---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - envariabelanalys
  - kontinuitet
förkunskaper:
  - "[[Funktioner]]"
  - "[[Gränsvärden]]"
status: true
aliases:
  - Kontinuerlig funktion
  - Diskontinuitet
---
> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** [[Funktioner]], [[Gränsvärden]]

---

## 1. Definition

> [!abstract] Definition
> Funktionen $f$ är kontinuerlig i punkten $a$ om
> $$
> \boxed{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}
> $$

Detta kräver tre saker:

1. $f(a)$ är definierad
2. $\lim_{x\to a} f(x)$ existerar
3. gränsvärdet är lika med funktionsvärdet

---

## 2. Typer av diskontinuitet

> [!example]- Hävbar diskontinuitet
> Funktionen
> $$
> f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}
> $$
> har gränsvärdet $2$ då $x\to 1$, men uttrycket är inte definierat i $x=1$.
> Det är en hävbar diskontinuitet.

> [!example]- Språngdiskontinuitet
> Om vänster- och högergränsvärdet finns men är olika, har funktionen ett språng.

> [!example]- Väsentlig diskontinuitet
> Funktionen $\sin(1/x)$ nära $x=0$ oscillerar så mycket att något gränsvärde inte finns.

---

## 3. Räkneregler

Om $f$ och $g$ är kontinuerliga i $a$, så är även följande funktioner kontinuerliga i $a$:

- $f+g$
- $f-g$
- $fg$
- $\dfrac{f}{g}$ om $g(a)\neq 0$
- sammansättningen $g\circ f$

Det innebär att elementära funktioner i allmänhet är kontinuerliga på sina definitionsmängder.

---

## 4. Viktiga satser

### 4.1 Direkt insättning

Om en funktion är kontinuerlig i en punkt får man beräkna gränsvärdet genom direkt insättning.

> [!example]
> $$
> \lim_{x\to \pi}\sin(x/2)=\sin(\pi/2)=1
> $$

### 4.2 Mellanliggande värdets sats

> [!important]
> Om $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$, så antar den varje värde mellan $f(a)$ och $f(b)$.

Särskilt viktigt: om $f(a)$ och $f(b)$ har olika tecken finns minst ett nollställe i $(a,b)$.

### 4.3 Extremvärdessatsen

> [!important]
> Om $f$ är kontinuerlig på ett slutet intervall $[a,b]$, så antar den både ett största och ett minsta värde där.

Den satsen ligger bakom metoden för globala extremvärden i [[Extremvärden]].

---

## 5. Kontinuitet och analysens fortsättning

Kontinuitet fungerar som bryggan mellan [[Gränsvärden]] och [[Derivata]]:

- först studerar man om gränsvärdet finns
- sedan om det sammanfaller med funktionsvärdet
- därefter kan man undersöka förändring med derivata

[[Integraler]] kräver också ofta kontinuitet för att fundamentalsatsen ska gälla i sin vanligaste form.

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=101|1.4 Continuity]]

## Se även

- [[Gränsvärden]]
- [[Derivata]]
- [[Extremvärden]]
- [[Integraler]]

## Resurser

- [Khan Academy: Continuity](https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-11)
- [Wikipedia: Continuous function](https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function)
- [Wikipedia: Intermediate value theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem)