---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - vektoranalys
förkunskaper:
  - "[[Divergens och rotation]]"
  - "[[Kurvintegraler av vektorfält]]"
  - "[[Ytintegraler]]"
  - "[[Orientering (kurvor och ytor)]]"
status: utkast
aliases:
  - Stokes theorem
  - Stokes' theorem
  - Curl theorem
---
> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Divergens och rotation]], [[Kurvintegraler av vektorfält]], [[Ytintegraler]], [[Orientering (kurvor och ytor)]]

---

## 1. Idén — randens cirkulation lika med inre rotation

**Stokes sats** är den tredimensionella generaliseringen av [[Greens sats]]. Den säger att den totala "snurren" $\nabla\times\vec F$ summerad över en yta är detsamma som *cirkulationen* av $\vec F$ längs ytans rand.

> [!abstract] Grundtanken
> Rotation är ett *lokalt* mått på hur fältet snurrar runt en punkt. När man summerar rotationen över en yta tar grannrotationer ut varandra i det inre, och det enda som blir kvar är hur fältet rör sig längs randen. Det är *exakt* vad satsen säger.

Det är samma princip som i [[Gauss sats]] — lokala bidrag tar ut varandra i det inre och bara randen överlever.

| Lokalt | Globalt |
|---|---|
| [[Divergens och rotation\|rotation]] $\nabla\times \vec F$ | [[Flödesintegraler\|flöde]] $\iint_S(\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S$ |
| [[Vektorfält\|fältet längs randen]] $\vec F\cdot \vec T$ | [[Kurvintegraler av vektorfält\|cirkulation]] $\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r$ |

## 2. Satsen

> [!important] Stokes sats
> Låt $S$ vara en orienterad styckvis slät yta i $\mathbb R^3$ med styckvis slät rand $\partial S$, orienterad konsekvent enligt högerhandsregeln (se [[Orientering (kurvor och ytor)]]). Låt $\vec F$ vara ett $C^1$-vektorfält på en omgivning av $S$. Då
> $$
> \boxed{\;\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r=\iint_S (\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S\;=\iint_{D}curl(\vec{F})\cdot \hat{N}dA}
> $$

![[stokes-sat.png|300]]

I bilden ser man en paraboloid-cap med rotationens flödesvektor pekande uppåt genom ytan, och randcirkeln traverserad motsols sett uppifrån — exakt högerhandsorienteringen.

## 3. Specialfall — Greens sats

Om $S$ ligger plant i $xy$-planet med uppåtorientering, så är $d\vec S=\hat k\,dA$ och $(\nabla\times \vec F)\cdot \hat k=\partial_x F_2-\partial_y F_1$. Stokes sats blir då

$$
\oint_{\partial S}(F_1\,dx+F_2\,dy)=\iint_S\bigl(\partial_x F_2-\partial_y F_1\bigr)\,dA,
$$

vilket är exakt [[Greens sats]]. Stokes är alltså Greens uttalad i ett varv högre dimension.

## 4. Konsekvens — ytan spelar ingen roll

En vacker konsekvens: om $S_1$ och $S_2$ är två ytor med *samma* rand $C$ och samma orientering, så ger Stokes sats *samma* värde:

$$
\iint_{S_1}(\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S=\oint_C \vec F\cdot d\vec r=\iint_{S_2}(\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S.
$$

Detta är användbart i praktiken — man kan välja den ytan som ger lättast räkning (t.ex. en plan disk istället för en bula).

> [!note] Konservativa fält
> Om $\vec F$ är konservativt är $\nabla\times \vec F=\vec 0$, så cirkulationen längs *varje* sluten kurva är noll. Det är förklaringen till varför kurvintegralen då bara beror på ändpunkterna.

## 5. Exempel

> [!example]- Exempel 1 — ren kontroll
> Låt $\vec F=(-y,x,0)$ och $S$ enhetsdisken i $xy$-planet med uppåtorientering.
>
> **Höger sida.** $\nabla\times \vec F=(0,0,2)$, så
> $$
> \iint_S(\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S=\iint_D 2\,dA=2\pi.
> $$
>
> **Vänster sida.** $\partial S$ är enhetscirkeln motsols, $\vec r(t)=(\cos t,\sin t,0)$:
> $$
> \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r=\int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)\bigr)dt=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi.\quad\checkmark
> $$

> [!example]- Exempel 2 — bytt yta, samma resultat
> Beräkna $\displaystyle\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ för $\vec F=(y,-x,xyz)$ och $C$ enhetscirkeln i $xy$-planet, traverserad motsols.
>
> **Direkt.** Stoppa in $z=0$ längs $C$: $\vec F=(y,-x,0)$, vilket på enhetscirkeln blir $(\sin t,-\cos t,0)$, och $d\vec r=(-\sin t,\cos t,0)\,dt$. Då blir integranden $-\sin^2 t-\cos^2 t=-1$, så
> $$
> \oint_C\vec F\cdot d\vec r=-2\pi.
> $$
>
> **Via Stokes med paraboloid-cap.** Välj $S$ som övre halvsfären eller paraboloid-cap med samma rand $C$ och uppåtorientering. Då räcker det att integrera $(\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S$ — och eftersom svaret är *ytberoende-fritt* enligt §4 kan man välja den enklaste ytan. Det är vinsten med Stokes.

## 6. När är Stokes sats användbar?

> [!important] Tre situationer där satsen sparar arbete
> 1. **Krångligt vektorfält längs randen, enkel rotation.** Är $\nabla\times \vec F$ enkel (eller noll) blir högersidan trivial även när vänstersidan ser besvärlig ut.
> 2. **Krånglig rand, enkel rotation över en enkel yta.** Om $\partial S$ består av många delar kan man slippa kurvintegralen helt via $\iint_S$.
> 3. **Bytt yta.** Behöver du beräkna en ytintegral $\iint_S (\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S$? Byt $S$ mot en *enklare* yta med samma rand — kanske en plan disk. Samma rand $\Rightarrow$ samma värde.

## 7. Räknemetod

> [!important] Räkneschema
> 1. **Identifiera $S$ och $\partial S$** — och kolla att randen är *en* sluten kurva (eller flera, då med rätt tecken).
> 2. **Bestäm orienteringen** av $S$ (välj normal) och därmed av $\partial S$ (högerhandsregel).
> 3. **Räkna rotationen** $\nabla\times \vec F$ — eller observera att den är noll.
> 4. **Välj sida av satsen** beroende på vad som är enklast — ytintegralen eller kurvintegralen.
> 5. **Räkna.**

> [!warning] Krav på fältet
> Stokes sats kräver $C^1$ på en omgivning av *hela* $S$ — inte bara randen. Om $\vec F$ är singulärt i någon punkt på $S$ måste den punkten plockas bort eller satsen tillämpas på ett mindre område.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=979|17.5 Stokes's Theorem]]

## Se även

- [[Greens sats]]
- [[Gauss sats]]
- [[Divergens och rotation]]
- [[Flödesintegraler]]
- [[Kurvintegraler av vektorfält]]
- [[Orientering (kurvor och ytor)]]

## Resurser

- [3Blue1Brown: Divergence and curl](https://youtu.be/rB83DpBJQsE)
- [Khan Academy: Stokes' theorem](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theorem-and-stokes-theorem/stokes-theorem-articles)
- [Wikipedia: Stokes' theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem)