---
kurs:
  - M0066M
tags:
  - matematik
  - analys
  - integral
förkunskaper:
  - "[[Integraler]]"
  - "[[Deriveringsregler]]"
status: true
aliases:
  - Integration by parts
---
> **Kurs:** M0066M
> **Förkunskaper:** [[Integraler]], [[Deriveringsregler]]

---

## 1. Idé

Partiell integration används när integranden är en **produkt av två funktioner** där den ena är lätt att hitta primitiv till och den andra blir enklare när den deriveras. Metoden är produktregeln baklänges: i stället för att derivera en produkt flyttar vi derivatan från den ena faktorn till den andra inuti en integral.

Givet integralen

$$
\int f(x)\,g(x)\,dx
$$

väljer vi att

- **integrera** $f$ — det vill säga byta ut $f$ mot en primitiv $F$ (så att $F'=f$),
- **derivera** $g$ — det vill säga byta ut $g$ mot $g'$.

Priset vi betalar är att en ny integral dyker upp i utbyte. Vinsten är att den nya integralen är enklare än den ursprungliga.

---

## 2. Formeln

> [!info] SATS: Partiell integration
> Låt $F$ vara en primitiv funktion till $f$, och låt $g$ vara deriverbar. Då gäller
> $$
> \boxed{\int f(x)\,g(x)\,dx \;=\; F(x)\,g(x) \;-\; \int F(x)\,g'(x)\,dx.}
> $$

Härledningen följer direkt ur [[Deriveringsregler|produktregeln]]: $\bigl(F(x)g(x)\bigr)' = f(x)g(x) + F(x)g'(x)$. Integrera båda leden och lös ut den första integralen.

---

## 3. Hur man använder den

> [!tip] Strategi för valet
> 1. **Identifiera de två faktorerna** i integranden.
> 2. **Bestäm vilken som ska deriveras** ($g$) och vilken som ska integreras ($f$). Tumregel: välj $g$ så att $g'$ blir märkbart enklare — typiskt ett polynom som krymper en grad, eller en logaritm som försvinner.
> 3. **Skriv upp $F$ och $g'$** explicit innan formeln tillämpas, så att man inte tappar bort tecken.
> 4. **Sätt in i formeln** och avgör om den nya integralen $\int F\,g'\,dx$ verkligen är enklare. Är den värre — byt roller på $f$ och $g$.

> [!tip] LIATE — minnesregel för $g$
> Välj $g$ enligt prioriteringsordningen **L**ogaritmer, **I**nversa trigonometriska, **A**lgebraiska (polynom), **T**rigonometriska, **E**xponentialer. Det som står tidigare i listan deriveras (är $g$); det senare integreras (är $f$).

---

## 4. Räkneexempel

> [!example]- Exempel 1 — polynom gånger trigonometri
> Beräkna
> $$
> \int x\cos x\,dx.
> $$
>
> > [!note]- Lösning
> > Polynomet $x$ blir enklare när det deriveras, så vi sätter
> > $$
> > g(x)=x,\qquad f(x)=\cos x,
> > $$
> > vilket ger $g'(x)=1$ och $F(x)=\sin x$. Formeln ger
> > $$
> > \int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\cdot 1\,dx = x\sin x + \cos x + C.
> > $$

> [!example]- Exempel 2 — polynom gånger exponential
> Beräkna
> $$
> \int x e^x\,dx.
> $$
>
> > [!note]- Lösning
> > Sätt $g(x)=x$ och $f(x)=e^x$. Då är $g'(x)=1$ och $F(x)=e^x$, så
> > $$
> > \int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = e^x(x-1) + C.
> > $$

> [!example]- Exempel 3 — logaritmen som "ensam" faktor
> Beräkna
> $$
> \int \ln x\,dx.
> $$
>
> > [!note]- Lösning
> > Skriv om integranden som $1\cdot \ln x$ och välj $g(x)=\ln x$ (logaritmen försvinner när den deriveras), $f(x)=1$. Då är $g'(x)=1/x$ och $F(x)=x$, så
> > $$
> > \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C.
> > $$

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=356|6.1 Integration by Parts]]

## Se även

- [[Integraler]]
- [[Variabelbyte i integraler]]