---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - vektoranalys
förkunskaper:
  - "[[Kurvintegraler av vektorfält]]"
  - "[[Dubbelintegraler]]"
status: utkast
aliases:
  - Greens theorem
  - Greens formel
---

> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Kurvintegraler av vektorfält]], [[Dubbelintegraler]]

---

## 1. Idén bakom satsen

Det finns två naturliga sätt att mäta vad ett [[Vektorfält|vektorfält]] $\vec F$ "gör" över ett område $D\subset\mathbb R^2$:

- **Längs randen:** [[Kurvintegraler av vektorfält|kurvintegralen]] $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ summerar fältets komponent längs $C=\partial D$ — *cirkulationen*.
- **Inne i området:** dubbelintegralen av en lokal "swirl-täthet" $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ summerar hur mycket fältet snurrar i varje punkt.

Greens sats säger att dessa två storheter är *samma sak*. Det är 2D-versionen av [[Stokes sats]].

> [!abstract] Grundtanken
> Det som händer på randen kan räknas ut genom att summera något lokalt inne i $D$ — och tvärtom. Ett globalt randvärde är samma sak som en lokal täthet integrerad över området.

![[greens-omrade.png|520]]

---

## 2. Satsen

För ett vektorfält $\vec F=(P,Q)$ som är $C^1$ på en omgivning av $D$, och en positivt orienterad styckevis $C^1$-rand $C=\partial D$:

$$
\boxed{\;\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dA\;}
$$

> [!note] Positiv orientering
> "Positivt orienterad" betyder att $C$ traverseras motsols, så att $D$ ligger till *vänster* när man rör sig längs randen. Vänd man riktningen byter både sidorna tecken samtidigt — likheten gäller fortfarande.

> [!warning] $\vec F$ måste vara definierat överallt i $D$
> Om $\vec F$ har en singularitet inne i $D$ — t.ex. blir oändlig i en punkt — gäller satsen *inte* direkt. Då måste man skära ut singulariteten, vilket ger en korrektionsterm. Se Exempel 3.

---

## 3. Lokal tolkning — curlen som cirkulationstäthet

Varför ser integranden i högerled ut just så? En kort heuristik: betrakta en mycket liten rektangel $R$ med hörn i $(x,y)$ och sidor $\Delta x,\Delta y$. Cirkulationen längs randen $\partial R$, taget motsols, blir efter linjär approximation

$$
\oint_{\partial R} \vec F\cdot d\vec r \;=\; \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\,\Delta y.
$$

Det är därför integranden i Greens sats *är* just denna kombination — den mäter cirkulation per ytenhet i punkten.



Bygger man upp $D$ av massor av små rektanglar och summerar cirkulationen längs allas ränder, så *kancellerar* alla inre kanter (varje inre kant traverseras en gång i varje riktning av två grannrektanglar). Bara den yttre randen $C$ överlever, och man får

$$
\oint_C \vec F\cdot d\vec r=\sum_{\text{rektanglar}} \oint_{\partial R}\vec F\cdot d\vec r \;\xrightarrow{\;\Delta\to 0\;}\; \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.
$$

> [!tip] Mnemonic
> Tänk på $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ som "swirl-tätheten" i en punkt. Greens sats säger: *summa av lokal swirl = total cirkulation kring randen*.

---

## 4. Kopplingen till curl

> På svenska är det $rot(\vec{F})=\text{"rotationen av }\vec{F}\text{ "}$

Integranden i högerled är exakt $\hat k$-komponenten av [[Divergens och rotation|curlen]] $\vec\nabla\times\vec F$ när $\vec F$ ses som ett 3D-fält $(P,Q,0)$:

$$
\vec\nabla\times\vec F=\begin{vmatrix}
\hat i & \hat j & \hat k\\[2pt]
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[6pt]
F_1 & F_2 & F_3
\end{vmatrix}.
$$

Med $F_3=0$ försvinner $\hat i$- och $\hat j$-komponenterna och kvar blir

$$
\vec\nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\hat k.
$$

> Swirliness är trademark av Stephan.

![[Pasted image 20260508155026.png|300]]

Greens sats kan därför skrivas

$$
\oint_C \vec F\cdot d\vec r=\iint_D (\vec\nabla\times\vec F)\cdot \hat k\,dA,
$$

vilket är precis hur 3D-versionen ([[Stokes sats]]) ser ut för en plan yta i $xy$-planet.

---

## 5. Specialfall — area

Sätt $P=-y/2,\ Q=x/2$. Då blir integranden

$$
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\tfrac{1}{2}-(-\tfrac{1}{2})=1,
$$

så dubbelintegralen reduceras till arean. Det ger

$$
\boxed{\;A=\dfrac{1}{2}\oint_C \bigl(x\,dy-y\,dx\bigr)\;}
$$

dvs. arean av $D$ läses av direkt från en kurvintegral längs randen.

> [!example]- Exempel — arean av en ellips via Greens sats
> Beräkna arean av ellipsen
>
> $$
> E = \left\{(x,y):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\}.
> $$
>
> > [!note]- Lösning
> > **Parametrisering av randen** (motsols):
> >
> > $$
> > x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
> > $$
> >
> > Då blir $dx=-a\sin t\,dt$ och $dy=b\cos t\,dt$, så
> >
> > $$
> > x\,dy-y\,dx=(a\cos t)(b\cos t)\,dt-(b\sin t)(-a\sin t)\,dt=ab(\cos^2 t+\sin^2 t)\,dt=ab\,dt.
> > $$
> >
> > Greens sats ger
> >
> > $$
> > A=\frac{1}{2}\oint_C(x\,dy-y\,dx)=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}ab\,dt=\boxed{\;\pi ab\;}.
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** För $a=b=R$ (cirkel) blir $A=\pi R^2$. Stämmer.

---

## 6. Exempel

> [!example]- Exempel 1 — verifiera Greens sats för $\vec F=-y\,\hat i+x\,\hat j$
> Låt $D$ vara enhetsskivan och $C=\partial D$ enhetscirkeln, motsols. Beräkna både $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ och $\iint_D(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y)\,dA$ och visa att de ger samma värde.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Vänsterled (kurvintegralen).** Parametrisera $x=\cos t,\ y=\sin t,\ t\in[0,2\pi]$:
> >
> > $$
> > \vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)=\begin{bmatrix}-\sin t\\ \cos t\end{bmatrix},\qquad \vec r{\,}'(t)=\begin{bmatrix}-\sin t\\ \cos t\end{bmatrix}.
> > $$
> >
> > $$
> > \oint_C \vec F\cdot d\vec r=\int_0^{2\pi}(\sin^2 t+\cos^2 t)\,dt=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi.
> > $$
> >
> > **Högerled (curl-integralen).** Med $P=-y,\ Q=x$:
> >
> > $$
> > \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
> > $$
> >
> > Alltså
> >
> > $$
> > \iint_D 2\,dA=2\cdot\pi\cdot 1^2=2\pi.
> > $$
> >
> > Båda sidor ger $\boxed{2\pi}$ — Greens sats verifierad.
> >
> > **Tolkning.** Curlen är $2\hat k$ överallt, så fältet "snurrar" likformigt med konstant cirkulationstäthet $2$. Det stämmer med bilden av $\vec F=-y\,\hat i+x\,\hat j$ som en stelkroppsrotation kring origo.

> [!example]- Exempel 2 — när det är *enklare* att gå via Greens sats
> Beräkna
>
> $$
> \oint_C\bigl(e^x\sin y+3y\bigr)dx+\bigl(e^x\cos y+2x-2y\bigr)dy
> $$
>
> längs ellipsen $4x^2+y^2=4$, motsols.
>
> > [!note]- Lösning
> > Direkt parametrisering blir blodigt — men Greens sats ger en genväg. Med $P=e^x\sin y+3y$ och $Q=e^x\cos y+2x-2y$:
> >
> > $$
> > \frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y+2,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y+3,
> > $$
> >
> > så
> >
> > $$
> > \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-1.
> > $$
> >
> > De obehagliga $e^x$-termerna kancellerar — det som blir kvar är konstant. Då blir
> >
> > $$
> > \oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D (-1)\,dA=-\,\text{area}(D).
> > $$
> >
> > Ellipsen $4x^2+y^2=4$, dvs. $x^2+y^2/4=1$, har halvaxlar $a=1,\ b=2$, så area är $\pi ab=2\pi$. Alltså
> >
> > $$
> > \oint_C \vec F\cdot d\vec r=\boxed{-2\pi}.
> > $$
> >
> > **Jämför.** Samma exempel räknades i [[Vektorfält]] genom att splitta $\vec F$ i en konservativ del plus en rest — den vägen krävde att man gissade en potential. Med Greens sats reduceras hela problemet till derivering och en känd area.

> [!example]- Exempel 3 — virvelfältet, och varför singulariteten spelar roll
> Betrakta fältet
>
> $$
> \vec F=\frac{-y}{x^2+y^2}\,\hat i+\frac{x}{x^2+y^2}\,\hat j.
> $$
>
> Beräkna $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ och $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ längs enhetscirkeln motsols. Förklara varför Greens sats inte verkar gälla.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Curlen.** En direkt räkning ger
> >
> > $$
> > \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},
> > $$
> >
> > $$
> > \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-(x^2+y^2)-(-y)\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},
> > $$
> >
> > så $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=0$ överallt där fältet är definierat.
> >
> > **Vad ger kurvintegralen?** Längs enhetscirkeln $x=\cos t,\ y=\sin t$ är $x^2+y^2=1$, så $\vec F=(-\sin t,\cos t)$, samma som i Exempel 1. Alltså
> >
> > $$
> > \oint_C \vec F\cdot d\vec r=2\pi.
> > $$
> >
> > **Paradox?** Curlen är noll överallt i $D$, men $\oint_C\vec F\cdot d\vec r=2\pi\ne 0$. Greens sats verkar bryta.
> >
> > **Upplösning.** $\vec F$ är *inte* definierat i origo, som ligger inne i $D$. Förutsättningen i §2 — att $\vec F$ är $C^1$ på hela $D$ — är därmed inte uppfylld, och satsen ger inget direkt utfall här. Värdet $2\pi$ är "ingången" från singulariteten i origo.
> >
> > > [!tip] Tolkning
> > > Det här exemplet visar att lokal information (curl = 0) *inte räcker* för att räkna ut globala kurvintegraler om området har hål. Talet $2\pi$ är ett *topologiskt* fingeravtryck — det räknar hur många varv $C$ går runt origo.

> [!example]- Exempel 4 — polära koordinater
> Beräkna
>
> $$
> \oint_C (x-y^3)\,dx+(y^3+x^3)\,dy,
> $$
>
> där $\vec F=\begin{bmatrix}x-y^3\\ y^3+x^3\end{bmatrix}$ och $C$ är randen, motsols, till kvartskivan $D$ med radie $2$ i första kvadranten.
>
> > [!note]- Lösning
> > Notationen $\oint$ är ledtråden att Greens sats ska användas:
> >
> > $$
> > \oint_C \vec F\cdot d\vec r=\iint_D \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\,dA.
> > $$
> >
> > Med $F_1=x-y^3$ och $F_2=y^3+x^3$:
> >
> > $$
> > \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=3x^2-(-3y^2)=3(x^2+y^2).
> > $$
> >
> > I [[Polära koordinater|polära koordinater]] $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$, $dA=r\,dr\,d\theta$:
> >
> > $$
> > \iint_D 3(x^2+y^2)\,dA=3\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^2 r^2\cdot r\,dr\,d\theta=3\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2=3\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 4=\boxed{\;6\pi\;}.
> > $$

> [!example]- Exempel 5 — triangelområde, tre rätlinjiga sidor
> Låt $C$ beteckna den moturs orienterade kurva i planet som med räta linjer förbinder punkterna $A=(-1,0)$, $B=(0,-1)$, $P=(1,1)$. Beräkna
>
> $$
> \oint_C xy\,dx+(x^2+3x)\,dy.
> $$
>
> > [!tip]- Ledning 1 — Greens sats
> > $$
> > \oint_C A\,dx+B\,dy=\iint_D \frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}\,dA.
> > $$
>
> > [!tip]- Ledning 2 — dela upp randen
> > $$
> > \oint_C \vec F\cdot d\vec r=\int_{C_1}\vec F\cdot d\vec r+\int_{C_2}\vec F\cdot d\vec r+\int_{C_3}\vec F\cdot d\vec r,
> > $$
> >
> > där $C_1=\overline{AB}$, $C_2=\overline{BP}$, $C_3=\overline{PA}$.
>
> > [!note]- Lösning
> > *Saknas i underlaget — fyll i när författaren räknat klart.*

---
## 7. Strategi

> [!important] När är Greens sats användbart?
> Använd Greens sats när:
>
> - Kurvintegralen är besvärlig att parametrisera direkt, men $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ är *enkel* (Exempel 2).
> - Området $D$ är geometriskt enkelt så att dubbelintegralen blir rättfram.
> - Du vill räkna en *area* från en parametrisering av randen (specialfallet i §5).
>
> Använd den *omvända* riktningen — kurvintegral istället för dubbelintegral — när:
>
> - Dubbelintegralen ser jobbig ut men randen är enkelt parametriserbar.
>
> Och kontrollera alltid att $\vec F$ är $C^1$ på hela $D$. Singulariteter kräver särbehandling (Exempel 3).

---

## 8. Sammanfattning

$$
\boxed{\;\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dA\;}
$$

| Specialfall | Val av $(P,Q)$ | Resultat |
|---|---|---|
| Allmänt | godtyckliga $C^1$-funktioner | cirkulation = curl-integral |
| Area | $P=-y/2,\ Q=x/2$ | $A=\tfrac{1}{2}\oint(x\,dy-y\,dx)$ |
| Cirkulation av rotation | $P=-y,\ Q=x$ | $\oint=2\cdot \text{area}(D)$ |

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=969|17.3 Green's Theorem in the Plane]]

## Se även

- [[Stokes sats]]
- [[Gauss sats]]
- [[Kurvintegraler av vektorfält]]
- [[Vektorfält]]
- [[Divergens och rotation]]

## Resurser

- [3Blue1Brown: Divergence and curl](https://youtu.be/rB83DpBJQsE) — geometrisk intuition för curl och Greens sats.
- [Khan Academy: Green's theorem](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theorem-and-stokes-theorem/greens-theorem-articles/a/greens-theorem)
- [Wikipedia: Green's theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_theorem)