} - 1 = 9\cdot 3^{2p} - 1 = 9\cdot 3^{2p} - 9 + 8\\
> &= 9\left(3^{2p} - 1\right) + 8 = 9\cdot 8k + 8 = 8(9k + 1) = 8l
> \end{aligned}
> $$
> där $l = 9k + 1$ är ett heltal eftersom $k$ är ett heltal. Alltså är även $c_{p+1}$ delbart med 8.
>
> Enligt induktionsprincipen gäller
> $$
> \boxed{8 \text{ delar } 3^{2n} - 1 \text{ för alla heltal } n\ge 1}
> $$
>
> **Alternativt bevis utan induktion.** Med den geometriska summan är
> $$
> 3^{2n} - 1 = 9^n - 1 = (9 - 1)\left(1 + 9 + 9^2 + \dots + 9^{n-1}\right) = 8\sum_{k=0}^{n-1}9^k
> $$
> och summan är ett heltal.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to 1}e^{\cos\ln x}
$$
*(1p)*

(b) Visa att
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n}{n!} = 0.
$$
*Ledning: instängningssatsen.* *(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to 0^+}x^{\ln x}
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) handlar om [[Kontinuitet]]; (b) är en instängning av en [[Talföljder och summor|talföljd]]; (c) är ett [[Oegentliga gränsvärden|oegentligt gränsvärde]] där man skriver om potensen med [[Exponentialfunktioner och logaritmer|exponentialfunktionen]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Funktionen är kontinuerlig i $x = 1$. (b) Skriv $\dfrac{2^n}{n!}$ som en produkt av $n$ kvoter $\dfrac{2}{k}$ och uppskatta dem. (c) Använd $a^b = e^{b\ln a}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (b) Alla kvoter $\dfrac{2}{k}$ med $k\ge 2$ är högst 1. (c) $x^{\ln x} = e^{(\ln x)^2}$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Funktionen $e^{\cos\ln x}$ är sammansatt av kontinuerliga funktioner och därmed kontinuerlig för $x > 0$, så man kan sätta in $x = 1$:
> $$
> \lim_{x\to 1}e^{\cos\ln x} = e^{\cos\ln 1} = e^{\cos 0} = \boxed{e}
> $$
>
> **(b)** För $n\ge 3$ är
> $$
> 0 < \dfrac{2^n}{n!} = \dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{2}{2}\cdot\underbrace{\dfrac{2}{3}\cdots\dfrac{2}{n-1}}_{\text{alla}\,\le 1}\cdot\dfrac{2}{n}\le 2\cdot 1\cdot 1\cdot\dfrac{2}{n} = \dfrac{4}{n}
> $$
> (för $n = 3$ är den mellersta produkten tom). Eftersom $\dfrac{4}{n}\to 0$ då $n\to\infty$ ger instängningssatsen
> $$
> \boxed{\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n}{n!} = 0}
> $$
> *Alternativt:* varje kvot $\dfrac{2}{k}$ med $k\ge 3$ är högst $\dfrac{2}{3}$, så $0 < \dfrac{2^n}{n!}\le 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-2}\to 0$.
>
> **(c)** För $x > 0$ är
> $$
> x^{\ln x} = e^{\ln x\cdot\ln x} = e^{(\ln x)^2}
> $$
> Då $x\to 0^+$ går $\ln x\to -\infty$, så $(\ln x)^2\to +\infty$, och eftersom $e^t\to\infty$ då $t\to\infty$ är
> $$
> \boxed{\lim_{x\to 0^+}x^{\ln x} = +\infty}
> $$
> Gränsvärdet existerar alltså inte som ändligt tal, men är oegentligt $+\infty$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Lamberts W-funktion

Låt
$$
f(x) = xe^x, \quad -1\le x < \infty,
$$
och definiera *Lamberts W-funktion* $W$ som inversen till $f$, dvs. $W(x) = f^{-1}(x)$.

(a) Visa att $f$ är inverterbar. Vad är definitionsmängden för $W$? *(2p)*

(b) Visa att derivatan $W'(x)$ uppfyller
$$
W'(x) = \dfrac{W(x)}{x\left(1 + W(x)\right)}
$$
om $x\ne 0$. *(2p)*

(c) Finn tangenten till kurvan $y = W(x)$ i punkten $x = e$. *Tips: formeln i uppgift (b) kan vara användbar.* *(2p)*

*Totalpoäng: 6*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Funktioner och invers|Invers funktion]] och [[Inversa funktioners derivata|derivatan av en invers]], som man får med [[Implicit derivering]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) En strängt växande funktion är injektiv; definitionsmängden för $W$ är värdemängden för $f$. (b) $y = W(x)\iff x = ye^y$; derivera sambandet med avseende på $x$. (c) Enpunktsformeln $y - W(e) = W'(e)(x - e)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $f'(x) = (1 + x)e^x$. (b) $1 = (1 + y)e^y\,y'$ och $e^y = \dfrac{x}{y}$. (c) $W(e) = 1$ eftersom $1\cdot e^1 = e$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Derivering ger
> $$
> f'(x) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x
> $$
> som är $> 0$ för $x > -1$ och $= 0$ bara i $x = -1$. Eftersom $f$ är kontinuerlig på $[-1, \infty)$ är $f$ strängt växande där, alltså injektiv och därmed inverterbar. Vidare är
> $$
> f(-1) = -e^{-1} = -\dfrac1e, \qquad \lim_{x\to\infty}xe^x = \infty
> $$
> och $f$ är kontinuerlig, så värdemängden är $\left[-\dfrac1e, \infty\right)$. Definitionsmängden för inversen är värdemängden för $f$:
> $$
> \boxed{D_W = \left[-\dfrac1e, \infty\right)}
> $$
>
> **(b)** Låt $x > -\dfrac1e$ och $y = W(x)$. Då är $y > -1$ och
> $$
> y = W(x)\iff x = f(y) = ye^y
> $$
> Implicit derivering av $x = ye^y$ med avseende på $x$ ger
> $$
> 1 = (1 + y)e^y\cdot y' \quad\Longrightarrow\quad W'(x) = y' = \dfrac{1}{(1 + y)e^y}
> $$
> Om $x\ne 0$ är $y\ne 0$ (eftersom $W(0) = 0$ och $W$ är injektiv), och då ger $x = ye^y$ att $e^y = \dfrac{x}{y}$. Insättning:
> $$
> W'(x) = \dfrac{1}{(1 + y)\cdot\dfrac{x}{y}} = \dfrac{y}{x(1 + y)} = \boxed{\dfrac{W(x)}{x\left(1 + W(x)\right)}}
> $$
>
> **(c)** $W(e)$ är den lösning $y$ till $ye^y = e$ som ligger i $[-1, \infty)$. Uppenbarligen är $y = 1$ en lösning, och den är den enda eftersom $f$ är injektiv. Alltså är $W(e) = 1$, och (b) ger
> $$
> W'(e) = \dfrac{1}{e(1 + 1)} = \dfrac{1}{2e}
> $$
> Tangenten är
> $$
> y - 1 = \dfrac{1}{2e}(x - e) \iff \boxed{y = \dfrac{x}{2e} + \dfrac12}
> $$
> *Kontroll:* tangenten till $y = xe^x$ i $(1, e)$ har lutningen $f'(1) = 2e$; spegling i $y = x$ ger lutningen $\dfrac{1}{2e}$ i $(e, 1)$.
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning har i (b) en ledning ("implicit derivering") som inte står i tentatexten.*

---

## 4. Relativistisk kinetisk energi

En partikel med vilomassa $m_0$ rör sig med hastigheten $v$ (där $|v| < c$) relativt ett visst koordinatsystem. Einstein visade under sitt *annus mirabilis* 1905 att partikelns totala energi $E$ är
$$
E = mc^2,
$$
där partikelns relativistiska massa $m$ ges av
$$
m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
$$
Partikelns kinetiska energi $T$ ges därmed av differensen mellan totala energin och viloenergin enligt formeln
$$
T = T(v) = E - E_0 = mc^2 - m_0c^2 = m_0c^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - 1\right),
$$
där $c$ är ljusets hastighet i vakuum.

(a) Beräkna förstaderivatan $T'(v)$ och andraderivatan $T''(v)$. *(2p)*

(b) Approximera $T(v)$ med ett andra ordningens Taylorpolynom till $T(v)$ kring $v = 0$. Restterm behöver ej beräknas. *(2p)*

*Totalpoäng: 4*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Deriveringsregler|Kedjeregeln och produktregeln]], sedan ett [[Taylors formel|Taylorpolynom]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Skriv $T(v) = m_0c^2\left(\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2} - 1\right)$. $P_2(v) = T(0) + T'(0)v + \dfrac{T''(0)}{2}v^2$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $T'(v) = m_0v\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2}$; derivera den med produktregeln.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Med $T(v) = m_0c^2\left(\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2} - 1\right)$ ger kedjeregeln
> $$
> T'(v) = m_0c^2\cdot\left(-\dfrac12\right)\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2}\cdot\left(-\dfrac{2v}{c^2}\right) = \boxed{\dfrac{m_0v}{\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}}
> $$
> Produktregeln ger sedan
> $$
> \begin{aligned}
> T''(v) &= m_0\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2} + m_0v\cdot\left(-\dfrac32\right)\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-5/2}\cdot\left(-\dfrac{2v}{c^2}\right)\\
> &= m_0\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-5/2}\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2} + \dfrac{3v^2}{c^2}\right)
> \end{aligned}
> $$
> $$
> \boxed{T''(v) = \dfrac{m_0\left(1 + \dfrac{2v^2}{c^2}\right)}{\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)^{5/2}}}
> $$
>
> **(b)** I $v = 0$ är
> $$
> T(0) = m_0c^2(1 - 1) = 0, \qquad T'(0) = 0, \qquad T''(0) = m_0
> $$
> så
> $$
> P_2(v) = T(0) + T'(0)v + \dfrac{T''(0)}{2!}v^2 = \boxed{\dfrac{m_0v^2}{2}}
> $$
> För hastigheter som är små jämfört med $c$ är alltså $T(v)\approx\dfrac{m_0v^2}{2}$, den klassiska kinetiska energin.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $\dfrac{x^3}{x - 2}$

Definiera funktionen
$$
y = f(x) = \dfrac{x^3}{x - 2}.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp detaljerade teckenscheman. Skissera kurvan. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: asymptoter, [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivatan]] för inflexionspunkter.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Nämnaren är noll i $x = 2$. Polynomdivision visar hur funktionen beter sig långt ut. Derivera med kvotregeln och faktorisera.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f(x) = x^2 + 2x + 4 + \dfrac{8}{x - 2}$, $f'(x) = \dfrac{2x^2(x - 3)}{(x - 2)^2}$ och $f''(x) = \dfrac{2x(x^2 - 6x + 12)}{(x - 2)^3}$.

> [!note]- Lösning
> **Asymptoter.** Polynomdivision ger
> $$
> f(x) = \dfrac{x^3}{x - 2} = x^2 + 2x + 4 + \dfrac{8}{x - 2}
> $$
> Täljarens grad är två mer än nämnarens, så $f(x)\to +\infty$ då $x\to\pm\infty$ och $\dfrac{f(x)}{x}\to\pm\infty$; det finns ingen vågrät eller sned asymptot. Långt ut beter sig kurvan som parabeln $y = x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3$. Vid $x = 2$ går täljaren mot $8$ och nämnaren mot $0$:
> $$
> \lim_{x\to 2^-}f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x) = +\infty
> $$
> $$
> \boxed{\text{lodrät asymptot } x = 2, \text{ inga andra asymptoter}}
> $$
>
> **Derivata.** Kvotregeln ger
> $$
> f'(x) = \dfrac{3x^2(x - 2) - x^3}{(x - 2)^2} = \dfrac{2x^3 - 6x^2}{(x - 2)^2} = \dfrac{2x^2(x - 3)}{(x - 2)^2}
> $$
> Kritiska punkter: $x = 0$ och $x = 3$.
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < 2$ | $2$ | $2 < x < 3$ | $3$ | $x > 3$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $2x^2$ | $+$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $(x - 2)^2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $-$ | ej def. | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\searrow$ | terrass | $\searrow$ | asymptot | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ |
>
> $$
> \boxed{\text{lok. min } f(3) = 27, \quad \text{terrasspunkt i } (0, 0)}
> $$
> Det finns inget lokalt maximum.
>
> **Andraderivata.**
> $$
> f''(x) = \dfrac{(6x^2 - 12x)(x - 2)^2 - (2x^3 - 6x^2)\cdot 2(x - 2)}{(x - 2)^4} = \dfrac{(6x^2 - 12x)(x - 2) - 2(2x^3 - 6x^2)}{(x - 2)^3} = \dfrac{2x(x^2 - 6x + 12)}{(x - 2)^3}
> $$
> Här är $x^2 - 6x + 12 = (x - 3)^2 + 3 > 0$ för alla $x$.
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < 2$ | $2$ | $x > 2$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $2x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $(x - 3)^2 + 3$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $(x - 2)^3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f''(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | ej def. | $+$ |
> | $f(x)$ | konvex | infl. | konkav | asymptot | konvex |
>
> $f''$ byter tecken i $x = 0$, så terrasspunkten är en inflexionspunkt:
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkt } (0, 0)}
> $$
> ($x = 2$ ger ingen inflexionspunkt eftersom $f$ inte är definierad där.)
>
> **Skiss.** Kurvan kommer från $+\infty$ till vänster, konvex, avtar och planar ut i terrassen $(0, 0)$ där den blir konkav, fortsätter nedåt mot $-\infty$ vid asymptoten $x = 2$. Till höger om asymptoten kommer den ned från $+\infty$, når minimum i $(3, 27)$ och växer sedan som parabeln $y = x^2 + 2x + 4$.
>
> ![[tenta210527-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Vattenränna med största tvärsnitt

En öppen ränna för vatten skall konstrueras ur en 30 cm bred plåt genom att bocka upp en tredjedel av plåten vinkeln $\phi$ på varje sida, se rännans tvärsnitt i figuren under.

*(I tentan visas rännans tvärsnitt: en vågrät botten på 10 cm och två sidor på 10 cm vardera, som är uppbockade vinkeln $\phi$ från den vågräta linjen så att rännan vidgas uppåt. Tvärsnittsarean mellan sidorna och vattenytan är $A$.)*

Hur skall vinkeln $\phi$ väljas för att rännan skall rymma så mycket vatten som möjligt och hur stor är tvärsnittsarean $A$ då? *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Optimering: sök [[Extremvärden|största värdet]] av en kontinuerlig funktion på ett slutet intervall, med [[Trigonometri]] för att uttrycka arean.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Dela tvärsnittet i en rektangel $10\times h$ och två räta trianglar med kateterna $b$ och $h$, där $h = 10\sin\phi$ och $b = 10\cos\phi$. Jämför kritiska punkter med ändpunkterna.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $A(\phi) = 100(1 + \cos\phi)\sin\phi$ och $A'(\phi) = 100(2\cos^2\phi + \cos\phi - 1) = 100(2\cos\phi - 1)(\cos\phi + 1)$.

> [!note]- Lösning
> Varje uppbockad sida har längden 10 cm. Höjden är $h = 10\sin\phi$ och varje sida sticker ut $b = 10\cos\phi$ vågrätt. Tvärsnittet är en rektangel med basen 10 och två räta trianglar:
> $$
> A = 10h + 2\cdot\dfrac{bh}{2} = 100\sin\phi + 100\cos\phi\sin\phi = 100(1 + \cos\phi)\sin\phi
> $$
> Det rimliga intervallet är $0\le\phi\le\dfrac{\pi}{2}$ (för $\phi < 0$ rinner vattnet ut, och för $\phi > \dfrac{\pi}{2}$ lutar sidorna inåt). $A$ är kontinuerlig på det slutna intervallet, så största värdet antas i en ändpunkt eller en kritisk punkt.
>
> **Derivata.**
> $$
> A'(\phi) = 100\left(-\sin^2\phi + (1 + \cos\phi)\cos\phi\right) = 100\left(2\cos^2\phi + \cos\phi - 1\right) = 100(2\cos\phi - 1)(\cos\phi + 1)
> $$
> På intervallet är $\cos\phi + 1 > 0$, så $A'(\phi) = 0$ bara då $\cos\phi = \dfrac12$, dvs. $\phi = \dfrac{\pi}{3}$. $A' > 0$ för $0\le\phi < \dfrac{\pi}{3}$ och $A' < 0$ för $\dfrac{\pi}{3} < \phi\le\dfrac{\pi}{2}$, så det är ett maximum.
>
> **Jämförelse.**
> $$
> A(0) = 0, \qquad A\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 100, \qquad A\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 100\cdot\dfrac32\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 75\sqrt3
> $$
> och $75\sqrt3 > 100\iff 3\sqrt3 > 4\iff 27 > 16$, vilket stämmer. Alltså
> $$
> \boxed{\phi = \dfrac{\pi}{3} = 60^\circ, \qquad A_{\max} = 75\sqrt3\text{ cm}^2\approx 129{,}9\text{ cm}^2}
> $$
> Rännan blir då en halv regelbunden sexhörning.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Kontinuitet]]
- [[Talföljder och summor]]
- [[Exponentialfunktioner och logaritmer]]
- [[Funktioner och invers]]
- [[Inversa funktioners derivata]]
- [[Implicit derivering]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Taylors formel]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]
- [[Trigonometri]]